《尺规作图》做已知角的平分线课件
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上海沪科版初中数学八年级上册15.4 第1课时 角平分线的尺规作图2
上海沪科版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！上海沪科版初中数学和你一起共同进步学业有成！15.4 角的平分线第1课时角平分线的尺规作图教材分析本节知识是在学习了角平分线的定义及其度量法作法；两条直线互相垂直，垂线的概念及用三角尺作垂线的方法；全等三角形，等腰三角形等知识后进行的。
它首先探索了角平分线的尺规作法，并在此基础上接着学习了过一点作已知直线垂线的尺规作法。
它们是几何的基本作图，也是今后进一步学习、研究几何知识的重要基础。
教学目标知识与技能：1. 掌握角平分线的尺规作法并会证明它的正确性。
2. 掌握过一点作已知直线垂线的尺规作法。
过程与方法：1培养学生用直尺和圆规作图的能力及有条理地语言表达能力。
2.培养学生分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：在探究作已知角的平分线的方法及作垂线的方法中，培养学生的几何直觉；培养学生探究问题的兴趣，增强探究问题的信心；体验数学活动的探索性和创造性。
教学重、难点重点：角平分线及垂线的尺规作法；难点：角平分线的尺规作法的正确性的证明；教学教具：三角板，圆规，纸做的角等；教学过程设计一、温故知新导入课件展示：观察下列图形并找出它们的对称轴；回顾角平分线的定义。
板书课题：15.4角的平分线二、新课教学问题1：如图，已知∠AOB，如何作∠AOB的角平分线呢？学生活动1：学生动手操作，思考：角的对称轴和角的平分线的关系。
学生观察思考并总结：折叠法、度量法、尺规作图法。
问题2：用尺规作图法作∠AOB的角平分线。
引导学生写出“已知”和“求作”并会根据作法作出∠AOB 的角平分线。
老师先在黑板上演示作法，在让同学们根据作法作出∠AOB 的角平分线，并思考每一步作法的可行性，老师巡视指导。
问题3：为什么OP 是角平分线呢？你能证明吗？活动2：小组交流，合作探究证明过程。
可让学生板演证明过程。
创新提高，继续探究。
问题4：当∠AOB =180°时，角平分线怎么画？AB活动3：引导学生积极思考，组内交流，确定画法。
人教版初中数学《角的平分线的性质》_完美课件
交OA于点M，交OB于点N
尺规法画角平分线
A M
C
O
NB
分别以点M，N为圆心，大于½MN的长度为半径画
弧，两弧在∠AOB的内部交于点C
尺规法画角平分线
A M
C
O
NB
画射线OC，即为∠AOB的角平分线
思考和交流
• 在你刚才画好的角平分线OC 上任意取一点P，过点P画出 OA和OB的垂线段，分别记 垂足为D，E。PD和PE的长 度有什么关系？
• 在OC上再取几个点试一下， 并和你的伙伴交流结论，你 们发现角平分线有什么性质？
思考和交流
• 经过测量，PD=PE总成立。 • 经过讨论，我们猜想： • 角分线上的点到角两边的距
离相等。
你能用全等三角 形证明吗？
怎样证明几何命题？
• 证明几何命题，先明确已知和求证。
– 已知：一个点在一个角的平分线上。 – 求证：这个点到这个角两边的距离相等。
角分线上的点到角两边的距离相等
A D
∵OC平分∠AOB，
O
P C PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
EB
动脑想一想
• 如图，要在S区建一个 集贸中心，使它到铁路、 公路的距离相等，并且 离公路与铁路的交叉处 500m，这个集贸中心应 建在哪里？
动脑想一想
• 角分线上的点到角两边的距离相等。 • 到角的两边的距离相等的点是否也在角的
DC=BC（已知） ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC（对应角相等） 即 AE平分∠BAD
动脑想一想
• 通过刚才的启发，你能想到怎样画出下面 的角的平分线吗？
A
仅用尺规作图，
已知∠AOB，
求作∠AOB的
八年级数学上册 第13章 全等三角形13.4 尺规作图第2课时 作已知角的平分线作业课件
中尺规作图痕迹，下列说法错误(cuòwù)的是( )。C．点C，D到点E的距离不相等。 D．∠AOE＝∠BOE。3．如图是一个扇形，若要用直尺和圆规作一条直线把它平分成面积 相等的两个扇形，则要用到的基本作图是_____________________．。求作：△ABC，使 AB＝AC＝a，∠B＝∠α.。解：(1)如图
C
)
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C，D到点E的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
第四页，共十三页。
3．如图是一个扇形，若要用直尺和圆规作一条直线(zhíxiàn)把它平分成面积相等的两 个扇形，则要用到的基本作图是__________作__已__知__角__的__平_．分线
第五页，共十三页。
第六页，共十三页。
5．如图，作已知角的平分线． 已知：∠DOE. 求作：∠DOE 的平分线 OC. 作法：(1)以点___O__为圆心，适当长为半径作弧，交__O_D_于点__M__，交 __O_E__(2于)分点别__以N__点_；__M___，__N__为圆心，大__于__12__M__N___的长为半径作弧，两弧 在∠DOE 的内部交于点____C__； (3)作射线__O_C__，射线___O_C_即为所求．ຫໍສະໝຸດ Image12/13/2021
第十三页，共十三页。
第13章 全等三角形
13．4 尺规作图
第2课时(kèshí) 作已知角的平分线
第一页，共十三页。
第二页，共十三页。
知识点 作已知角的平分线 1．作一个(yī ɡè)已知角的平分线的作图依据是( A．S.A.S. B．A.A.S. C．A.S.A. D．S.S.S.
)D
第三页，共十三页。
C
)
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C，D到点E的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
第四页，共十三页。
3．如图是一个扇形，若要用直尺和圆规作一条直线(zhíxiàn)把它平分成面积相等的两 个扇形，则要用到的基本作图是__________作__已__知__角__的__平_．分线
第五页，共十三页。
第六页，共十三页。
5．如图，作已知角的平分线． 已知：∠DOE. 求作：∠DOE 的平分线 OC. 作法：(1)以点___O__为圆心，适当长为半径作弧，交__O_D_于点__M__，交 __O_E__(2于)分点别__以N__点_；__M___，__N__为圆心，大__于__12__M__N___的长为半径作弧，两弧 在∠DOE 的内部交于点____C__； (3)作射线__O_C__，射线___O_C_即为所求．ຫໍສະໝຸດ Image12/13/2021
第十三页，共十三页。
第13章 全等三角形
13．4 尺规作图
第2课时(kèshí) 作已知角的平分线
第一页，共十三页。
第二页，共十三页。
知识点 作已知角的平分线 1．作一个(yī ɡè)已知角的平分线的作图依据是( A．S.A.S. B．A.A.S. C．A.S.A. D．S.S.S.
)D
第三页，共十三页。
角平分线的性质 经典课件(最新)
（2）分别以点MN为圆心，大
于
1 2
MN的长为半径画弧，两
B
弧在∠AOB的内部相交于点C.
N
O
（3）画射线OC.射线OC即为 所求.
作角平分线是最基本的 尺规作图,大家一定要掌 握噢!
初中数学课件
二 角平分线的性质
作图探究
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC
上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E，
的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE
就是角平分线.你能说明它的道理吗?
A
其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.
D
B
(E)C
已知:∠AOB.
初中数学课件
求作：∠AOB的平分线.
动手画一画
仔细观察步骤 A
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为
M
半径画弧，交OA于点M，交
C
OB于点N.
×
B
A
D
C
初中数学课件
典例精析
例 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,
DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.
A
求证：EB=FC.
分析：先利用角平分线的性质定理得到
DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE
E
F
≌ Rt△CDF.
B
D
C
初中数学课件
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∠EBF= 60 度，BE= BF . B
A E
C D
2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且 BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 3
【数学课件】2018年八年级数学上13.4尺规作图3作已知角的平分线导学新版华东师大版
13.4 尺规作图
目标突破
目标一 会作已知角的平分线
例 1 教材补充例题 如图 13－4－5 所示， 作出△ABC 三个内 角的平分线，并观察你作出的图形，有什么新的发条内角平分线相交于同一点．
13.4 尺规作图
【归纳总结】(1)作已知角的平分线是根据“三边对应相等的两个三
图 13－4－6
13.4 尺规作图
【解析】 先作∠A的平分线AE，以B为顶点作∠ABD＝∠EAB，则 ∠ABD即为所求．
解：如图所示，∠ABD 即为所求．
13.4 尺规作图
【归纳总结】 作一个角等于已知角属于定量作图，而作角的平
分线则属于定位作图．在综合作图题中，有时既需要定量，又需
要定位，需认真分析，找到解决办法．
题的关键是作图，在正确作图的基础上进行相关的计算或证明．
13.4 尺规作图
总结反思
小结
知识点 作已知角的平分线
作法如下：
已知：∠AOB，如图13－4－8①所示．
求作：射线OC，使OC平分∠AOB. 图13－4－8
OD 作法：1．在射线OA，OB上，分别截取OD，OE，使________ ＝ OE ________ ；
第13章 全等三角形
13. 4 尺规作图 3．作已知角的平分线
第13章 全等三角形
3. 作已知角的平分线
知识目标
目标突破
总结反思
13.4 尺规作图
知识目标
1．经过操作、思考、讨论，归纳总结用尺规作图作已知角的 平分线的方法及其依据． 2．在理解用尺规作已知角的平分线的基础上，能够解决一些 与角平分线有关的尺规作图问题．
角形全等”和“全等三角形的对应角相等”的原理来解决的． (2)在作图步骤的第二步一定要注意是以大于某条线段长度的为半 径作圆弧，否则两弧没有交点或两弧交点不明显． (3)通过作图了解三角形三个内角的平分线相交于一点．
《12.3角的平分线的性质》课件
问题1
以往的学习中在已知一个角，怎样得到这个角的平分线？
用量角器度量，也可用折纸的方法．
追问1 你能评价这些方法吗？在生产生活中，这
些方法是否一定可行呢？
学习与探究
下图是一个平分角的仪器，其中 = ， = ，
1
将点 放在角的顶点；
2
和 沿着角的两边放下；
3
沿 画一条射线 () ；
4
() 是∠ 的平分线.
你能说明它的道理吗?
学习与探究
已知： = ， = .
求证： 平分∠.
证明：在△ 与△ 中，
= ，
= ，
= ，
∴ △ ≌ △
∴ ∠ = ∠.
SSS .
即 平分∠.
人教版八年级上册
角的平分线的性质
第一课时
风筝
风筝一般都用什么结构？图中的
风筝包含哪些基本的几何图形？
为什么要用这样的图形?
观察与思考
年度工作概述
如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，
工作完成情况
BC=DC.不用度量，就知道AC是∠DAB
成功项目展示
的角平分线，你知道其中的道理吗？
工作存在不足
感悟与实践
操作测量：取点P的几个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE
⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.他们的长度都相等吗？
A
D
C
P
O
E
B
PD=PE
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2. 猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：__________
分析与证明
1.3.6 尺规作图 苏科版数学八年级上册课件
中线是( B )
4.如图,在△ABC中,BA=BC,∠B=80°,观察图中尺规作图的痕
迹,则∠DCE的度数为(
A.60°
C.70°
B.65°
D.75°
B)
5.如图,在菱形ABCD中,∠A=30°,取大于
AB的长为半径,
分别以点A,B为圆心作弧相交于两点,过此两点的直线交AD边
于点E(作图痕迹如图所示),连接BE,BD.则∠EBD的度数为
作法:
①作一条直线l;
图示:
②在l上任取一点A,以点A为圆心,以线段a的
长度为半径画弧,交直线l于点B.
线段AB即为所求作的线段.
圆上的点到圆心的
距离等于半径
2.作一个角等于已知角
已知:∠AOB.
图示:
作图依据是
什么？
求作:∠DEF,使∠DEF=∠AOB.
作法:
①在∠AOB上以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交
②以B为圆心，BP为半径画弧；
③设两弧交于点Q（Q与P分别在l的两旁）；
④连结PQ.
（2）求证：PQ⊥l.
A
B
l
课堂小结
作已知角的角
平分线
特例
过直线上的一点作
已知直线的垂线
作图依据：SSS
过直线外的一点作已 作法
知直线的垂线
过平面上一点作已知直线的垂线
方法1：活动3
方法2：拓展延伸
知识应用：一题多解
的长为半径画弧,两弧交于点M,N;
②过点M,N作直线.
直线MN即为线段AB的垂直平分线.
图示:
3
工人师傅常常利用角尺平分一个角．如
图，在∠AOB的两边OA、OB上分别任取OC＝
4.如图,在△ABC中,BA=BC,∠B=80°,观察图中尺规作图的痕
迹,则∠DCE的度数为(
A.60°
C.70°
B.65°
D.75°
B)
5.如图,在菱形ABCD中,∠A=30°,取大于
AB的长为半径,
分别以点A,B为圆心作弧相交于两点,过此两点的直线交AD边
于点E(作图痕迹如图所示),连接BE,BD.则∠EBD的度数为
作法:
①作一条直线l;
图示:
②在l上任取一点A,以点A为圆心,以线段a的
长度为半径画弧,交直线l于点B.
线段AB即为所求作的线段.
圆上的点到圆心的
距离等于半径
2.作一个角等于已知角
已知:∠AOB.
图示:
作图依据是
什么？
求作:∠DEF,使∠DEF=∠AOB.
作法:
①在∠AOB上以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交
②以B为圆心，BP为半径画弧；
③设两弧交于点Q（Q与P分别在l的两旁）；
④连结PQ.
（2）求证：PQ⊥l.
A
B
l
课堂小结
作已知角的角
平分线
特例
过直线上的一点作
已知直线的垂线
作图依据：SSS
过直线外的一点作已 作法
知直线的垂线
过平面上一点作已知直线的垂线
方法1：活动3
方法2：拓展延伸
知识应用：一题多解
的长为半径画弧,两弧交于点M,N;
②过点M,N作直线.
直线MN即为线段AB的垂直平分线.
图示:
3
工人师傅常常利用角尺平分一个角．如
图，在∠AOB的两边OA、OB上分别任取OC＝
角平分线的性质PPT课件
∵OC是∠AOB的平分线，
PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴PD=PE．
应用这个性质所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：证明两条线段相等.
证明的书写格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴PD = PE
三者缺一不可，否
则不可证明两线段
相等
5.会用角的平分线的判定解决实际问题.（难点）
6.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.
情景导入
旧知回顾
判定三角形全
SSS：三边分别相等的两个三角形全等
等的基本事实
SAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
有哪些？
ASA：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
AAS：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个
求证：BD＝DF.
点拨：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在
的△BDE和△FDC全等，两个三角形中已有
一角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，
这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得．
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，
∠C＝90°，∴DE＝DC.
在△BDE和△FDC中，
DE=CD ,
∠DEB=∠C,
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
F
E
B
D
C
新知探究
2.角平分线的性质的应用
如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC
于点P，若PC＝4，AB=14.
PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴PD=PE．
应用这个性质所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：证明两条线段相等.
证明的书写格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴PD = PE
三者缺一不可，否
则不可证明两线段
相等
5.会用角的平分线的判定解决实际问题.（难点）
6.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.
情景导入
旧知回顾
判定三角形全
SSS：三边分别相等的两个三角形全等
等的基本事实
SAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
有哪些？
ASA：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
AAS：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个
求证：BD＝DF.
点拨：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在
的△BDE和△FDC全等，两个三角形中已有
一角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，
这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得．
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，
∠C＝90°，∴DE＝DC.
在△BDE和△FDC中，
DE=CD ,
∠DEB=∠C,
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
F
E
B
D
C
新知探究
2.角平分线的性质的应用
如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC
于点P，若PC＝4，AB=14.
尺规作图作已知角的平分线 公开课一等奖课件
角平分线 我们已经知道角是轴对称图形，对称轴是这个角的平分 线所在的直线．如图 13－4－13，你能作一个角等于∠ABC 的一半吗？
图 13－4－13
[答案] 把∠ABC 对折，使 BA 与 BC 重合，其折痕就是 ∠ABC 的平分线．
◆ 知识链接——[新知梳理]知识点
13.4.3 作已知角的平分线
13.4.3 作已知角的平分线
例 2 如图 13－4－16 所示，已知∠CAB，以确定的点 B 为顶点作∠ABD，使∠ABD＝12∠A.(不写作法，保留作 图痕迹)
图 13－4－16
13.4.3 作已知角的平分线
[解析] 先作∠A 的平分线 AE，以 B 为顶点作∠ABD＝ ∠EAB，则∠ABD 即为所求．
？ 想一想
大家说一说：这些现象有什么危害？
安静是什么
• 安静是修养。
•公共场所是公众活动的地方，任何人都不得以任何 理由对其进行任何形式的独占，而应自觉维护该场 所的秩序，遵守必须的社会公德。
安静是什么
• 安静是文化，是文明。
•文化可以引领人的发展。到了一个非常安静的场所 ，你忍心一个人制造大的声响来引起别人不必要的 注意吗？当大家都停下自己的活动看你时，你会感 觉到脸红，自觉融入到这安静的氛围之中。学校狠 抓安静校园的治理，就是为了建设良好的校园文化 ，提高文明水平。
13.4.3 作已知角的平分线
13.4.3 作已知角的平分线
探究新知
活动1 知识准备 ∠_B_O__C＝如_图_12_1_3∠－A4O－C1，2，∠OABOC是＝∠_A_2_O_C∠的AO平B分＝线__2，__则∠∠BOACO.B＝
图 13－4－12
13.4.3 作已知角的平分静是形象。
•文明程度比较高的国家，所有公共场所都是比较安 静的，对来自其他国的游客的喧哗吵闹感到非常惊 诧。如果是黄皮肤、黑头发的游客，就一定认为是 中国人，其潜台词就是：中国游客太闹，文明古国 来的人，文明程度并不高。这就是形象。
图 13－4－13
[答案] 把∠ABC 对折，使 BA 与 BC 重合，其折痕就是 ∠ABC 的平分线．
◆ 知识链接——[新知梳理]知识点
13.4.3 作已知角的平分线
13.4.3 作已知角的平分线
例 2 如图 13－4－16 所示，已知∠CAB，以确定的点 B 为顶点作∠ABD，使∠ABD＝12∠A.(不写作法，保留作 图痕迹)
图 13－4－16
13.4.3 作已知角的平分线
[解析] 先作∠A 的平分线 AE，以 B 为顶点作∠ABD＝ ∠EAB，则∠ABD 即为所求．
？ 想一想
大家说一说：这些现象有什么危害？
安静是什么
• 安静是修养。
•公共场所是公众活动的地方，任何人都不得以任何 理由对其进行任何形式的独占，而应自觉维护该场 所的秩序，遵守必须的社会公德。
安静是什么
• 安静是文化，是文明。
•文化可以引领人的发展。到了一个非常安静的场所 ，你忍心一个人制造大的声响来引起别人不必要的 注意吗？当大家都停下自己的活动看你时，你会感 觉到脸红，自觉融入到这安静的氛围之中。学校狠 抓安静校园的治理，就是为了建设良好的校园文化 ，提高文明水平。
13.4.3 作已知角的平分线
13.4.3 作已知角的平分线
探究新知
活动1 知识准备 ∠_B_O__C＝如_图_12_1_3∠－A4O－C1，2，∠OABOC是＝∠_A_2_O_C∠的AO平B分＝线__2，__则∠∠BOACO.B＝
图 13－4－12
13.4.3 作已知角的平分静是形象。
•文明程度比较高的国家，所有公共场所都是比较安 静的，对来自其他国的游客的喧哗吵闹感到非常惊 诧。如果是黄皮肤、黑头发的游客，就一定认为是 中国人，其潜台词就是：中国游客太闹，文明古国 来的人，文明程度并不高。这就是形象。
尺规作图.作已知角的平分线 大赛获奖教学课件
新知梳理
► 知识点一 “S.S.S.”基本事实及运用 基本事实：三__边__分别相等的两个三角形全等．简记为 S.S.S.(或边边边)．
13.2.5 边边边
► 知识点二 “角角角”不能判定三角形全等 三个角分别相等的两个三角形 不一定 全等． [比较] 如果两个三角形有三组对应相等的元素，可分为四 类：三边、两边一角、一边两角、三角．它们判定三角形是否 全等的情况可归纳如下：
使 A′B′＝4，B′C′＝5，A′C′＝6.△ABC 与△A′B′C′满足对
应相等的条件分别是A__B＝A′B′__，_B_C＝B′C′__，__AC＝A′C_′_，
可以确定△ABC 与△A′B′C′的关系是
全等
．
你能用一句话概括出三角形全等的这种判定方法吗？
◆知识链接——[新知梳理]知识点一
13.2.5 边边边
13.2.5 边边边
探究问题二 灵活运用三角形全等的判定方法证明三角形全等 例 2 如图 13－2－19，BE，CD 相交于点 O，且 AD＝
AE，AB＝AC. 求证：∠BAO＝∠CAO.
图 13－2－19
13.2.5 边边边
[解析] 证△AOD≌△AOE 可得到∠BAO＝∠CAO. 证明：证法 1：在△ABE 和△ACD 中， ∵AE＝AD，∠BAE＝∠CAD(公共角)，AB＝AC， ∴ △ABE≌△ACD(S.A.S.)， ∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)． ∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE. 在△BDO 和△CEO 中， ∵∠B＝∠C，∠DOB＝∠EOC(对顶角相等)，BD＝CE， ∴△BDO≌△CEO(A.A.S.)， ∴ OD＝OE (全等三角形的对应边相等)． 在△AOD 和△AOE 中， ∵AD＝AE，AO＝AO，OD＝OE， ∴△AOD≌△AOE(S.S.S.)， ∴∠BAO＝∠CAO(全等三角形的对应角相等)．
► 知识点一 “S.S.S.”基本事实及运用 基本事实：三__边__分别相等的两个三角形全等．简记为 S.S.S.(或边边边)．
13.2.5 边边边
► 知识点二 “角角角”不能判定三角形全等 三个角分别相等的两个三角形 不一定 全等． [比较] 如果两个三角形有三组对应相等的元素，可分为四 类：三边、两边一角、一边两角、三角．它们判定三角形是否 全等的情况可归纳如下：
使 A′B′＝4，B′C′＝5，A′C′＝6.△ABC 与△A′B′C′满足对
应相等的条件分别是A__B＝A′B′__，_B_C＝B′C′__，__AC＝A′C_′_，
可以确定△ABC 与△A′B′C′的关系是
全等
．
你能用一句话概括出三角形全等的这种判定方法吗？
◆知识链接——[新知梳理]知识点一
13.2.5 边边边
13.2.5 边边边
探究问题二 灵活运用三角形全等的判定方法证明三角形全等 例 2 如图 13－2－19，BE，CD 相交于点 O，且 AD＝
AE，AB＝AC. 求证：∠BAO＝∠CAO.
图 13－2－19
13.2.5 边边边
[解析] 证△AOD≌△AOE 可得到∠BAO＝∠CAO. 证明：证法 1：在△ABE 和△ACD 中， ∵AE＝AD，∠BAE＝∠CAD(公共角)，AB＝AC， ∴ △ABE≌△ACD(S.A.S.)， ∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)． ∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE. 在△BDO 和△CEO 中， ∵∠B＝∠C，∠DOB＝∠EOC(对顶角相等)，BD＝CE， ∴△BDO≌△CEO(A.A.S.)， ∴ OD＝OE (全等三角形的对应边相等)． 在△AOD 和△AOE 中， ∵AD＝AE，AO＝AO，OD＝OE， ∴△AOD≌△AOE(S.S.S.)， ∴∠BAO＝∠CAO(全等三角形的对应角相等)．
浙教版八年级数学上册《尺规作图》课件
2. 已知 和 ，求作∠ABC ，
使∠ABC ＝ -
知识探索—尺规法作三角形
1、已知三边作三角形
已知 线段a、b、c，用直尺和圆规作
△ABC，使AC ＝b ，AB = c, BC = a.
a
b
c
分析：
要作三角形，那么，根据
定义和条件，只要设法把三条 线段首尾顺次相接即可。
2、已知两角及其夹边作三角形
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
∠B = , AB = a.
分析：
根据夹边的
概念和题目所给
的条件，可以考虑先作出夹边，然后再以夹 边的端点作为角的顶点进一步确定两个角。
1. 你还记得线段垂直平分线的定义?
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直 线叫做这条线段的垂直平分线。
2. 你还记得线段垂直平分线的性质吗？
线段垂直平分线上
l p
）
A、2厘米、3厘米、5厘米 B、4厘米、4厘米、9厘米
C、1厘米、2厘米、 3厘米 D、2厘米、3厘米、4厘米
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一2022/4/112022/4/112022/4/11 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/112022/4/112022/4/114/11/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/112022/4/11April 11, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
的点到线段两端的
【中考数学考点复习】第一节 尺规作图 课件(23张PPT)
段的垂
直平分
线(已 知线段 结论：AB⊥l
， AB)
AO＝OB
到线段两
1.分别以点A，B为圆心，大于
个端点距
1
__2_A__B___的长为半径，在AB两侧 离相等的
作弧，两弧交于两点；
点在这条
2.连接两弧交点所成直线l即为所求 线段的垂
作的垂直平分线
直平分线
上
第一节 尺规作图
类型
步骤
五种基本 尺规作图
第一节 尺规作图
返回目录
成都10年真题及拓展
尺规作图的相关计算
1. 如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点 B 和点 C 为圆心，
以大于 12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N；②作直线 MN 交
AC 于点 D，连接 BD.若 AC＝6，AD＝2，则 BD 的长为( C )
A．2
的两侧；
到线段两 2.以点P为圆心，PM的长为半径作弧
个端点距 ，交直线l于点A和点B，可得到PA＝
PB；
离相等的
1
3大.分于别2以AB点A、点B为圆心，以
点在这条 线段的垂
________长为半径作弧，交点M的
直平分线
同侧于点N，可得到AN＝BN；
上
4连接PN，则直线PN即为所求作的垂
线
第一节 尺规作图
长为( C )
A．252 3 C．20
B．12 3 D．15
第9题图
第一节 尺规作图
返回目录
10．人教版初中数学教科书八年级上册第 35－36 页告诉我们作一个三角 形与已知三角形全等的方法： 已知：△ABC. 求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC. 作法：如图．
直平分
线(已 知线段 结论：AB⊥l
， AB)
AO＝OB
到线段两
1.分别以点A，B为圆心，大于
个端点距
1
__2_A__B___的长为半径，在AB两侧 离相等的
作弧，两弧交于两点；
点在这条
2.连接两弧交点所成直线l即为所求 线段的垂
作的垂直平分线
直平分线
上
第一节 尺规作图
类型
步骤
五种基本 尺规作图
第一节 尺规作图
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成都10年真题及拓展
尺规作图的相关计算
1. 如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点 B 和点 C 为圆心，
以大于 12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N；②作直线 MN 交
AC 于点 D，连接 BD.若 AC＝6，AD＝2，则 BD 的长为( C )
A．2
的两侧；
到线段两 2.以点P为圆心，PM的长为半径作弧
个端点距 ，交直线l于点A和点B，可得到PA＝
PB；
离相等的
1
3大.分于别2以AB点A、点B为圆心，以
点在这条 线段的垂
________长为半径作弧，交点M的
直平分线
同侧于点N，可得到AN＝BN；
上
4连接PN，则直线PN即为所求作的垂
线
第一节 尺规作图
长为( C )
A．252 3 C．20
B．12 3 D．15
第9题图
第一节 尺规作图
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10．人教版初中数学教科书八年级上册第 35－36 页告诉我们作一个三角 形与已知三角形全等的方法： 已知：△ABC. 求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC. 作法：如图．
角的平分线性质说课课件
A
B D C
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD ，( 在角的平分线上的点到角 )
的两边的距离相等。
A B C
（×）
D
不必再证全等
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
在角的平分线上的点到角的） DB = DC ，（
√
两边的距离相等。
B
A D
C
A
如图：在△ABC中， ∠C=90° AD是∠BAC的平分线， F DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢＮ于． ２．分别以Ｍ，Ｎ为 圆心．大于 1/2 ＭＮ的长 为半径作弧．两弧在∠Ａ ＯＢ的内部交于Ｃ． ３．作射线ＯＣ．
Ｍ
Ｃ
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，
1. 操 作 测 量 ： 取 点 P 的 三 个 不 同 的 位 置 ， 分 别 过 点 P 作 PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足， 测量PD、PE的 长.将三次数据填入下表：
活动3：
运用角平分线的性质解决实际问题。
活动4：
小 结:
你本节课学到了哪些知识?
布置作业:
(1)P22第2、3题； (2)作三角形ABC的三条角平分线，你会发现什么?
小结
拓展
定理 角的平分线上的点到角 的两边的距离相等. ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC 上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别是D,E(已知) ∴PD=PE(角的平分线上的点 到角的两边的距离相等). 用尺规作角的平分线.
B D C
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD ，( 在角的平分线上的点到角 )
的两边的距离相等。
A B C
（×）
D
不必再证全等
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
在角的平分线上的点到角的） DB = DC ，（
√
两边的距离相等。
B
A D
C
A
如图：在△ABC中， ∠C=90° AD是∠BAC的平分线， F DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢＮ于． ２．分别以Ｍ，Ｎ为 圆心．大于 1/2 ＭＮ的长 为半径作弧．两弧在∠Ａ ＯＢ的内部交于Ｃ． ３．作射线ＯＣ．
Ｍ
Ｃ
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，
1. 操 作 测 量 ： 取 点 P 的 三 个 不 同 的 位 置 ， 分 别 过 点 P 作 PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足， 测量PD、PE的 长.将三次数据填入下表：
活动3：
运用角平分线的性质解决实际问题。
活动4：
小 结:
你本节课学到了哪些知识?
布置作业:
(1)P22第2、3题； (2)作三角形ABC的三条角平分线，你会发现什么?
小结
拓展
定理 角的平分线上的点到角 的两边的距离相等. ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC 上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别是D,E(已知) ∴PD=PE(角的平分线上的点 到角的两边的距离相等). 用尺规作角的平分线.
八年级数学《角平分线的定义及性质》课件
图1
图2
图3
图4
几何语言：
OP 是 的平分线
\
PD = PE
（角平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。）
∵
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
巩固练习：
1、如图1，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=6cm， 则点D到AB的距离为______cm 2、已知：如图2，C、D是∠AOB平分线上的点，CE⊥OA，垂足为E， CF⊥OB，垂足为F.求证：∠CDE=∠CDF PAO来自BCE
D
1
2
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE
活
动
5
(3)验证猜想:
探究角平分线的性质
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离。
A
B
O
M
N
C
(１)以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．
探索作已知角的平分线的方法
想一想：为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC. 求证：OC平分∠AOB.
证明：连接CM，CN 在△OMC和△ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， ∴ △OMC≌△ONC （SSS） ∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
A
B
O
C
D
你会过直线外一点作已知直线的垂线吗？
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
图2
图3
图4
几何语言：
OP 是 的平分线
\
PD = PE
（角平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。）
∵
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
巩固练习：
1、如图1，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=6cm， 则点D到AB的距离为______cm 2、已知：如图2，C、D是∠AOB平分线上的点，CE⊥OA，垂足为E， CF⊥OB，垂足为F.求证：∠CDE=∠CDF PAO来自BCE
D
1
2
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE
活
动
5
(3)验证猜想:
探究角平分线的性质
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离。
A
B
O
M
N
C
(１)以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．
探索作已知角的平分线的方法
想一想：为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC. 求证：OC平分∠AOB.
证明：连接CM，CN 在△OMC和△ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， ∴ △OMC≌△ONC （SSS） ∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
A
B
O
C
D
你会过直线外一点作已知直线的垂线吗？
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
2022秋八年级数学上册 第13章 全等三角形13.4 尺规作图 2作已知角的平分线课件华东师大版
长为半径作弧，两弧在∠DOE的内部交于点___C_____； (3)作射线___O__C___，射线___O_C____即为所求．
7．【中考·佛山】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC， 请你用尺规作图将△ABC分成两个全等的三角形，并 说明这两个三角形全等的理由．(保留作图痕迹，不 写作法)
解：作∠BAC的平分线交BC于点D，如图所示．
谢谢观赏
You made my day!
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上的一 点，点E是AC的中点．
(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标 明相应字母(保留作图痕迹，不写作法)．
①作∠DAC的平分线AM； ②连结BE并延长，交AM于点F；
解：如图．
(2)猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量 关系，并说明理由．
第13章 全等三角形
13.4 尺规作图
第2课时 作已知角的平分线
提示：点击 进入习题
新知笔记 OD＝OE；DE；OC
1C 2C
3B
4D
5 115°
答案显示
6 见习题 7 见习题 8 见习题 9 见习题 10 见习题
11 见习题 12 见习题
答案显示
作∠AOB的平分线的步骤： 第一步：在射线OA，OB上，分别截取OD，OE，使_O_D__＝__O_E_； 第二步：分别以点D和点E为圆心，适当长(大于线段____D_E___ 长的一半)为半径作圆弧，在∠AOB内，两弧交于点C； 第三步：作射线___O__C_______． 结论：射线OC就是所要求作的∠AOB的平分线．
素养核心练 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4
7．【中考·佛山】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC， 请你用尺规作图将△ABC分成两个全等的三角形，并 说明这两个三角形全等的理由．(保留作图痕迹，不 写作法)
解：作∠BAC的平分线交BC于点D，如图所示．
谢谢观赏
You made my day!
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上的一 点，点E是AC的中点．
(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标 明相应字母(保留作图痕迹，不写作法)．
①作∠DAC的平分线AM； ②连结BE并延长，交AM于点F；
解：如图．
(2)猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量 关系，并说明理由．
第13章 全等三角形
13.4 尺规作图
第2课时 作已知角的平分线
提示：点击 进入习题
新知笔记 OD＝OE；DE；OC
1C 2C
3B
4D
5 115°
答案显示
6 见习题 7 见习题 8 见习题 9 见习题 10 见习题
11 见习题 12 见习题
答案显示
作∠AOB的平分线的步骤： 第一步：在射线OA，OB上，分别截取OD，OE，使_O_D__＝__O_E_； 第二步：分别以点D和点E为圆心，适当长(大于线段____D_E___ 长的一半)为半径作圆弧，在∠AOB内，两弧交于点C； 第三步：作射线___O__C_______． 结论：射线OC就是所要求作的∠AOB的平分线．
素养核心练 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4
人教版八年级数学上册13.1.2 尺规作图 (共13张PPT)
•
新课讲解
作法：（1）分别以点A和B为圆心，
以大于1 AB的长为半径作弧，
2
两弧交于C、D两点.
A
（2）作直线CD.
CD就是所Байду номын сангаас作的直线.
C B
D
特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图， 我们也可以用这种方法确定线段的中点.
新课讲解
2 作轴对称图形的对称轴
【想一想】下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这
距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从 而作出线段AB的垂直平分线.
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。21.8.1021.8.10T uesday, August 10, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。21:41:1121:41:1121:418/10/2021 9:41:11 PM
些对称轴呢？
l
作法：（1）找出五角星的一对
A
B
对称点A和B，连结AB．
（2）作出线段AB的垂直平分线l．
则l就是这个五角星的一条对称轴．
用同样的方法，可以找出五条对称轴， 所以五角星有五条对称轴．
新课讲解
方法总结：对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出 对称点所连线段的垂直平分线，就能得此图形的对称轴.
•
15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021年8月下 午9时41分21.8.1021:41August 10, 2021
•
16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021年8月10日星期 二9时41分11秒21:41:1110 August 2021
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证明：
由作图过程知：
AB＝AC，BD＝CD 又∵AD＝ADA NhomakorabeaB
D C
∴△ABD≌ △ACD（SSS）
∴∠BAD＝∠CAD
∴AD是∠BAC的平分线
1、尺规作图作的 AOB 平分线方法如下： 以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB 于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于 1 CD 长为半径画弧，两弧交于点P，作射 2 线OP，由作法得的根据是（ ）
B
（1）以O 为圆心，以适当长为半径画弧，交OA
1 （2）分别以C、D 两点圆心，以大于 CD 长为半 2
径画弧，两弧相交于P 点；
于C 点，交OB 于D 点；
（3）过O、P 作射线OP ，即为所求作的角平分线.
A C
P
O
D
B
2、用尺规作图的方法作出∠BAC的平 分线？
B
A
D C
思考：
根据作图，你能证明所作射线AD，就 是∠BAC的角平分线吗？
(第 1 题)
华师大版八年级上册
尺规作图：作图时限定使用的工具只能是圆 规和没有刻度的直尺.
做一做
1、任意画一个角∠BAC ，用折叠的方法 作出它的平分线。
观 察
角是不是轴对称图形？它的对称轴在哪？
角是轴对称图形， 角平分线所在的直线是它的对称轴
3. 画角平分线
已知：∠AOB ，求作∠AOB 的平分线.
A
O
A
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
O
C P
D
B
1.已知∠α与∠β，求作一个角，使 它等于（∠α＋∠β）的一半. 分析：要完成这个作图，先作出等于 （∠α＋∠β）的角，再作平分线即 可．
1、试把下图所示的角四等分
A
O
B
1.如图，已知∠A，试画∠B＝1/2∠A. （不写画法，保留作图痕迹）.