mxt0-集合之间的关系与运算

1.2集合之间的关系与运算
1.2.1集合之间的关系与运算
教学目标：
（1）了解两个集合包含、相等关系的含义；
（2）理解子集、真子集的概念，了解全集、空集的意义，
（3）掌握有关子集、全集的符号及表示方法，会用它们正确表示一些简单的集合，培养学生的符号表示的能力；
（4）会求已知集合的子集、真子集；
（5）能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号及图形（文氏图）准确地表示出来，培养学生的数学结合的数学思想；
（6）培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力．
教学重点：
子集、真子集的概念
教学难点：
弄清元素与子集、属于与包含之间的区别
教学用具：
幻灯机
教学过程设计
（一）导入新课
上节课我们学习了集合、元素、集合中元素的三性、元素与集合的关系等知识．
【提出问题】已知，，，问：
1．哪些集合表示方法是列举法．
2．哪些集合表示方法是描述法．
3．将集M、集从集P用图示法表示．
4．分别说出各集合中的元素．
5．将每个集合中的元素与该集合的关系用符号表示出来．将集N中元素3与集M的关系用符号表示出来．
6．集M中元素与集N有何关系．集M中元素与集P有何关系．
【找学生回答】
1．集合M和集合N；（口答）
2．集合P；（口答）
3．（笔练结合板演）
4．集M中元素有－1，1；集N中元素有－1，1，3；集P中元素有－1，1．（口答）5．，，，，，，，（笔
练结合板演）
6．集M中任何元素都是集N的元素．集M中任何元素都是集P的元素．（口答）思考1：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？
【引入】在上面见到的集M与集N；集M与集P通过元素建立了某种关系，而具有这种关系的两个集合在今后学习中会经常出现，本节将研究有关两个集合间关系的问题．（二）新授知识
1．子集
（1）子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。

记作：读作：A包含于B或B包含A
当集合A不包含于集合B，或集合B 不包含集合A时，则记作：A B或B A．性质：①（任何一个集合是它本身的子集）
②（空集是任何集合的子集）
用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：
【置疑】能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合？
【解疑】不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合．因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的．空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元素．由此也可看到，把A 是B的子集解释成A是由B 的部分元素组成的集合是不确切的．
（2）真子集：对于两个集合A 与B，如果，并且，我们就说集合A
是集
合B的真子集，记作：（或），读作A真包含于B或B真包含A。

【思考】能否这样定义真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集．”
集合B同它的真子集A
合A，B．
（3）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B
的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。

例：，可见，集合，是指A、B的所有元素完全相同．（4）空集定义：不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：∅。

用适当的符号填空：
∅{}0；0 ∅；∅{}∅；{}0{}∅
（5）几个重要的结论：
1、空集是任何集合的子集；B
A
2、空集是任何非空集合的真子集；
3、任何一个集合是它本身的子集；
4、对于集合A，B，C，如果A B
⊆。

⊆，且B C
⊆，那么A C
说明：
1、注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；
2、在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。

【提问】
（1）写出数集N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示。

（2）判断下列写法是否正确
① A ② A ③④A A
例1 写出集合的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．
解：集合的所有的子集是，，，，其中，，是的真子集．
【注意】（1）子集与真子集符号的方向。

（2）易混符号
①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。

如
R，{1}{1，2，3}
②{0}与：{0}是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合。

如：{0}。

不能写成={0}，∈{0}
例2 判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正．
（1）表示空集；
（2）空集是任何集合的真子集；
（3）不是；
（4）的所有子集是；
（5）如果且，那么B必是A的真子集；
（6）与不能同时成立．
解：（1）不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以（1）不正确；
（2）不正确．空集是任何非空集合的真子集；
（3）不正确．与表示同一集合；
（4）不正确．的所有子集是；
（5）正确
（6）不正确．当时，与能同时成立．
例3 用适当的符号（，）填空：
（1）；；；
（2）；；
（3）；
（4）设，，，则A B C．
解：（1）00；
（2）＝，；
（3），∴；
（4）A，B，C均表示所有奇数组成的集合，∴A＝B＝C．
用适当的符号（，）填空：
（1）；（5）；
（2）；（6）；
（3）；（7）；
（4）；（8）．
解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）＝；（6）；（7）；（8）．
例4．若集合 B A，求m的值。

例5．已知集合且，求实数m的取值范围。

1.2.2集合的运算
教学目标：
（1）理解交集、并集和补集的概念，掌握交集与并集的区别，；
（2）掌握有关集合的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合；
（3）能用图示法表示集合之间的关系，会求全集中子集在全集中的补集
（4）掌握两个较简单集合的交集、并集和补集的求法；
（5）通过对交集、并集和补集概念的讲解，培养学生观察、比较、分析、概括、等能力，使学生认识由具体到抽象的思维过程；
（6）通过对集合符号语言的学习，培养学生符号表达能力，培养严谨的学习作风，养成良好的学习习惯．
教学重点：
交集、并集和补集的概念
教学难点：
交集、并集、补集的概念、符号之间的区别与联系
口答结合板书．培养想象
是
三、课堂练习
教材第13页练习1、2、3、4．
【助练习】第13页练习4（1）中用
一个方向的斜平行线段表示，用另一方向的平行线段表示如图：
凡有阴影部分即为所求．
【讲解】看图，所得结果实际上还可以看作全集U中子集的补集
则有
第13页练习4（2）仿上，如图，凡有双向阴影部分即为所求．
【讲解】看图，所得结果实际上还可以看作全集U中子集的补集．则有：
以上两个等式称反演律．简记为“先补后并等于先交后补”和“先补后交等于先并后补”．反演律在今后类似问题中给我们带来方便，因为它将三步工作简化为两步工作．
四、小结
提纲式（略）．再一次突出交集和并集两个概念中“且”，“或”的含义的不同．
五、作业
习题1至8．
笔练结合板书．
倾听．修改练习．掌握方法．
观察．思考．倾听．理解．记
忆．
倾听．理解．记忆．
回忆、再现学习内容．
落实教学
目标
介绍解题
技能技巧．
学习内容
条理化．
（一）. 交集、并集概念及性质的教学：
思考1．考察下列集合，说出集合C 与集合A ，B 之间的关系：
（1）{1,3,5}A =，{}{2,4,6},
1,2,3,4,5,6B C ==； （2）{}A
x x =是有理数，{}{},B x x C x x ==是无理数是实数；
由学生通过观察得结论。

1、并集的定义：
一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与集合B 的并集（union set ）。

记作：A ∪B （读作：“A 并B ”），即
{
}
,A B x x A ⋃=∈∈或x B
用Venn 图表示：
这样，在问题（1）（2）中，集合A ，B 的并集是C ，即 A B ⋃= C
说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。

讨论：A ∪B 与集合A 、B 有什么特殊的关系？
A ∪A ＝ , A ∪Ф＝ , A ∪
B B ∪A
A ∪
B ＝A ⇒ , A ∪B ＝B ⇒ . 巩固练习（口答）：
①．A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∪B ＝ ;
②．设A ＝{锐角三角形}，B ＝{钝角三角形}，则A ∪B ＝ ; ③．A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x<6}，则A ∪B ＝ 。

2、交集的定义：
一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，叫作集合A 、B 的交集（intersection set ），记作A ∩B （读“A 交B ”）即：
A ∩
B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}
用Venn 图表示：（阴影部分即为A 与B 的交集）
常见的五种交集的情况：
讨论：A ∩B 与A 、B 、B ∩A 的关系？
A ∩A ＝ A ∩Ф＝ A ∩
B B ∩A
A B
A(B)
A
B
B
A
B A
A ∩
B ＝A ⇒ A ∩B ＝B ⇒ 巩固练习（口答）：
①．A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∩B ＝ ;
②．A ＝{等腰三角形}，B ＝{直角三角形}，则A ∩B ＝ ; ③．A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x<6}，则A ∩B ＝ 。

（二）例题讲解：
例1．（课本例5）设集合{}{}
12,13A x x B x x =-<<=<<，求A ∪B ． 变式：A ＝{x|-5≤x ≤8}
例2．（课本例7）设平面内直线1l 上点的集合为L 1，直线2l 上点的集合为L 2，试用集合的运算表示1l ，2l 的位置关系。

例3．已知集合{}
{}
222190,
560A x x mx m B y y y =-+-==-+=
{}
2280C z z z =+-=是否存在实数m ，同时满足,A B A C ⋂≠∅⋂=∅？ （m=-2） （二） 全集与补集 1．全集：
如果集合S 中含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用
表示
2．补集：
一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即 ），由S 中所有不属于A 的
元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集），记作
，即
．
性质： S （ S A ）=A
例4：（1）若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，则 S A={2，4，6}；
（2）若A={0}，则 N A=N *； （3） R Q 是无理数集。

注： 是对于给定的全集 而言的，当全集不同时，补集也会不同．
例5：若 ，当 时，
；
当
时，则
．
例6：全集 ，
，
，判断
与
之
间的关系．
解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴
练习：见教材P 10练习
1．填空：
，
， ，那么 ，
．
解： ，
2．填空：
（1）如果全集，那么N的补集；
（2）如果全集，，那么的补集（）= ．
解：（1）；（2）．
（三）小结
本节课学习了以下内容：
1．五个概念（子集、集合相等、真子集、补集、全集，其中子集、补集为重点）2．五条性质
（1）空集是任何集合的子集。

Φ A
（2）空集是任何非空集合的真子集。

Φ A （A≠Φ）
（3）任何一个集合是它本身的子集。

（4）如果，，则．
（5）S（SA）=A
3．两组易混符号：（1）“”与“”：（2）{0}与。