习题九及答案

习题九 概率波

一 选择题 1.(B). 2.(D).3.(D).4. C 5.A 6.C

1.在氢原子的L 壳层中，电子可能具有的量子数(n ，l ，m l ，m s )是 ［ B ］

(A) (1，0，0，21-)． (B) (2，1，-1，21)． (C) (2，0，1，21-)． (D) (3，1，-1，2

1-)． 2. 已知粒子处于宽度为a 的一维无限深势阱中运动的波函数为 ［ D ］ a

x n a x n π=sin 2)(ψ ，n = 1, 2, 3, … 则当n = 1时，在x 1 = a /4 →x 2 = 3a /4区间找到粒子的概率为 (A) 0.091． (B) 0.182． (C) 1． (D) 0.818．

3. 氢原子中处于3d 量子态的电子，描述其量子态的四个量子数(n ，l ，m l ，m s )可能取的值为［ D ］

(A) (3，0，1，21-

)． (B) (1，1，1，2

1-)． (C) (2，1，2，21)． (D) (3，2，0，21)． 4．下列四组量子数：

（1）n = 3，l = 2，0l m =，1/2s m =；

（2）n = 3，l = 3，1l m =，1/2s m =； （3）n = 3，l = 1，1l m =-，1/2s m =-；

（4）n = 3，l = 0，0l m =，1/2s m =-。 其中可以描述原子中电子状态的 [ C ]

（Ａ）（１）和（３）； （Ｂ）（２）和（４）； （Ｃ）（１）、（３）和（４）；（Ｄ）（２）、（３）和（４）。 解：根据氢原子的量子理论和四个量子数（n ，l ，l m ，s m ）的取值关系，当n = 3时，l 的可能取值为0，1，2；l m 的可能取值是0,1,2±±，12

s m =±，因而（1）（3）和（4）可以描述原子中电子状态，故选项（C ）对。 5．根据玻尔的理论，氢原子在n =5轨道上的角动量与在第一激发态的轨道角动量之比为 [ A ]

（Ａ）5/2； （Ｂ）5/3； （Ｃ）5/4； （Ｄ）５。

解：玻尔理论中角动量满足公式2h L n π

=，第一激发态，n = 2。由此可得答案（A ）。 6．将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布概率将[ D ]

（Ａ）增大D 2倍； （Ｂ）增大2D 倍； （Ｃ）增大D 倍； （Ｄ）不变。

解：不变。波函数是概率函数，其模的平方描述粒子t 时刻在空间某点出现的概率。而概率是相对值，任意两点1和2之间的概率比值为：

22112222D D ψψψψ= 可见，各点振幅同时增大D 倍时概率分布不变。 二 填空题

1.主量子数n = 4的量子态中，角量子数l 的可能取值为__ 0，1，2，3_；磁量子数m l 的可能取值为0，±1，±2，±3___．

2．在主量子数n =2，自旋磁量子数21=

s m 的量子态中，能够填充的最大电子数是____4__． 3．处于基态的氢原子被能量为12.09eV 的光子激发时，其电子的轨道半径为基态轨道半径的 9 倍。 三 计算题

1.能量为15 eV 的光子，被处于基态的氢原子吸收，使氢原子电离发射一个光电子，求此光电子的德布罗意波长． (电子的质量m e =9.11×10-31 kg ，普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ，1 eV =1.60×10-19 J)

解：远离核的光电子动能为 4.16.1315212=-==v e K m E eV 则 ==e

K m E 2v 7.0×105 m/s 光电子的德布罗意波长为 ===

v e m h p h λ 1.04×10-9 m =10.4 Å

2.粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： )/sin(/2)(a x n a x n π=ψ (0

若粒子处于n =1的状态，（1）它在 0－a /4区间内的概率是多少？[提示： C x x x x +-=⎰2sin )4/1(2

1d sin 2] （2）求发现粒子的概率为最大的位置．

解： x a

x a x P d sin 2d d 22π==ψ (1)粒子位于0 – a /4内的概率为： x a

x a P a d sin 24

/02⎰π=)d(sin 24/02a x a x a a a πππ=⎰ 4/0

21

]2sin 41[2a a x a x πππ-=)]42sin(414[221a a a a π-ππ= =0.091 (2) 当 1)/2cos(-=πa x 时， 2)(x ψ有最大值．在0≤x ≤a 范围内可得 π=πa x /2

∴ a x 2

1=． 3．设有一电子在宽为0.20 nm 的一维无限深的方势阱中。

（1）计算电子在最低能级的能量；

（2）当电子处于第一激发态（2n =）时，在势阱中何处出现的概率最小，其值为多少？

答案：（1）9.43eV ；（2）在0,,2

a x a =（即0 0.10nm 0.20nm x =，，）处概率最小，其值均为零。 解：（1）一维无限深势阱中粒子的可能能量2

2

2

8n h E n ma =，式中a 为势阱宽度。 当量子数1n =时，粒子处于基态，能量最低。因此，电子在最低能级的能量为 2

181 1.5110J 9.43eV 8h E ma

-==⨯= （2

）粒子在无限深方势阱中的波函数为：(),1,2,...n n x x n a πψ=

= 当它处于第一激发态（2n =

）时，波函数：2(),0x x x a a πψ=

≤≤ 相应的概率密度函数：2222()sin ,0x x x a a a

πψ=≤≤ 令 ()2d ()0d x x ψ=， 得 2822sin cos 0x x a a a

πππ=。 在0x a ≤≤的范围内讨论可得，当30,,,,424

a a a x a =时，函数2()x ψ取得极值。 由()2d ()0d x x ψ>可知，函数在0,,2

a x a =（即0 0.10nm 0.20nm x =，，）处概率最小，其值均为零，即电子不出现在这些位置。