一道经典几何题的深度挖掘

ZACE = 士 ZACD = 150 = ZACG , A E = AG=AF , ZGBA =45° = ZBCD ,
E F EC 又 A E D B - A E C F ,从而 E | = 盖 ,即 EF x +y ， 槡x 2 + y 2 亦即 EF = x (( + y ) 槡x 2 + y 2 2 _ x (( + y ) ，+ 2， 槡， 2 ( + ， 槡 +，= 槡 ? ^ , 化简得 故 评注 =槡 3x , ， Z A D B =30°. 此解法虽然繁琐， 但“ 将梯形转化为
2016年 第 11 期
中学教研（ 数学)
•9 •
证法4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如 图 4 , 延 长 及 4, W 交于点 ' 设
BE = x ， RD = BC = y ， 则 DE = 槡， + ， 2. 因 为 4?//0,所 以
4 BE D EECE,
图5 证法2 于点E ， ^4F 丄B D 于 点 F ,则 AF = + A D = AE . 因为 ZDAC = ZADC = 7 5 ° ， 所以 Z A C D =30° , 从而 于是
△E B C ， 延长E B 交 DC于点F ， 则 L E B C = AABC = 15〇 ， 从而 Z A B E sW = ZEFC ， 图3 图4
* 收文日期:2016观 -04;修订日 期 :2016-09-13 作者简介:李玉荣（ 163 - ) ， 男， 江苏句容人， 中学高级教师.研究方向:数学教育.
题 目 在 梯 形 从 ⑶ 中 ， 从 //⑶ ， ⑶ 扮） = = 9 0 ◦， 求证： 乙 = 30°
于是 进而
2
EC，
这是一道经典的几何题， 难度不小， 解题的关 键 是 证 明 = 30◦， 辅助线的添加是解题的突 破 口 .各 种 数 学 教 辅 、 教参提供的经典解法如下： 证法1 于点心则
BD = B C ， Z ADB = 30 °， 求 证 ： Z CBD = 90 °
角形、 作等腰三角形底边上的高” 等常见辅助线的 价 值得 以 显 现 . 2 挖掘变式 这道经典几何题涉及5 组几何元素的关系： A B // CD， CD = A C ， BD = BC， ACBD = 9 0 ° ， AADB = 30°.因 此 ， 除原题外， 还 可 以 编 制 出 以 下 4 道几何 题， 其解法更是精彩纷呈. 变 式 1 在 四 边 形 4B C D 中， CD = A C ， BD = BC， ZCBD = 9 0 ° ， ZADB = 3 0 ° ， 求 证 ：B // CD. 证法1 如 图 5 , 作 A E 丄C D 于 点 E ,B F 丄CD 于点 F •因为 ZDAC = ZADC = 7 5 ° , 所以 ZACD = 30°， 从而 A E = 1 A C= 1 CD =BF , 2 2 ^ 故 A /C D 评注此解法沿用了原题的经典解法， 顺理成 早 . 解得 所以 故 证法2 于是
评注注意到题中的a
为等腰直角三角
形， 证 法 2 和 证法3 分别利用翻折、 旋转变换使分 散的条件相对集中， 从而顺利解决问题， 较好地践 行了《 数学课程标准》 对几何教学的新要求， 凸显 了图形变换的解题价值. 图1 1 挖掘另证 证法 2 如 图 2 , 将 A 4B C 沿 B C 翻 折 得 图2
ae
Z F E C =30〇， Z E C F =60〇， Z B C E = 15〇， Z A C D =30 〇 .
由 C D = A C 可知 Z A D C = ZDAC = 180 〇 - ZACD = 75〇， 2
如 图 1 ，作 A五丄C D 于 点 丄 ⑶
又 BD = BC， Z C B D =90〇， J
=bf =2
cd
=2 ac，
Z B D C =45〇， 故 ZADB = ZADC - ZBD C = 30° 证法3 如图3， 将 A 4 B C 绕 点 B 顺时针旋转
从而乙 AC/) = 3 0 ◦ • 由 CD = 也： 可得乙 WX ： = 7 5 ◦ ，故 Z A D B =30〇. 点评此解法利用梯形常作的“ 双高” 辅助 线， 凸显了“ 通法” 的解题思路， 但若就此作罢， 无 疑于“ 入宝山而空返” ， 深度挖掘， 则发现该题值得 拥有和回味. 从而 于是 故
中学教研（ 数学)
2016年 第 1 1 期
一 道 经 典 几 何 题 的 深 度 挖 掘
•李玉荣 （ 金 陵 中 学 河 西 分 校 江 苏 南 京 210019)
摘 要 ： 经典几何题是重要的数学文化遗产.在数学教学和复习中， 如果能重视对经典几何题的适度挖掘， 即进行一 题多解、 一题多变等训练， 那么常可获得具有探索性的问题及有价值的解法， 进而能有效地训练学生思维的灵活性和深刻 性， 提高学生的推理能力、 探究能力和创新意识. 关键词： 经典几何题;变式;辅助线;一题多解 中图分类号： 0123. 1 文献标识码：A 文章编号： 1003 -6407(2016)11-08-04
9 0 ◦ 得A E B D ， 延长E B 交 DC于点F ， 则 E F 丄CD， FD = 士 CD = 士 AC = 士 E D ， Z FE D =30。 ， Z A C D = Z C 4B = Z F E D = 3 0 。 ， Z ADC = 7 5 ' ZADB =30 ◦.
bd c
图6
即
AE
槡， +
如 图 6 ,作 A G 丄B C 于 点 G ， C E 丄AD
从而 作 C F 丄A D 于 点 F ,则
槡， + ，. + ， ， +
AF = DF = 士 a d = 士 ( 槡x + ， 一 ， 槡x + ， ) x +， ) E F = AE + AF y + 2x ~ 2 ： 2((+， ) 槡， + ，•
故 从 平 分 Z G B F.又 因 为 Z G B F = 9 0 ° ， 所以 故 变式 2 证法1 于点 F 则 AF = + A D = AE . 作 A G 丄 B C 于 点 G , 因 为 Z 4 BG = ZBCD = Z B D C = Z 4 B F ,所以
ag
AB // CD. 在梯形 4 BCD 中 ， 4 B // CD， CD = AC ， 如 图 6 ,作 C E 丄A D 于 点 E ,4 F 丄BD