物理相对论例题

物理例题

例6-1如图设坐标系s、s’在起始时刻坐标原点重合，两坐标系各坐标轴平行，坐标系s’相对于坐标系s以速度u=0.8c向x轴的正向运动。在t=0时，由o点发射一列光波。经过1秒后，在坐标系s中观察光波同时到达P1，P2两点

求：(1).在s’系中观察光波到达P1，P2两点的坐标。

(2).在两坐标系中观测到的P1，P2两点间的空间、时间间隔分别是多少?，

解：(1).P1在s坐标系的坐标为：(-c，0，0，1)，由洛仑兹变换，它在s’系中的坐标应为：

3

x c

'===-

，

22

0.8

1()

3

u c

t x c

t

---

'===

y y

'==0

Z Z

'==

于是，p1在S’系中的坐标为

(-3c，0，0，3)。

同理，p2在S’系中的坐标为

(c/3，0，0，1/3)。

(2). 在S坐标系中观测到的P1、P2两点间的距离为2c。时间间隔为0。

在S’系中观测到的P1、P2两点间的距离为10c/3。时间间隔为-8/3秒。

讨论：

经洛仑兹变换后，两参考系观察到的空间间隔、时间间隔都发生了变化，在一个坐标系中观察到的同时发生的事件，在另一参考系中则不是同时发生的。可见，在相对论时空观里，时间、空间、物质运动是互相联系的整体。相对论的时间、距离、同时性等概念都是相对的。

例6-2如图一根长度为0

l

的米尺，静止在s’系中，与x’轴的夹角为300，在s系中观测时，与x轴的夹角为450。

求：s’相对于s系的运动速度。

解：由于长度只在运动方向上发生收缩效应，在s’系中

30

cos

l

x=

'

30

sin

l

y=

'

在S系中，由长度收缩公式：

cos30

x l=

30

sin

l

y=

例6-1图

例6-2图

由题意：

4530y tg tg x =

=

解得：

u =

0l

例6-3 观察者A 看到空间距离为4m 的两个事件同时发生，观察者B 量出这两个事件

的空间距离为5m 。

问：(1)两观察者的相对速度是多大 (2)两个事件是否同时发生

解：设观察者A 在s 系，观察者B 在s ’系。 (1)因0=∆t ，m 4=∆x ，m 5='∆x

由

x '∆=可以方便解得：c u 6.0= (2).

由

2u

t x t ∆-∆'∆=

可方便解得：8

10s t -'∆=

即：两个事件不是同时发生的。

讨论：如果本题用如书的长度收缩公式求解，一定要清楚哪一个距离为固有长度。固有长度一定是在相对于物体静止的参考系中测得的。测量固有长度没有“同时测量”的要求。但在相对于物体运动的参考系中测量物体的长度，必须“同时测量”。在本题中，没有说明观察者B 是同时测量距离的。它应是固有长度，否则，这个测量是无意义的。

例6-4如图，火车静止时与站台长度相等，都是l 0=8.64⨯108

km ，火车、站台前后两端点都装有四个相同的时钟，静止是步调一致。当火车以u =2.4⨯105k m /s 的速度进站，车前端D 与站台A 端对齐时，时钟A 、D 都指到12点。

问：此时B 、C 各指在什么时刻？

解：分析：容易错误的是认为A 的时刻指到12点，因此B 的时刻也是12点；D 的时刻是12点，于是C 的时刻也是12点。于是所有时钟都指到12点。错误的原因是：两个相互运动的惯性系没有共同的同时性。

1.设站台为s 系，火车为s ’系。 站在火车上的观察者观察：

12A C D t t t ===时， 0l x x x A B =-=∆， 0=-='∆D C t t t

B

例6-4图

由

2u t x t ∆-∆'∆=

得：

0222304B A u u t t t x l s c c ∆=-=

∆==

于是： t B =12时38分 即，火车上观察者观察的结果为：

12===D C A t t t 时，t B =12时38分

2.同样的方法可求得在站台上的观察者观察的结果为：

12===D B A t t t 时，t C

=12时38分。

例6-5两惯性系K ，K ´ 沿X 轴相对运动，当两坐标原点o ，o ´重合时计时开始。若在K 系中测

m 10641⨯=x ，s 10241-⨯=t ；m 101242⨯=x ，

s 10142-⨯=t ，而在K ´系中测得该两事件同时发生。试问：

（1） K ´系相对K 系的速度如何？

（2） K ´系中测得这两事件的空间间隔是多少？

解：设K ´系相对K 的速度为u ，由洛仑兹变换，K ´系中测得的两事件的时空坐标分别为

112

1ux t t -

'=

2

222

ux

t t -'= 由题意 21

t t '='，所以有 121222x c u

t x c u t -=-

得 282121() 1.510m /s

2c t t c

u x x -==-=-⨯-

式中负号表示K ´系沿K 系X 轴的负方向运动

（2） 设在K ´系中测得两事件的空间坐标分别为,x 1

',2x '，由洛仑兹变换

1x =

2x

由题意 21

t t '='，所以

42

121( 5.210m x x x x ''-=-⨯

例6-6设想一飞船以0.80c 的速度在地球上空飞行，如果这时从飞船上沿速度方向抛出

一物体，物体相对飞船速度为0.90c 。问：从地面上看，物体速度多大？