电磁学第二版习题答案第三章

（1）求外电场作用于偶极子上的最大力矩； （2）把偶极距从不受力矩的方向转到受最大力矩的方向，求在此过程中外电场 5 力所做的功。
解：（1）T = p ⋅ E ，T = P ⋅ E sinθ
当θ = π 时，取最大，T = P ⋅ E = 1.0×10−6 × 2.0×105 = 2×10−3 NM 2
解：由σ1s1 + σ 2s2 = Q …………………..（1）
即： σ ′ nˆ = − σ 0 + σ ′ nˆ
ε0x
ε0
σ0
=
−σ ′(1 x
+ 1)
解法二：用ξ 与 D 的知识，σ ′ = (P介 − P金 ) ⋅ nˆ介 = − p
∵
p=
xε0E =
xε 0
D ε0ε r
=xD εr
=
xσ0 εr
∴
σ0
=
−
σ ′εr x
= − σ ′(1+ x) x
当 x = εr −1
=
−q2 E−
+
q1E+
=
2q2 p1
4πε
0
(r
+
l2 2
)3
−
2q2 p1
4πε
0
(r
−
l2 2
)3
⎡
⎤
=
2q2 p1 4πε 0 r 3
⎢1
⎢ ⎢ (1+
l2
)3
−
1 (1− l2
)3
⎥ ⎥ ⎥
⎣ 2r
2r ⎦
将上式方括号内按马克劳林级数展开取前两项： f (l2 ) = f (0) + f ′(o)l2
负号表示 p2 受力方向与 x 轴正方向相反，指向 p1 （ p1 与 p2 同向时，相互吸引； 反方向时，相互排斥）。 3.2.3 电荷分别为 q 和‐q、相距为 l 两个点电荷组成的偶极子位于均匀外电场 E 中。已知 q = 1.0×10−6 C ， l = 2.0cm ， E = 1.0×105 N / C
∴ E0 = εr E
U = εr E(d − t) + Et
D
=
ε 0ε r
E
=
εr
ε 0ε rU (d − t)
+
t
P
=
ε0
(ε r
−1)E
=
ε0 (εr −1)U εr (d − t) + t
（2）
Q
=
σ
0s
=
Ds
=
ε
r
ε 0ε rUs (d − t) +
t
（3） E0
=
σ0 ε0
=
Q ε0s
∫ ∫ （2） A =
Tdθ =
π 2
PE sinθ dθ
=PE
[
−
cos
θ
]π 2
= 2×10−3 NM
0
0
3.2.4 偶极距为 P 的偶极子处在外电场 E 中，
（1）求偶极子的电势能[即偶极子（作为系统 1）与激发外场的电荷（作为系统
2）之间的互能]，约定偶极子在无限远时的电势能为零，
（2）P 与 E 的夹角为何值时偶极子的电势能最小？其值是多少？
所以当θ = 0、π 时， M = 0 ，平衡；θ = 0 时是稳定平衡，θ = π 时是非稳定平 衡。
（2） 如果 E 不均匀，不能达到平衡。
3.2.2 两个偶极子相距为 r，偶极矩 P1 和 P2 的方向与它们的连线平行，试证：
（1）它们之间的相互作用力（大小）为：
F
=
3 p1 p2 2πε0r 2
解： P = kxi （ k 为常数）
（1）σb′ = Pb = kb ，σ a′ = −Pa = −ka
（2）
ρ′
=
−1 τ
∫∫
P ⋅ ds
=
−
−Pas + Pbs s(b − a)
=
−k
3.4.4 平行板电容器面积为 S，板间距离为 d，中间充满均匀电介质，以知当 一板内壁的自由电荷为 Q 时，整块电介质的总偶极矩为 P 总，忽略边缘效应，求 电介质中的电场强度。
dq = δ ds = p cosθ ddl = pd cosθ Rdθ
dq
在
O
点产生的电场：
dE
=
dq 4πε 0 R 2
其分量为： dEx = −dE cosθ ， dEy = −dE sinθ
取对称的一极化电荷元 dq′ ，产生的 dE′ 在 y 方向的投影，根据对称性分析得：
∫ E y = dE y = 0
σ
′
3
=
pˆ 2nˆ3
=
p2
=
ε0 x2 E2
=
ε0 E2 (ε r2
−1)
= 1.5×10−5
C
m2
3.5.2 厚度为 d，相对介电常量为 εr 的无限大均匀电介质平板内以体密度 ρ0 均
匀分布着自由电荷，求电介质板内、外的 E、D 和 P。 解：在电介质的内部，距离板中心线为 x 的点，其对称点的大小相同，方向相
势差（绝对值）U。
解：由 Q0
=
C0U 0
=
ε0s d
U
0
得：
（1）插入介质 t
，因电源断开，板上电量不变 Q
=
Q0
=
ε0s d
U
0
（2）在介质中， D =
Q s
= ε0U0 d
，E = D ε0ε r
= U0 εrd
（3）U
=
E0 (d
−t) +
Et
=
Q0 ε0s
(d
− t) +
U0 εrd
t
=
ε 0 sU 0 ε 0 sd
面密度为σ ′ ，该点附近电介质的相对介电常数量为 εr ，求该点的自由电荷面密
度σ0 。
解法一：金属外紧靠表面一点的场强，
由
E
=
σ ε0
nˆ金
得：
E
=
σ0 +σ′ ε0
nˆ金
=
−σ0 +σ′ ε0
nˆ
又在介质内， P = ε0xE ， P ⋅ nˆ = σ ′ 可得到：
E = P = σ ′ nˆ ε0x ε0x
量为 εr 的均匀电介质，电介质两边都是空气（见附图），说两极板板间电势差（绝
对值）为 U，略去边缘效应，求： （1）电介质中的电场强度 E、电位移 D 和极化强度 P。 （2）极板上自由电荷的绝对值 q0。 （3）极板和电介质间隙中（空气中）的场强 E 空。 （4）电容 C。
解：（1）∵ U = E0 (d − t) + Et
∑ pi
解：因为 D = ε0 E + P ， D = ε0E + P ，δ0 = ε0E + i
V
E
=
1 ε0
(σ
0
−
P sd
)
=
1 ε0s
(Q
−
P) d
或 E = E0 + E′ ， E = E0 − E′ 得到：
E = Q − P = 1 (Q − P ) = 1 (Q − P )
ε0s ε0 ε0s s sd ε0s
常量 εr 。
解：（1） C0
Hale Waihona Puke =ε0s d= 1.77 ×10−10 F
（2） Q0 = C0u0 = 5.31×10−7 (库) ，充电后断开电源，板上电量不变，所以充满介
质后板上 Q = Q0 。
（3） C
=Q U
=
5.31×10−7 1.0 ×103
= 5.31×10−1（0 法）
（4） E0
= U0 d
= 3×105 (V
m)
（5） E
=U d
= 105 (V
m)
（6）
E
=
E0
−
E′
=
1 ε0s
(Q0
−
Q′)
，故
Q′
=
ε
0
s(
Q0 ε0s
−
E)
=
Q0
−
ε 0 sE
=
3.5 × 10−7
（7） εr
=
C C0
=
5.31×10−10 1.77 ×10−10
=3
3.5.1 相距为 5.0mm 的两平行导体板带有等量异种电荷，面密度绝对值为 20uC/m2，其间有两片电介质，一片厚为 2.0mm， εr1 =3.0，另一片厚为 3.0mm， εr2 =4.0，略去边缘效应，求各电介质内的 E、D 和电介质表面的σ ′ 。 解：因为 D = σ 0 = 2 ×10−5 C m2
3.2.1 偶极矩为 p 的偶极子处在外电场 E 中， （1）若 E 是均匀的，当 p 与 E 的夹角
εr = 5ρl4.3×10−3 / 250C 0CΩ ⋅ m150Ω，1Wσ ′ρ0αθ 为何值时偶极子达到平衡？此平
衡是稳定平衡还是不稳定平衡？ （2）若 E 是不均匀的，偶极子能否达到平衡？ 答案：（1） 因为电偶极子在均匀外电场中 F合 = 0 ， M = pE sinθ
（3）P 与 E 的夹角为何值时偶极子的电势能最大？其值是多少？
解：（1）W+ = qU( p+ ) ，W− = −qU( p−) ，W = W+ + W−
∫ ∫ ∫ W = q p− E ⋅ dl = −q p+ E ⋅ dl = −q p+ E cosθ ⋅ dl = −qlE cosθ
p+
p−
（2）相互作用力的方向满足：P1 和 P2 同向时相互吸引，反向时互相排斥。 注：“偶极子”一词已暗示组成偶极子的两个点电荷之间的距离远小于偶极子到
场点的距离。
解：
p1
对
A
处：
E−
=
2 p1 4πε0 (r −
l2 )3 2
p2
对
B
处：
E+
=
2 p1 4πε0 (r +
l2 )3 2
所以受到的力：
F
∫ ∫ ∫∫ Ey =
dEy =
dE ⋅
R ⋅ cosϕ = R2 + Z 2
p cos2 ϕ R2dϕdz
4πε0 (R2
+
Z
2
3
)2
∫ ∫ = pR2
4πε 0
2π cosϕdϕ
0
+
d 2
dz
−
d 2
(R2
+
Z
)2
3 2
= pR2 ⋅π ⋅ d 4πε0 R3
= pd 4ε 0 R
3.4.2 附图中 A 为一金属，其外部充满电介质，已知交界面大会某点的极化电荷
p−
W =−p⋅E
（2）当θ = 0 时：Wmin = − pE
（3） 当θ = π 时：Wmax = pE 3.4.1 半径为 R、厚度为 h（h<<R）的均匀电介质圆板被均匀极化，极化强度 P 平 行于板面（如图所示），求极化电荷在圆板中心产生的电场强度 E′ 。
解法一：可视为不均匀带电的圆环，在环上取一极化电荷元 dq ，
=
ε rU εr (d − t) + t
（4） C
=
Q u
=
εr
ε0εr s (d − t)
+
t
，或视为三个电容器的串联。
3.5.4 对上题的平板电容器在未放电介质时用支流电源充电，当电压（绝对值）
为 U0 时切断电源，然后将电介质板插入（其厚度为 t，相对介电常量为 εr ），在
此情况下求：
（1）极板上自由电荷的绝对值 q0；（2）电介质中的 E 和 D；（3）两极板间的电
E1
=D ε 0ε r1
= 7.5×105 V
m，
E2
=D ε 0ε r2
= 5.7 ×105 V m
σ1′ = pˆ1nˆ1 = − p1 = −ε0 x1E1 = −ε0E1(ε r1 +1) = −1.3×10−5 C m2
σ 2′ = p2 − p1 = ε0 x2E2 − ε0 x1E1 = −1.6 ×10−6 C m2
(d
−t) + U0 εrd
t
= U0 d
(d
−t) + U0 εrd
t
=
U0 εrd
(ε r d
− εrt
+ t)
3.5.5 平板电容器两极板相距为 d，用两种均匀电介质按附图方式充满两极板
之间的空间，两电介质的介电常量分别为 εr1 和 εr2 ，两者所占面积各为 S1 和 S2，
略去边缘效应，试证其电容为： C = ε1S1 + ε 2S2 d
反，由高斯定理 ∫∫ Eid S = ∑ q 可得：
D s + D s = 2xρ0 s
D = xρ0
，E
=
D ε0ε r
=
xρ0 ε0ε r
，
p
=
xε 0 E
在电介质的外部， 2D s = ρ0 sd ，
得： D = ρ0d 2
E = D = ρ0d ε0ε r 2ε0ε r
p=0
3.5.3 平板电容器两极极板相距 d，面积为 S，其中放有一层厚为 t，相对介电常
时：σ 0
=
− σ ′(1+ εr −1) εr −1
=
σ ′εr 1− εr
3.4.3 附图中沿 x 轴放置的电介质圆柱底面积为 S，周围是真空，已知电介质内
各点极化强度 P = Kxi （其中 K 为常量，i 为沿 x 轴正向的单位矢量），求：（1）
圆柱两底面上的极化电荷面密度σ a′ 及σb′ 。（2）圆柱内的极化电荷体密度 ρ′ 。
∫ ∫ Ex =
dEx =
2π 1 0 4πε0R2
pd cosθ Rdθ = pd 4ε 0 R
E0
=
−
d 4ε 0 R
p
解法二：σ ′ = p cosϕ （ϕ 为面元与 p 的夹角）
dE = σ ′ds 4πε0 (R2 + Z 2 )
方向如右图
∫ ∫ 因对称分布，只有 Ey ，则 Ex = dEx = 0 ， Ez = dEz = 0
⎡
⎢1
⎢ ⎢ (1+
l2
)3
−
1 (1− l2
)3
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
=
0 + l2
⎡1
⎢ ⎢ ⎢
2r −3(1 +
l2
)4
−
−1 2r
−3(1− l2
)4
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
= − l2 3r
⎣ 2r
2r ⎦
⎣
2r
2r ⎦l2 =0
∴
F
=
−
2q2 p1l2 3r 4πε 0 r 3
=
−
3 p2 p1 2πε 0 r 4
sd
3.4.5 空气平板电容器面积 S = 0.2m2 ，板间距离为 d=1.0m，充电后断开电源，
其电势差U0 = 3×103V ，在两板间充满均匀电介质后电压降至103V ，求： （1）原电容 C0。（2）任一金属板内壁的自由电荷（绝对值）q0。（3）放入电介 质后的电容 C。（4）两板间的原电场强度 E0。（5）放入电介质后的电场强度 E。 （6）电介质与金属板交界面上的极化电荷的绝对值 q′ 。（7）电介质的相对介电