第一章 质点运动学课后习题解答

1-10一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：
θ= 2 + 4t3．求：
（1）t= 2s时，它的法向加速度和切向加速度；
（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？
（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？
解：（1）角速度为ω =dθ/dt= 12t2= 48(rad·s-1)，
弹2： （3）
（4）
由（1）（2）（3）（4），解得： ， ， ，
或者 ， ， ， 。（答案里少这种情况）
故物体的速度与位置的关系为
1-12.一质点在平面内运动，其加速度 ，且 ， 为常量。(1)求 和 的表达式；(2)证明质点的轨迹为一抛物线t=0时， ， 。
解：由 得
两边积分得
因 ， 为常量，所以a是常矢量，上式变为 即
由 得
两边积分，并考虑到 和a是常矢量，
即
(2)为了证明过程简单起见，按下列方式选取坐标系，使一个坐标轴(如x轴)与a平行，并使质点在t=0时刻位于坐标原点。
解：
，
1-17一火炮在原点处以仰角 、初速 发射一枚炮弹。另有一门位于 处的火炮同时以初速 发射另一枚炮弹，其仰角 为何值时，能与第一枚炮弹在空中相碰？相碰时间和位置如何（忽略空气阻力的影响）？
解：建立如图坐标，设经过时间 在 处两只炮弹相碰，分别讨论两炮弹的抛体运动，相遇时有：
弹1： （1）
（2）
所以 =3.154(rad)．
（3）当at= an时，可得rβ=rω2，即：24t= (12t2)2，
解得：t= (1/6)1/3= 0.55(s)．
1-11.一物体沿x轴运动，其加速度与位置的关系为a=2+6x。物体在x=0处的速度为 ，求物体的速度与位置的关系。
解：
对上式两边积分得
化简得
由题意知
解：(1)由 得
两边积分，得
即
由t=0时v=0得c=g
所以，物体的速率随时间变化的关系为:
(2)当a=0时有a=g-Bv=0
由此得收尾速率v=g/B
1-14一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向做谐振动，其加速度 ， 为常数， 是离开平衡位置的坐标值。设 处物体的速度为 ，求速度 与 的函数关系。
解：建立如图坐标，由 ，
第一章 质点运动学
1-1.质点的曲线运动中，下列各式表示什么物理量？
； ； ； ； ； ； ； 。Байду номын сангаас
解：
1-2.设质点的运动方程为 。在计算质点的瞬时速度和瞬时加速度时，有人先求出 ，然后再根据 和 求解。也有人用分量式求解，即 和 ，问哪种方法正确？
解：第二种方法正确
1-3．已知质点沿x轴作直线运动,其运动方程为 ,式中x的单位为m,t的单位为 s．求：
解：质点运动的角速度和角加速度分别为：
切向加速度：
法向加速度：
⑴当 时
⑵加速度的方向和半径成 时，即
此时角位移
1-8.飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为β=0.2 rad· ，求 ＝2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．
解：当 时，
则
1-9.飞机以100 m·ｓ-1 的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100 m时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问：(1) 此时目标在飞机正下方位置的前面多远？ (2) 投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？(3) 物品投出2.0ｓ后,它的法向加速度和切向加速度各为多少？
又
所以 ，
分离变量 ，
积分
所以 。
1-15火车在曲率半径 的圆弧轨道上行驶。已知火车的切向加速度 ，求火车的瞬时速率为 时的法向加速度和加速度。
解：法向加速度
加速度大小
1-16一物体做如附图所示的抛体运动，测得轨道上 点处，速度的大小为 ，其方向与水平线的夹角为 ，求点 的切向加速度和该处的曲率半径。
法向加速度为an= rω2= 230.4(m·s-2)；
角加速度为β =dω/dt= 24t= 48(rad·s-2)，
切向加速度为at= rβ= 4.8(m·s-2)．
（2）总加速度为a =(at2+ an2)1/2，
当at= a/2时，有4at2= at2+ an2，即 ．
由此得 ，即 ，
解得 ．
所以
(4)
把t=2s代入式(3)、(4)，可得该时刻质点的速度和加速度。
1-6.已知运动函数为 (R,ω为常量)，求质点的速度、加速度、切向加速度和法向加速度。
解：速度：
速度大小：
加速度：
加速度大小：
切向加速度： ；法向加速度：
1-7.质点沿半径为 的圆周运动, 运动方程为 （SI）. 求：⑴ s时, 质点的切向加速度和法向加速度.⑵当加速度的方向和半径成 角时,角位移是多少？
这样 (1)
(2)
由前面推导过程知 (3)
联立(1)~(3)式，消去参数t得
此即为轨道方程，它为一条抛物线。
1-13.在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为 ，g为重力加速度，B为与物体的质量、形状及媒质有关的常数。设t=0时物体的初速度为零。(1)试求物体的速度随时间变化的关系式；(2)当加速度为零时的速度(称为收尾速度)值为多大?
(1) 质点在运动开始后4.0 s内的位移的大小；
(2) 质点在该时间内所通过的路程；
(3)t＝4 s时质点的速度和加速度．
解：(1) 质点在4.0 s内位移的大小
(2) 由
得知质点的换向时刻为
(t＝0不合题意)
则
所以,质点在4.0 s时间间隔内的路程为
(3)t＝4.0 s时
1-4.质点的运动方程为
式中x,y的单位为m,t的单位为ｓ．
试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向．
解(1) 速度的分量式为
当t＝0 时,v0x＝-10 m·ｓ-1,v0y＝15 m·ｓ-1,则初速度大小为
设v0与x轴的夹角为α,则
α＝123°41′
(2) 加速度的分量式为
,
则加速度的大小为
设a与x轴的夹角为β,则
解:(1) 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为
x＝vt,y＝1/2gt2
飞机水平飞行速度v＝100 m·s-1,飞机离地面的高度y＝100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离
(2) 视线和水平线的夹角为
(3) 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为
取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为
β＝-33°41′(或326°19′)
1-5．一质点的运动学方程为 ， (S1)。试求：(1)质点的轨迹方程：(2)在 s时，质点的速度和加速度。
解(1)由质点的运动方程
(1)
(2)
消去参数t，可得质点的轨迹方程
(2)由(1)、(2)对时间t求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度
所以
(3)