量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著) 答案----第11章

t
−
t τ
将（6）代入（4）先对时间进行积分；并认为充分长时间可以用 t → ∞
t= ∞ 1
ε e = 0 (ez )k 'k i iω
=
[ iω
k 'k
t − ]t τ
t= ∞
k 'k
−
1 t= 0 τ
（7）
ε0
[ω
k 'k
i + ] τ
( ez ) k 'k
iω
k 'k
（前式中利用了 e
t
= 1）
ψ k ( x) =
2 kπ x sin a a
（ 1）
根据此式计算矩阵元：
x k 'k =
2 a k 'π x kπ x 1 a (k ' − k )π x (k ' + k )π x sin ⋅ x ⋅ sin dx = x [cos − cos ]dx a ∫ x= 0 a a a ∫ x= 0 a a sin px cos px ⋅ x+ p p2
W 2 n ,1 =
1024 qa 2 n2 ( ) ρ (ω 3 h (4n 2 − 1)4
2 n ,1
)
11.4——10.4 11.5——10.5 11.6——10.6 11.7 设把处于基态的氢原子放在平行板电容器中，取平行板法线方向为 z 轴方向、 电场沿 z 轴方向 可视作均匀，设电容器突然充电然后放电，电场随时间变化规律是：
1
r
r
∫
e 4 − 2a r e dr ⋅ ∫ sin 2 θ cos θ dθ ⋅ ∫ e − iϕ dϕ 4 8π a 0 ϕ =0
3r
（10）
r
(ez ) 210 ,100 = e 32π a 4 e 32π a 4 2 7*5 ae 35
∫ ∫
r
θ
− r − 2a 1 a [ ( ) a cos θ ][ er cos θ ][ e ] ⋅ r 2 sin θ drdθ dϕ ∫ϕ 32π a 3 a 3 πa − 3r 2a
1s 态
ψ
100
=
1
π a3
e
−
r a
（1）
2s 态
ψ
200
=
r − ( 2 − )e 2 a a 32π a 3 r − ( )e 2 a sin θ ⋅ e iϕ 8 π a3 a 1
r
1
r
（2）
2p 态
ψ
211
=
1
r
（3a）
ψ
21, − 1
r − = ( )e 2 a sin θ ⋅ e − iϕ 8 π a3 a = r − ( )e 2 a cos θ 32π a 3 a 1
1 α
k+ 1 2
因得结论：一维谐振子跃迁的选择定则是：初态末态的量子数差数是 1。 （2）每秒钟从基态 k = 0 跃迁到第一激发态的几率可以从（2）式和（7）式得到：
W10 =
4π 2 q 2 1 ( 3 2 α
2π 2 q 2 1 2 ρ (ω 10 ) ) ρ (ω 10 ) = 3 2 µ ω 10 2
第十一章：量子跃迁
P552——10.2，10.3 11.1——10.1 11.2 具有电荷 q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量 密为 ρ (ω ) ，波长较长，求： （1）跃迁选择定则。 （2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。 解：本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。 （1）跃迁选择定则： 为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰，可以用 专门的公式（12）
=
r − 2a − a 3 ( 2 − )e r d r ⋅ ∫ cos θ sin θ dθ ∫ a 32π a 3 r = 0 0
∞
π
2π
∫ dϕ
0
= 0
（8）
1s向2 s 的跃迁不存在。再考察 (1s → 2 p ) 的跃迁， 代入（4）中知道 C 200,100 = 0, W200,100 = 0即自
（1）
则在较长的时间以后，体系从一个单态 Ek，跃迁到一个单态 Ek’ 的跃迁几率 Wk’k 是以下式表示的：
π ω k' k = 2
Wk' k
2
δ
(E k' − E k
Wk ' k
4π 2 q 2 → = r / ρ (ω 3 2 k k
→ 2
2
k /k
)
→
（1）
式中 rk 'k 应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和，但在一维谐振子情形， rk / k 仅有一项 x / k k
2 4π 2 q 2 x k / k ρ (ω 2 3
2
Wk ' k =
k /k
)
（ 2）
其次计算偶极矩阵元 (ez ) k 'k ，按题意，要求两种跃迁几率，下面分别进行：
(1s → 2s ) 跃迁，即从态ψ (ez ) 200 ,100 = 1
100
跃迁到ψ (2 −
200 r
的几率：
r
∫ ∫
r
θ
∫[
ϕ
1 32π a 3
r r
− r − 2a 1 )a ][er cosθ ][ e a ] ⋅ r 2 sin θ drdθ dϕ a π a3
1
r
=
r= ∞
r= 0
∫
r e
4
dr ⋅
π
θ =0
∫
cos θ sin θ dθ ⋅
2
2π
ϕ =0
∫ dϕ
=
⋅ 4!⋅ (
π − 2a 5 1 ) ⋅ (− cos 3 θ ) 2π 0 3 3
（11）
=
将三种值分别代入（7），得 C 211,100 = 0, C 21− 1,100 = 0
C 210,100 =
由于 2p 有三种不同态，自 1s 跃迁到每一态都有一定几率，因而要分别计算再求总和。
r r
(ez ) 211,100 =
∫ ∫
r
θ
∫[
ϕ
− r − 1 ( )e 2a sin θ e iϕ ][er cos θ ][ e a ] ⋅ r 2 sin θ drdθ dϕ 8 π a3 a π a3
1
(n 二者之中，一个是奇数另一个是偶数。 （2）跃迁速率：依前题公式（1）
Wk ' k
2 4π 2 q 2 = x ρ (ω ' kk 3 2
64a 2 q 2 k' k2 k'+ k = ⋅ ⋅ [( − 1 ) − 1] 2 ⋅ ρ (ω ' ) 2 2 2 kk ' 2 4 3π (k − k )
2
k 'k
)
（4 ）
k ' ± k = 偶数时 Wk 'k = 0 ， k ' ± k = 奇数时 W k 'k 1027π 2a 2 q 2 k' k 2 = ⋅ ρ (ω 2 3π 2 h2 ( k ' − k 2 )4
2
k 'k
)
（5）
粒子从基态 k = 1 ，跃迁到任何一个偶数态 k ' = 2n 的速率：
+
1 α
k+ 1 δ 2
k ' ,k + 1
（5）
由此知道，对指定的初态 k 来说，要使矢径矩阵元（即偶极矩阵元）不为零，末态 k ' 和初态 k 的关 系必需是：
k ' = k − 1, 这时 xk 'k = xk − 1,k =
1 α
k 2
（6）
k ' = k + 1, 这时 xk 'k = xk + 1,k =
'
0
(3)
从最后一式知道，要使矩阵元 x k 'k ≠ 0 ， k ' + k 必需要是奇数。 但这个规律也可以用别种方式叙述， 当
k' + k 是
奇
数
时
k ' + k − 2k = k ' − k
必然也是奇数，因此一维无限深势阱受光照的选择定则是：表示初态和末态的量子数之和（或 差）应是个奇数
k ' ± k = (2n − 1)
根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元
xk / k =
式中ψ
∫
∞ −∞
ψ
( 0 )∗ k'
xψ
(0) k
( x )dx H k (ax ) ， a =
（ 3）
(0) k
( x) =
π k!2
a
k
µω
要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式：
xψ
(0) k
=
1 k { ψ α 2
( 0) n
t ε (t ) = − τ ε e 0
0
( t < 0) ( t > 0) (τ 为常数 )
求时间充分长后，氢原子跃迁到 2s，或 2p 态的几率。
（解）按照习惯表示法，氢原子的初态（ k 态）的波函数是： ψ
100 ，末态（
k ' 态）的波函数是
ψ
200
或ψ
21m
，它们的显式是如下：
e2 Ε 0
=
2 e 2 Ε 0 a 2τ 2 215 ⋅ 2 ω 2 [1 + (ω k ' − ω k ) τ 2] 3 1 2 1+ (3e τ ) 8 a 15 e 2 Ε 0 2 a 2 τ 2 ⋅2 2 2 3ω ⋅
=
11.8 氢原子处于基态加上交变电场 Ε
= Ε
0
(e iω t + e − iω t ) ， ω
− t τ
（ 4）
微扰是指氢原子在此均匀电场中的偶极矩势能：
H' =
ε
→
0e
⋅er =
→
ε
τ 0 e er cos θ
−
t
（5）
ˆ ' 在初态ψ 微扰算符 H H 'k 'k = = ε 0e
− t τ
k
（即ψ
100 ）以及末态（即 t
ψ
200
或ψ
21m
）ψ
k'
之间的矩阵元是：
∫∫∫ψ
τ
* k'
H ' ψ k dτ
r
（3b）
ψ
210
（3c）
这些公式后面都要用来计算几率。从题意看来，原子所受的微扰是个随时间变化的函数，而且，电 场的方向是固定的，与光照射情形不同（光的电磁场是看作各向同性的），因此只能用一般的随时 间变化的跃迁振幅公式§ 11-2 公式（14）
C k 'k ( t ) =
Λ
1 t ' iω k'k H ' e dt i ∫ 0 k k
利用不定积分公式：
∫
x
x cos pxdx =
(2)
x k 'k
1 ax ( k ' − k )π x a2 ( k ' − k )π x = { ' sin + ' cos a ( k − k )π a ( k − k )2 π 2 a
a
ax ( k ' + k )π x a2 ( k ' + k )π x − ' sin − ' cos } ( k + k )π a ( k − k )2 π 2 a = 4k ' ka ( − 1)k + k − 1 ⋅ π 2 ( k ' 2 − k 2 )2
>>
电离能，用微扰论一级
近似，计算氢原子的每秒电离的几率。 解：本题的性质属周期性微扰问题范围，但这过程中的末状态是电离态，电离态可以包括一切方向 传播的平面几率波，因此在跃迁几率方面要用类似于弹性散射的积分计算。 根据 11.3 章周期性微扰论，若体系受微扰：
∧ W iω t + e − iω t ) H ' = 2 (e
e 4 − 2a = ∫ r e dr ⋅ ∫ sin 2 θ cos θ dθ ⋅ ∫ e iϕ dϕ 4 r 8π a θ =0 ϕ =0
同理可求
3r
π
2π
（9）
(ez )21− 1,100 = =
∫ ∫
r
θ
∫[
ϕ
π
− r − 1 ( )e 2a sin θ e − iϕ ][er cosθ ][ e a ] ⋅ r 2 sin θ drdθ dϕ 8 π a3 a π a3 2π
Λ
=
* ∫ ∫ ∫ ψ k ' [ε 0 e τ er cosθ ]ψ k dτ
−
τ
∫ ∫ ∫ψ
τ
* k'
(er cos θ ) ψ k dτ
（ 6） 表达：
= ε 0 e (ez ) k 'k
[ iω ' − ]t − ε0 iω ' t 1 t kk τ τ kk = ( ez ) e dt C k 'k ( t ) = ε e ( ez ) ⋅ e dt ' ' 0 kk ∫ ∫ kk 0 i i t= o
[(ω
k'
2 7⋅ 5 ⋅a i 35 − ω k)+ ] τ ⋅
ε 0e
（12）
相应的跃迁几率（自ψ
100
态 — —ψ
210
态 ）因 ω
k'k
= ω
k
'
−ω
2
k
=
E 2 E1 − e 2 − e 2 − = − 8a 2a
|2 = W 210， 100 = | C 210， 100
a2 215 ⋅ 1 ω 2 2 [(ω k ' − ω ) + 2 ] 3 τ
(0) k−1
+
k+1 ψ 2
(0) k+ 1
}
（ 4）
代入（3），利用波函数的正交归一化关系：
∫ψ
x
( 0) * n
ψ
dx = δ
( 0 )* k
'
mn
xk 'k =
∫
∞ −∞
ψ
⋅
1 k { ψ α 2
(0) k− 1
+
k+ 1 ψ 2
(0) k+ 1
}dx =
1 α
k δ 2
k ' ,k − 1
11.3 设有一带电 q 的粒子，质量为 µ ，在宽度为 a 的一维无限深势阱中运动，它在入射光照射下 发生跃迁，波长 λ > > a 。 （1）求跃迁的选择定则。 （2）设粒子原来处于基态，求跃迁速率公式。 解：本题亦是一维运动，并且亦是周期性微扰，故可用前题类似方法。 （1）跃迁选择定则： 按第三章§3.1 一维无限深势阱定态波函数是：（原点取在势阱左端）