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2、理解一阶随机占优和二阶随机占优的假设条件极其合理性并会应用 1.6 单期套利资产定价模型 1、理解并用数学形式表述套利机会 2、理解定理 1.6 和定理 1.7 说明：定理 1.6 证明使用了无第一种套利机会，定理 1.7 证明使用了无第二或第三种套利机会
如果市场上“一物多价”则必然存在套利机会。套利策略的核心为：凡是被高估的资产应立即卖出， 凡是被低估的资产应立即买入，把这个策略用到定理 1.7 的证明上，你会发现 1.7 非常简单
wi2
(n)
=
c
<
∞
4、会证明定理 4.3（按我上课写的步骤写） 4.4 因子选择与参数估计和检验 说明：本节只要知道讲的啥东西都行了
第五章 期权定价理论
1、理解并会描述维纳过程 2、记住并会推导伊藤引力（参考课本 122 页）
3、若股票的价格 S 表示成 dS = µSdt + σSdz 维纳过程，请使用伊藤引理证明股票的价格 S 在经历时 间 T 后服从对数正态分布。（按我课上讲的作答，参考课本 123 页）
如果一个彩票只有两种结果 ~x ∈{x1 = 5，x2 = 15} ，并且分别出现这两种结果概率分别为 0.4 和 0.6，
p =（p1 = 0.4，p2 = 0.6），用 P 表示该随机商品：如果购买该随机商品就有 0.4 的可能性获得确定商
品 x1 和有 0.6 的可能性获得确定商品 x2
2、理解基数效用函数（是掌握期望效用函数的基础） 3、掌握 Von Nenmann—Morgerstern 效用函数 说明：该函数是对应某一确定性商品（财富）的效用 4、掌握期望效用函数 说明：该函数是衡量随机商品的效用，理解此处“期望”的含义和该函数与 Von Nenmann—Morgerstern 效用函数的关系 1.3 投资者的风险类型及风险度量 1、掌握如何利用 Von Nenmann—Morgerstern 效用函数判断一投资者风险类型 说明：可以用图示或公式法、求导 2、掌握并理解马科维茨风险溢价 1.4 均值方差效用函数 1、理解本书中所有使用的收益率均为持有期收益率
说明：五个因素决定联合线的形状；联合线是一条双曲线（ µ -σ ），联合线上任意两个投资组合均可
以构成该联合线。 3.2 均值方差分析及两基金分离定理 1、掌握并计算投资组合的期望收益和方差
说明： E(Rw ) = wT E(R) ， cov(Ru , Rv ) = wuT ∑ wv ⇒ σ w = wT ∑ w
数理金融复习要点
第一章 期望效用函数函数理论与单期定价模型
1.1 序数效用函数 1、掌握偏好关系及其三天重要性质 2、理解序数效用函数存在定理 说明:能找到某一映射,使得同时满足两个充要条件：
x ≻ y ⇔ U (x) > U ( y) 且 x ~ y ⇔ U (x) = U (y)
1.2 期望效用函数 1、理解随即商品（彩票）（提示：课本在彩票定义方面有误） 说明：随即商品分布运算满足线性运算（类似向量运算） 在这里给大家举一个简单的例子帮助大家理解彩票：
说明： β 值是衡量系统风险的指标，想一下为什么？（大家也许不会忘记某投资组合的 β 值等于该组
合中市场组合所占的权重α ）
3.4 资本资产定价模型 1、理解资本资产定价模型的基本假设 理解什么是市场组合（想想我们前面说过，资本市场线与可行域的切点的含义，为什么理论上是实际 市场组合） 描述并会使用存在风险资产下的 CAPM 又称 Sharpe-Lintner CAPM（不要求证明，请记结论）
希望大家好好复习第一章！大概分值占试卷的 30%
第二章 固定收益证券
2.1 货币的时间价值 1、理解货币的时间价值 2、理解并会计算年金 2.2 债券及其期限结构 1、了解关于债券的一些定义 2、了解债券风险 2.3 债券定价 1、理解债券价值与价格的关系(参考课本 2.3.1) 2、会计算付息债券的现值 (参考课本 2.3.3 公式) 2.4 久期 1、理解麦考利久期和调整后的久期之间的关系
2、理解并会描述最小方差投资组合及有效投资组合
3、 n 种资产的均值方差分析
说明：记住结论： n 种资产的预期收益列向量为 E(R) ， n 种资产的方差—协方差矩阵为 ∑
均值与方差的关系为： σ
2 w
=
C D
(µ
-
A)2 C
+
1 C
其中， A = lT ∑-1 E(R) = E(R)T ∑-1 l
3、知道套利定价模型各因子的含义（如， λk 等）
4.3 含残差风险因子的套利定价定理 1、了解渐进套利机会的含义 2、会使用含残差的套利定价模型（定理 4.2，只要求理解，不要求会证明） 3、知道什么是完全分散化的投资组合
n
∑ 说明：一个完全分散化的投资组合中包括无穷多种资产，且
lim
∞
n
i =1
说明:若 DM 表示麦考利久期， D 表示调整后的久期
大家可以验证 ∆V = dV ∆r + ο(∆r) 一阶泰勒展开 dr
将上式两边同时除以V ，得 ∆V = 1 dV ∆r + ο(∆r) V V dr
∆V 由上式知 V ≈ − 1 dV = D ，约等号右边即为调整后的久期
− ∆r V dr
∆V
量，故可以调整组合久期，使得债券组合的收益锁定，这就是久期免疫。
2.5 价格波动率的测度——凸度
说明：掌握债券价值变动的二阶泰勒展开
∆V = dV (∆r) + 1 d 2V (∆r 2 ) + ο(∆r 2 )
dr
2 dr 2
两边同时除以V ，即
dV V
=
dV dr
1 V
dr + 1 2V
d 2V dr 2
两边同时乘以（1+ r ）得
V − ∆r
≈
1 −
V
dV dr
(1+ r)
=
DM
，约等号右边即为麦考利久期
1+ r
2、理解久期免疫
说明:免疫就是债券或债券组合的收益率不受利率变化的影响。
利率变动可以引起债券价值变化，这就是利率风险；但同时能使已经收到的现金流再投资的收
益也会受到影响，这就是再投资风险。但二者的影响恰恰是相反的，债券的利率风险可以用久期衡
(∆r 2 ) + ο(∆r 2 )
1 dV 其中 −
V dr
1 d 2V
表示修正后的久期，
表示凸度。
V dr 2
故债券价格总百分比变化 ≈ − 久期× 收益率变化+ 1 × 凸度× (收益率变化)2 2
第三章 均值方差分析与资本资产定价模型
2.1 两种证券投资组合的均值—方差 1、深刻理解联合线
σ
2 M
)
， wz
与
wM
零β
相关
5、记住资本市场线及证券市场线方程及图形，以及会推导二者是统一的 6、用资本资产模型定价
说明： E(Ri ) =
Rf
+ βi (E(RM
− Rf
)
………………………………………①
E(Ri )
=
E( P1 − P0 P0
)
=
E(P1) − P0
P0
……………………………………②
βi
=
cov(Ri , RM ) σ2
RM
1 =
σ2 RM
cov( P1 − P0 P0
, RM ) =
1
P0σ
2 RM
cov(P1, RM )
………③
将②式和③式带入①式中整理可得
P0
=
E ( P1 )
−
E(RM − Rf σ2
RM
1+ Rf
)
cov(P1, RM
)
（确定等价定价公式）
此章节内容比较重要在试卷中所占比重大致为 35%，请务必好好复习
只要我注有说明的请务必好好弄懂，希望大家好好复习，都能考个好成绩！ 有不懂得，请相互讨论，或给我打电话：15249222391
说明： E(Ri ) − Rf
= βi (E(RM
− R f ) ，其中 βi
=
cov(Ri , RM )
σ
2 M
描述并会使用不存在无风险资产下的 CAPM 又称 Black CAPM（不要求证明，请记住结论）
说明：
E(Ri )
=
E ( Rwz
)+
βi (E(RM
)−
E ( Rwz
))
βi
，其中
=
cov(Ri , RM
4.1 多因子线性模型 1、理解 APT 模型的假设 2、理解并会计算多因素线性模型
第四章 套利定价理论
说明：知道课本上的αi ，就是 E(Ri ) ，使用因素模型可以求解实际收益率
4.2 不含残差的线性因子模型的套利定价理论 1、理解不含残差因子模型下存在套利机会的数学表述 说明：如何构造一个套利组合？ 2、理解如何由因素模型推导套利定价模型 说明：使用套利定价理论求解出来的是预期收益率
B = E(R)T ∑-1 E(R) A = lT ∑-1 l D = BC − A2 ，可以看出 A、B、C、D 均为一正数
4、理解并会描述两基金分离定理 说明：最小方差集可以看成一条联合线，这也就是两基金分离定理的核心 3.3 具有无风险资产下的两基金分离定理（可以不看书） 1、理解存在无风险资产下的两基金分离定理 说明：所有人只会持有无风险资产和风险组合（市场组合） 2、理解系统风险和非系统风险
2、理解期望效用函数可以表示为某种金融资产的均值方差效用函数，即 EV(X) = v(E(X),var(X))
1.5 随机占优 1、理解并会利用随机占优
说明：对于某投资者来说对于资产 A 的偏好胜过资产 B ，我们说对于该投资者来说资产 A 优于资产 B ，这就是随即占优，简而言之任何投资者任何时刻都会选择对自己效用最大化的投资，我们知道资 产 A 的偏好胜过资产 B 即 x ≻ y ⇔ U (x) > U ( y)
如果市场上“一物多价”则必然存在套利机会。套利策略的核心为：凡是被高估的资产应立即卖出， 凡是被低估的资产应立即买入，把这个策略用到定理 1.7 的证明上，你会发现 1.7 非常简单
wi2
(n)
=
c
<
∞
4、会证明定理 4.3（按我上课写的步骤写） 4.4 因子选择与参数估计和检验 说明：本节只要知道讲的啥东西都行了
第五章 期权定价理论
1、理解并会描述维纳过程 2、记住并会推导伊藤引力（参考课本 122 页）
3、若股票的价格 S 表示成 dS = µSdt + σSdz 维纳过程，请使用伊藤引理证明股票的价格 S 在经历时 间 T 后服从对数正态分布。（按我课上讲的作答，参考课本 123 页）
如果一个彩票只有两种结果 ~x ∈{x1 = 5，x2 = 15} ，并且分别出现这两种结果概率分别为 0.4 和 0.6，
p =（p1 = 0.4，p2 = 0.6），用 P 表示该随机商品：如果购买该随机商品就有 0.4 的可能性获得确定商
品 x1 和有 0.6 的可能性获得确定商品 x2
2、理解基数效用函数（是掌握期望效用函数的基础） 3、掌握 Von Nenmann—Morgerstern 效用函数 说明：该函数是对应某一确定性商品（财富）的效用 4、掌握期望效用函数 说明：该函数是衡量随机商品的效用，理解此处“期望”的含义和该函数与 Von Nenmann—Morgerstern 效用函数的关系 1.3 投资者的风险类型及风险度量 1、掌握如何利用 Von Nenmann—Morgerstern 效用函数判断一投资者风险类型 说明：可以用图示或公式法、求导 2、掌握并理解马科维茨风险溢价 1.4 均值方差效用函数 1、理解本书中所有使用的收益率均为持有期收益率
说明：五个因素决定联合线的形状；联合线是一条双曲线（ µ -σ ），联合线上任意两个投资组合均可
以构成该联合线。 3.2 均值方差分析及两基金分离定理 1、掌握并计算投资组合的期望收益和方差
说明： E(Rw ) = wT E(R) ， cov(Ru , Rv ) = wuT ∑ wv ⇒ σ w = wT ∑ w
数理金融复习要点
第一章 期望效用函数函数理论与单期定价模型
1.1 序数效用函数 1、掌握偏好关系及其三天重要性质 2、理解序数效用函数存在定理 说明:能找到某一映射,使得同时满足两个充要条件：
x ≻ y ⇔ U (x) > U ( y) 且 x ~ y ⇔ U (x) = U (y)
1.2 期望效用函数 1、理解随即商品（彩票）（提示：课本在彩票定义方面有误） 说明：随即商品分布运算满足线性运算（类似向量运算） 在这里给大家举一个简单的例子帮助大家理解彩票：
说明： β 值是衡量系统风险的指标，想一下为什么？（大家也许不会忘记某投资组合的 β 值等于该组
合中市场组合所占的权重α ）
3.4 资本资产定价模型 1、理解资本资产定价模型的基本假设 理解什么是市场组合（想想我们前面说过，资本市场线与可行域的切点的含义，为什么理论上是实际 市场组合） 描述并会使用存在风险资产下的 CAPM 又称 Sharpe-Lintner CAPM（不要求证明，请记结论）
希望大家好好复习第一章！大概分值占试卷的 30%
第二章 固定收益证券
2.1 货币的时间价值 1、理解货币的时间价值 2、理解并会计算年金 2.2 债券及其期限结构 1、了解关于债券的一些定义 2、了解债券风险 2.3 债券定价 1、理解债券价值与价格的关系(参考课本 2.3.1) 2、会计算付息债券的现值 (参考课本 2.3.3 公式) 2.4 久期 1、理解麦考利久期和调整后的久期之间的关系
2、理解并会描述最小方差投资组合及有效投资组合
3、 n 种资产的均值方差分析
说明：记住结论： n 种资产的预期收益列向量为 E(R) ， n 种资产的方差—协方差矩阵为 ∑
均值与方差的关系为： σ
2 w
=
C D
(µ
-
A)2 C
+
1 C
其中， A = lT ∑-1 E(R) = E(R)T ∑-1 l
3、知道套利定价模型各因子的含义（如， λk 等）
4.3 含残差风险因子的套利定价定理 1、了解渐进套利机会的含义 2、会使用含残差的套利定价模型（定理 4.2，只要求理解，不要求会证明） 3、知道什么是完全分散化的投资组合
n
∑ 说明：一个完全分散化的投资组合中包括无穷多种资产，且
lim
∞
n
i =1
说明:若 DM 表示麦考利久期， D 表示调整后的久期
大家可以验证 ∆V = dV ∆r + ο(∆r) 一阶泰勒展开 dr
将上式两边同时除以V ，得 ∆V = 1 dV ∆r + ο(∆r) V V dr
∆V 由上式知 V ≈ − 1 dV = D ，约等号右边即为调整后的久期
− ∆r V dr
∆V
量，故可以调整组合久期，使得债券组合的收益锁定，这就是久期免疫。
2.5 价格波动率的测度——凸度
说明：掌握债券价值变动的二阶泰勒展开
∆V = dV (∆r) + 1 d 2V (∆r 2 ) + ο(∆r 2 )
dr
2 dr 2
两边同时除以V ，即
dV V
=
dV dr
1 V
dr + 1 2V
d 2V dr 2
两边同时乘以（1+ r ）得
V − ∆r
≈
1 −
V
dV dr
(1+ r)
=
DM
，约等号右边即为麦考利久期
1+ r
2、理解久期免疫
说明:免疫就是债券或债券组合的收益率不受利率变化的影响。
利率变动可以引起债券价值变化，这就是利率风险；但同时能使已经收到的现金流再投资的收
益也会受到影响，这就是再投资风险。但二者的影响恰恰是相反的，债券的利率风险可以用久期衡
(∆r 2 ) + ο(∆r 2 )
1 dV 其中 −
V dr
1 d 2V
表示修正后的久期，
表示凸度。
V dr 2
故债券价格总百分比变化 ≈ − 久期× 收益率变化+ 1 × 凸度× (收益率变化)2 2
第三章 均值方差分析与资本资产定价模型
2.1 两种证券投资组合的均值—方差 1、深刻理解联合线
σ
2 M
)
， wz
与
wM
零β
相关
5、记住资本市场线及证券市场线方程及图形，以及会推导二者是统一的 6、用资本资产模型定价
说明： E(Ri ) =
Rf
+ βi (E(RM
− Rf
)
………………………………………①
E(Ri )
=
E( P1 − P0 P0
)
=
E(P1) − P0
P0
……………………………………②
βi
=
cov(Ri , RM ) σ2
RM
1 =
σ2 RM
cov( P1 − P0 P0
, RM ) =
1
P0σ
2 RM
cov(P1, RM )
………③
将②式和③式带入①式中整理可得
P0
=
E ( P1 )
−
E(RM − Rf σ2
RM
1+ Rf
)
cov(P1, RM
)
（确定等价定价公式）
此章节内容比较重要在试卷中所占比重大致为 35%，请务必好好复习
只要我注有说明的请务必好好弄懂，希望大家好好复习，都能考个好成绩！ 有不懂得，请相互讨论，或给我打电话：15249222391
说明： E(Ri ) − Rf
= βi (E(RM
− R f ) ，其中 βi
=
cov(Ri , RM )
σ
2 M
描述并会使用不存在无风险资产下的 CAPM 又称 Black CAPM（不要求证明，请记住结论）
说明：
E(Ri )
=
E ( Rwz
)+
βi (E(RM
)−
E ( Rwz
))
βi
，其中
=
cov(Ri , RM
4.1 多因子线性模型 1、理解 APT 模型的假设 2、理解并会计算多因素线性模型
第四章 套利定价理论
说明：知道课本上的αi ，就是 E(Ri ) ，使用因素模型可以求解实际收益率
4.2 不含残差的线性因子模型的套利定价理论 1、理解不含残差因子模型下存在套利机会的数学表述 说明：如何构造一个套利组合？ 2、理解如何由因素模型推导套利定价模型 说明：使用套利定价理论求解出来的是预期收益率
B = E(R)T ∑-1 E(R) A = lT ∑-1 l D = BC − A2 ，可以看出 A、B、C、D 均为一正数
4、理解并会描述两基金分离定理 说明：最小方差集可以看成一条联合线，这也就是两基金分离定理的核心 3.3 具有无风险资产下的两基金分离定理（可以不看书） 1、理解存在无风险资产下的两基金分离定理 说明：所有人只会持有无风险资产和风险组合（市场组合） 2、理解系统风险和非系统风险
2、理解期望效用函数可以表示为某种金融资产的均值方差效用函数，即 EV(X) = v(E(X),var(X))
1.5 随机占优 1、理解并会利用随机占优
说明：对于某投资者来说对于资产 A 的偏好胜过资产 B ，我们说对于该投资者来说资产 A 优于资产 B ，这就是随即占优，简而言之任何投资者任何时刻都会选择对自己效用最大化的投资，我们知道资 产 A 的偏好胜过资产 B 即 x ≻ y ⇔ U (x) > U ( y)