几何概型练习及答案

几何概型

14．甲、乙两人约定在６时到７时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．

15.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达码头的时刻是等可能的,如果甲船停泊时间为1h,乙船停泊时间为2h,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率. 14．解:以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间,则两人能会面的充要条件是||15x y -≤.在平面上 建立直角坐标系如图所示,则(x ,y )的所有可能结果是边长60的正方形,而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示,这是一个几何概型问题.

15．解:设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y,A 为两艘船都不需要码头空出,

()[]{},|0,24x y x Ω=∈,要满足A,则1y x -≥或2x y -≥

∴A=()[]{},|12,0,24x y y x x y x -≥-≥∈或∴()2

2211(241)242506.5220.8793424576

A A S P S Ω-⨯+-⨯====.

如图，60AOB ∠=，2OA

=，5OB =，在线段OB 上任取一点C ，

试求：(1)AOC

∆为钝角三角形的概率；(2)AOC ∆

为锐角三角形的概率．

当堂练习：

1．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]（g ）范围内的概率是（ B ）A ．0.62 B ．0.38 C ．0.02 D ．0.68

2．在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm 2与49 cm 2

之间的概

率为（ B ）A ．310 B ．15 C ．25 D ．4

5

3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，构成数对（x ，y ），则所有数对（x ，

y C ） B ．216 C ．316 D ．1

4

4．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为（ A ）

A ．

3

4 B ．38 C ．14 D ．1

8

5．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．则 求两人会面的概率为（ C ）

A ．13

B ．49

C ．59

D ．710

6如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为（ A ）

A ．2π

B ．1π

C ．23

D ．13

7．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部

分的概率为（ A ）

A ．18

B ．14

C ．12

D ．34

8．现有100ml 的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20ml 的蒸馏水，则抽到细菌的概率为

（ B ）A ．1100 B ．120 C ．110

D ．1

5

9．一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5:00至

6:00，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（ C ）A ．1

4 B ．1

8 C ．1

10 D ．1

12

10．在区间[0,10]中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是（ C ）A ．1

5 B ．2

5 C ． 35 D ．

2

7 11．若过正三角形ABC 的顶点A 任作一条直线L ，则L 与线段BC 相交的概率为（ C ）

A ．1

2 B ．1

3 C ． 16 D ．1

12

12．在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（ B ）

A ．0.5

B ．0.4

C ．0.004

D ．不能确定

13．平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r

A ．r a

B ．2r a

C ． a r a -

D ．2a r a -

14．已知地铁列车每10min 一班，在车站停1min ．则乘客到达站台立即乘上车的概率为 111

．

16．在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于

5

6

的概率是 ．

17．假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间为早上7：00～8：00之间，你父亲在离开家前能拿到报纸的概率为_______． 18．飞镖随机地掷在下面的靶子上．

（1）在靶子1中，飞镖投到区域A 、B 、C 的概率是多少？

（2）在靶子1中，飞镖投在区域A 或B 中的概率是多少？在靶子2中，飞镖没有投在区域C 中的概率是多少？

19．一只海豚在水池中游弋，水池为长30m ，宽20m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率． 20．在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率．

21．利用随机模拟方法计算曲线1

y x

=，1x =，2x =和0y =所围成的图形的面积．

经典例题：解：如图，由平面几何知识：

当AD OB ⊥时，1OD =；当OA AE ⊥时，4OE =，1BE =． （１）当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时，AOC ∆为钝角三角形 记＂AOC ∆为钝角三角形＂为事件M ，则11

()0.45

OD EB P M OB ++=

==即AOC ∆为钝角三角形的概率为0.4．

（２）当且仅当点C 在线段DE 上时，AOC ∆为锐角三角， 记＂AOC ∆为锐角三角＂为事件N ，则3

()0.65

DE P N OB =

==即AOC ∆为锐角三角形的概率为0.6． 1.B; 2.B; 3.C; 4.A; 5.C; 6.A; 7.A; 8.B; 9.C; 10.C; 11.C; 12.B; 13.B; 14. 111

; 16.

2572

; 17. 87.5%;18.

（1）都是

13；（2）23;34

。 19.解：由已知可得，海豚的活动范围在26×16㎡的区域外， 所以海豚嘴尖离岸边不超过m 2的概率为2616

10.3083020

P ⨯=-

=⨯。

20.解：设构成三角形的事件为A ，长度为10的线段被分成三段的长度分别为x ，y ，

10－（x ＋y ），

则 010010010()10x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<-+<⎩，即010010010x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<+<⎩

．

由一个三角形两边之和大于第三边，有

10()x y x y +>-+，即510x y <+<． 又由三角形两边之差小于第三边，有

5x < ，即05x <<，同理05y <<． ∴ 构造三角形的条件为05

05

510x y x y <<⎧⎪

<<⎨⎪<+<⎩

． ∴ 满足条件的点P （x ，y ）组成的图形是如图所示中的阴影区域（不包括区域的边界）．

2125·522S ∆阴影＝＝，21·1052OAB S ∆＝＝0．∴ 1

()4

OMN S P A S ∆∆阴影＝＝．

21. 解：（１）利用计算器或计算机产生两组0到1区间上的随机数，1a RAND =，b RAND =； （２）进行平移变换：11a a =+；（其中,a b 分别为随机点的横坐标和纵坐标） （３）数出落在阴影内的点数1N ，用几何概型公式计算阴影部分的面积． 例如，做1000次试验，即1000N =，模拟得到1689N =，所以1

0.6891S N N

≈=，即0.689S ≈． 几何概型例题分析