几何概型练习及答案

几何概型
14．甲、乙两人约定在６时到７时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．
15.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达码头的时刻是等可能的,如果甲船停泊时间为1h,乙船停泊时间为2h,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率. 14．解:以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间,则两人能会面的充要条件是||15x y -≤.在平面上 建立直角坐标系如图所示,则(x ,y )的所有可能结果是边长60的正方形,而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示,这是一个几何概型问题.
15．解:设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y,A 为两艘船都不需要码头空出,
()[]{},|0,24x y x Ω=∈,要满足A,则1y x -≥或2x y -≥
∴A=()[]{},|12,0,24x y y x x y x -≥-≥∈或∴()2
2211(241)242506.5220.8793424576
A A S P S Ω-⨯+-⨯====.
如图，60AOB ∠=，2OA
=，5OB =，在线段OB 上任取一点C ，
试求：(1)AOC
∆为钝角三角形的概率；(2)AOC ∆
为锐角三角形的概率．
当堂练习：
1．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]（g ）范围内的概率是（ B ）A ．0.62 B ．0.38 C ．0.02 D ．0.68
2．在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm 2与49 cm 2
之间的概
率为（ B ）A ．310 B ．15 C ．25 D ．4
5
3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，构成数对（x ，y ），则所有数对（x ，
y C ） B ．216 C ．316 D ．1
4
4．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为（ A ）
A ．
3
4 B ．38 C ．14 D ．1
8
5．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．则 求两人会面的概率为（ C ）
A ．13
B ．49
C ．59
D ．710
6如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为（ A ）
A ．2π
B ．1π
C ．23
D ．13
7．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部
分的概率为（ A ）
A ．18
B ．14
C ．12
D ．34
8．现有100ml 的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20ml 的蒸馏水，则抽到细菌的概率为
（ B ）A ．1100 B ．120 C ．110
D ．1
5
9．一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5:00至
6:00，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（ C ）A ．1
4 B ．1
8 C ．1
10 D ．1
12
10．在区间[0,10]中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是（ C ）A ．1
5 B ．2
5 C ． 35 D ．
2
7 11．若过正三角形ABC 的顶点A 任作一条直线L ，则L 与线段BC 相交的概率为（ C ）
A ．1
2 B ．1
3 C ． 16 D ．1
12
12．在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（ B ）
A ．0.5
B ．0.4
C ．0.004
D ．不能确定
13．平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r<a 的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率（ c ）
A ．r a
B ．2r a
C ． a r a -
D ．2a r a -
14．已知地铁列车每10min 一班，在车站停1min ．则乘客到达站台立即乘上车的概率为 111
．
16．在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于
5
6
的概率是 ．
17．假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间为早上7：00～8：00之间，你父亲在离开家前能拿到报纸的概率为_______． 18．飞镖随机地掷在下面的靶子上．
（1）在靶子1中，飞镖投到区域A 、B 、C 的概率是多少？
（2）在靶子1中，飞镖投在区域A 或B 中的概率是多少？在靶子2中，飞镖没有投在区域C 中的概率是多少？
19．一只海豚在水池中游弋，水池为长30m ，宽20m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率． 20．在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率．
21．利用随机模拟方法计算曲线1
y x
=，1x =，2x =和0y =所围成的图形的面积．
经典例题：解：如图，由平面几何知识：
当AD OB ⊥时，1OD =；当OA AE ⊥时，4OE =，1BE =． （１）当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时，AOC ∆为钝角三角形 记＂AOC ∆为钝角三角形＂为事件M ，则11
()0.45
OD EB P M OB ++=
==即AOC ∆为钝角三角形的概率为0.4．
（２）当且仅当点C 在线段DE 上时，AOC ∆为锐角三角， 记＂AOC ∆为锐角三角＂为事件N ，则3
()0.65
DE P N OB =
==即AOC ∆为锐角三角形的概率为0.6． 1.B; 2.B; 3.C; 4.A; 5.C; 6.A; 7.A; 8.B; 9.C; 10.C; 11.C; 12.B; 13.B; 14. 111
; 16.
2572
; 17. 87.5%;18.
（1）都是
13；（2）23;34。

19.解：由已知可得，海豚的活动范围在26×16㎡的区域外， 所以海豚嘴尖离岸边不超过m 2的概率为2616
10.3083020
P ⨯=-
=⨯。

20.解：设构成三角形的事件为A ，长度为10的线段被分成三段的长度分别为x ，y ，
10－（x ＋y ），
则 010010010()10x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<-+<⎩，即010010010x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<+<⎩
．
由一个三角形两边之和大于第三边，有
10()x y x y +>-+，即510x y <+<． 又由三角形两边之差小于第三边，有
5x < ，即05x <<，同理05y <<． ∴ 构造三角形的条件为05
05
510x y x y <<⎧⎪
<<⎨⎪<+<⎩
． ∴ 满足条件的点P （x ，y ）组成的图形是如图所示中的阴影区域（不包括区域的边界）．
2125·522S ∆阴影＝＝，21·1052OAB S ∆＝＝0．∴ 1
()4
OMN S P A S ∆∆阴影＝＝．
21. 解：（１）利用计算器或计算机产生两组0到1区间上的随机数，1a RAND =，b RAND =； （２）进行平移变换：11a a =+；（其中,a b 分别为随机点的横坐标和纵坐标） （３）数出落在阴影内的点数1N ，用几何概型公式计算阴影部分的面积． 例如，做1000次试验，即1000N =，模拟得到1689N =，所以1
0.6891S N N
≈=，即0.689S ≈． 几何概型例题分析
[例1] 甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等另一人15分钟，若另一人
仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。

解：设x 为甲到达时间，y 为乙到达时间.建立坐标系，如图15||≤-y x 时可相见，即阴影部分
16760
45602
22=-=P
[例2] 设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A 连接，求弦长超过半径2倍的概率。

解：R AC AB 2||||=
=. ∴ 2
1
2==
=
⋂
R R BCD
P ππ圆周
[例3] 将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过
2
1
的概率。

解：设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ，第三段的长度为y x --1，则基本事件组所对应的几何区域可表
示为
}10,10,10|),{(<+<<<<<=Ωy x y x y x ，即图中黄色区域，此区域面积为
2
1。

事件“三段的长度都不超过
21
”所对应的几何区域可表示为 Ω∈=),(|),{(y x y x A ，}2
1
1,21,21<--<<y x y x
即图中最中间三角形区域，此区域面积为8
1
)21(212=⨯
此时事件“三段的长度都不超过2
1”的概率为41
2
181
==P
[例4] 两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，对讲机的接收范围是25km ，下午3：00张三在基地正东30km
内部处，向基地行驶，李四在基地正北40km 内部处，向基地行驶，试问下午3：00，他们可以交谈的概率。

解：设y x ,为张三、李四与基地的距离]30,0[∈x ，]40,0[∈y ，以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对
),(y x ，表示区域总面积为1200，可以交谈即2522≤+y x 故192
251200
254
1
2
π
π=
=P [例5] 在区间]1,1[-上任取两数b a ,，运用随机模拟方法求二次方程02
=++b ax x 两根均为正数的概率。

⎪⎩⎪
⎨⎧>=⋅>-=+≥-=∆000
42
1212b x x a x x b a 解：（1）利用计算器产生 0至1区间两组随机数11,b a （2）变换 121-*=a a ，121-*=b b （3）从中数出满足条件 2
4
1a b ≤
且0<a 且0>b 的数m （4）n m P =（n 为总组数）
[例6] 在单位圆的圆周上随机取三点A 、B 、C ，求∆A B C
是锐角三角形的概率。

解法1：记∆A B C 的三内角分别为αβ,，παβ--，事件A 表示“∆A B C 是锐角三角形”，则试验的全部结果组成集合
Ω=<<<+<{(,)|,,}
αβαβπαβπ
00。

因为∆A B C
是锐角三角形的条件是 02
<<αβπ,且αβπ
+>2
所以事件A 构成集合A =+><<{(,)|,,}
αβαβπαβπ202
由图2可知，所求概率为 PA
A ()=的面积的面积Ω==12212
142
2
()
ππ。

解法2：如图3所示建立平面直角坐标系，A 、B 、C 1、C 2为单位圆与坐标轴的交点，当∆A B C
为锐角三角形，记为事件A 。

则当C 点在劣弧CC 12
上运动时，∆A B C 即为锐角三角形，即事件A 发生，所以P A ()=⨯=1
42214
π
π 解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率。

[例7]将长为L 的木棒随机的折成3段，求3段构成三角形的概率．
解：设M =“3段构成三角形”．x y ，分别表示其中两段的长度，则第三段的长度为
L x y --．{}()000x y x L y L x y L Ω=<<<<<+<，，，|．
由题意，x y L x y --，，要构成三角形，须有x y L x y +>--，即1
2
x y +>
； ()x L x y y +-->，即2L
y <
；()y L x y x +-->，即2
L x <
． 故()|222L L L M x y x y y x ⎧⎫=+><<⎨⎬⎩⎭
，，，． 如图
1
所示，可知所求概率为
2
21122()42
L M P M L ⎛⎫ ⎪⎝⎭===Ω·的面积的面积． [例8]在区间[01]，
上任取三个实数x y z ，，，事件2
2
2
{()1}A x y z x y z =++<，，|． （1）构造出此随机事件对应的几何图形；（2）利用该图形求事件A 的概率．
解：（1）如图2所示，构造单位正方体为事件空间Ω，正方体以O 为球心，以1为半径在第一卦限的
1
8
球即为事件A ．（2）3314π1
π
83()16
P A ⨯==·
[例9] 例5、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝7.现在向该矩形内随机投一点P ，求0
90>∠APB 时的概率。

解：由于是向该矩形内随机投一点P ，点P 落在矩形内的机会是均等的，故可以认为矩形ABCD 是区域Ω.要使得0
90>∠APB ，须满足点P 落在以线段AB 为直径的半圆内，以线段AB 为直径的半圆可看作区域A.记“点P 落在以线段AB 为直径的半圆内”为事件A ，于是求0
90>∠APB 时的概率，转化为求以线段AB 为直径的半圆的面积与矩形ABCD 的面积的比，依题意得，8
25)25(212π
πμ=⋅=
A ，矩形ABCD 的面积为35=Ωμ，故所求的概率为.56
535825)(π
π
==A P
P
例9图
D
C
B
A
点评：挖掘出点P 必须落在以线段AB 为直径的半圆内是解答本题的关键。

[课后习题]
1．一枚硬币连掷3次，至少出现两次正面的概率是（ ） Ａ．
14
Ｂ．
12
Ｃ．
38
Ｄ．
2
3
答案：Ｂ 2．在正方形ABCD 内任取一点P ，则使90APB ∠<°的概率是（ ） Ａ．
π8
Ｂ．
π4 Ｃ．π18
-
Ｄ．π
14
-
答案：Ｃ 3．已知地铁列车每10min 到站一次，且在车站停1min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是（ ） Ａ．
110 Ｂ．16 Ｃ．
1160 Ｄ．
1
11
答案：Ｄ 4．在两根相距6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m 的概率是（ ） Ａ．
12
Ｂ．
13
Ｃ．
14
Ｄ．
1
5
答案：Ｂ 5．在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率是（ ） Ａ．
π16
Ｂ．
π8
Ｃ．
π4
Ｄ．
π
2
答案：Ｂ 6．在线段[03]，
上任取一点，则此点坐标小于1的概率是 ． 答案：13
7．在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是 ． 答案：
1
250
8．从1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10ml ，则其含有麦锈病的种子的概率是 ． 答案：0.01
9.将数2.5随机地（均匀地）分成两个非负实数，例如2.143和0.357或者3和2.5－3，然后对每一个数取与它最接近的整数，如在上述第一个例子中是取2和0，在第二个例子中取2和1.那么这两个整数之和等于3的概率是多少？（答案：
5
2） 11.在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率。

（答案：4
3） 12.设p 在[0，5]上随机地取值，求方程02
142
=++
+p px x 有实根的概率。

（答案：53）
13.在集合}40,50|),{(≤≤≤≤y x y x 内任取一个元素，能使代数式0121934≥-+y x 的概率是多少？（答案：10
3
）。