光学常用非初等函数

3、符号函数—sgn(x) ：
1 1
⎧1 ⎪ sgn( x) = ⎨ 0 ⎪− 1 ⎩
x>0 x=0 x<0
sgn( x) 6 −1 1 −5 x 5 0 6
4、阶跃函数—step(x)或H(x)：光学上表示直边或刀口 衍射体;
1 1
⎧ 1 ⎪ step ( x) = ⎨1 / 2 ⎪ 0 ⎩
x>0 x=0 x<0
0 0
推论2：f(x)是(a,b)中函数.
⎧ f ( x0 ), a < x0 < b ∫∞δ ( x − x0 ) f ( x)dx = ⎨ 0, 其他 ⎩ − （b）乘法性质
∞
δ ( x − x0 ) f ( x) = δ ( x − x0 ) f ( x0 )
推论:
⎧ 0，x0 ≠ 0 δ ( x − x0 )δ ( x) = ⎨ ⎩无定义, x0 = 0
2
(
2
)
0.5 0.33 0.17
5.255×10
− 13
3 −3
2
1
0 x
1
2 3
3
Rect(x)
二、一维非初等函数一般形式 1、函数的比例、平移： 比例、反射：
f ( x) ⇒ bf (ax) a：横向缩放因子, 负号代表反射； b：纵向缩放因子，负号代表反射；
Rect(x) -ax x -bf(x) x
4、 两维δ函数与梳状函数： （a）定义和性质:自变量由一维扩展到两维。
comb
δ
δ ( x, y ) = δ ( x ) ⋅ δ ( y )
comb( x, y ) = comb( x) ⋅ comb( y )
（b）极坐标中的δ函数。
x,y
r
x,y
r
δ ( x, y )
δ (r )
δ ( x + x0 , y )
二、贝塞尔函数 1、 n阶第一类贝塞尔函数定义： 贝塞尔微分方程：
1 1
0.5 J0 ( x) J1 ( x) 0
− 0.4 0 5 d w 1 dw n 0 x + + (1 − 2 ) w = 0 dz 2 z dz z k x n+2k ∞ (1) ( ) ∞ 2 , Γ( p ) = ∫ exp(− x) x p −1dx J n ( x) = ∑ k = 0 Γ ( k + 1)Γ ( n + k + 1) 0
1 1 0.83
sin 2 πx sin c 2 ( x) = (πx) 2
0.67 sinc( π ⋅ x)
2
0.5 0.33 0.17
0 3 −3 2 1 0 x 1 2 3 3
7、高斯函数：Guas(x)：激光光束场;自傅立叶变换函数；
1 1 0.83 0.67 exp − π ⋅ x
Guas( x) = exp(−πx )
∫g
k
( x)dx = 1
高斯函数序列：
n
3 2.8
gn( x, 1)
2
g n ( x) =
π
exp(−n 2 x 2 )
gn( x, 2) gn( x, 5) 1
0 0 6 −5 4 2 0 x 2 4 5 6
lim g n ( x) = lim
n →∞ n →∞
n
π
n
exp(−n 2 x 2 )
∫ δ ( x)dx = 1
（b）函数序列极限形式定义 普通函数gn(x): lim g n ( x) = ∞
n →∞ ∞
−∞
∫g
k
( x)dx = 1
δ函数定义：
δ ( x) = lim g n ( x) = ∞
n →∞
x = 0, n正整数
lim g n ( x) = 0
n →∞ ∞
x≠0
−∞
2
2
0.5
10 15
15
Γ(1) = 1 ⎧ pΓ( p ), p有限实数 Γ( p + 1) = ⎨ ⎩ p!，p正实数
2、 贝塞尔函数性质：
J n (− x) = J n ( x), n为偶数；J n (− x) = − J n ( x), n为奇数；
1 2π
∫
2π
0
exp( jω cos θ )dθ = J 0 (ω )
（2）两维三角函数：
Z
⎧(1 − x ) ⋅ (1 − y ) x ≤ 1和 y ≤ 1 tri ( x, y ) = tri ( x) ⋅ tri ( y ) = ⎨ 0 其他 ⎩
（3）两维阶跃函数：
f ( x, y ) = step( x)
Z
2、极坐标系 （1）两维高斯函数：
Guass(r , θ ) = exp(−πr 2 )
-2step(x-3)
0
x
0
x
0
x
2.四则运算 分段函数的四则运算或复合描述复杂物理过程：
0.5 0.5
x − x0 2 x f ( x) = ∑ rect ( ) sin c ( ) l L n =0 0.3
∞
0.4 f( x) 0.2
0.1
0 0 20 − 20 10 0 x 10 20 20 30
∞
y ( x)
comb( x) =
m = −∞
∑ δ ( x − m)
∞
1
0.5
0
0.5
−∞
∫ comb( x) f ( x)dx =
m = −∞
∑
∞
f ( m)
1
10
5
0 x
5
10
缩放性质: 1 comb(ax) = a
m ∑ δ (x − a ) m = −∞
∞
强度1/a,脉冲间隔1/a.
平移性质:坐标平移x0/a
1 comb(ax − x0 ) = a m x0 ∑ δ (x − a − a ) m = −∞
∞
乘法性质: f(x)连续函数
1 1
f ( x)comb( x) =
m = −∞
∑ f (m)δ ( x − m) = f ( x)
s
f( x)
∞
0.5
实现连续函数抽样
0
0.5
−1 1 10 − 10 5 0 x 5 10 10
δ (r − x0 ,θ − π )
δ ( x − x0 , y ) δ (r − x0 ,θ )
π δ ( r − y0 , θ − ) δ ( x, y − y0 )
2
3π δ ( x, y + y0 ) δ ( r − y0 , θ − ) 2
δ ( x − x0 , y − y0 )
δ (r − x0 2 + y0 2 ,θ − θ 0 )
step ( x)
0.5
0 6 −5 0 x 5 6
5、sinc(x)函数 ：
sin πx sin c( x) = πx
∞
1 1 0.75 0.5 sin( π ⋅ x) π⋅ x 3 2 1 0.25 − 0.216 0.5 −3 x 3 0.25
0
1
2
3
−∞
∫ sin c( x)dx = 1
6、sinc2(x)函数：单缝夫琅和费衍射强度分布;
Guas
（2）圆域函数：
⎧ 1 ⎪ circ(r ) = ⎨1 / 2 ⎪ 0 ⎩ r <1 r =1 r >1
circ
3、两维非初等函数一般形式 函数的比例
f ( x, y ) ⇒ cf (ax, by )
平移
a,b表示x，y方向上缩小的倍数 c表示z方向上放大的倍数 x0, y0 ,z0表示x，y,z 方向上的平移量
x =0
=∞ ln n = lim =0 n →∞ π ⋅ n 2 x 2
2 2
lim g n ( x) = lim
n →∞ ∞ n →∞
π
2
exp(−n x )
2 2 x≠0
−∞∫Leabharlann nπexp(−n x )dx =
2
2n
∞
π
∫ exp(−n x
0
)dx =
2n
π
π 2n
=1
2、 δ函数性质：
∞
（a）积分性质 推论：
Z
x' = ax + by + c ⎧ 1 ⎪ rect (ax + by + c) = ⎨1 / 2 ⎪ 0 ⎩
Z
(2)两维矩形函数的线性变换
⇒ g ( x' , y ' ) = rect ( x' ) ⋅ rect ( y ' ) x' y ' z ' x' = a1 x + b1 y + c1 y ' = a2 x + b2 y + c2 xyz ⎧ 1 ⎪ = ⎨1 / 2 ⎪ 0 ⎩ ⇒ g ( x, y )
Z
Z
g ( x, y ) = rect (a1 x + b1 y + c1 ) ⋅ rect (a2 x + b2 y + c2 ) a1 x + b1 y + c1 < 1 / 2and a2 x + b2 y + c2 < 1 / 2 a1 x + b1 y + c1 = 1 / 2and a2 x + b2 y + c2 = 1 / 2 other
f ( x, y ) ⇒ f ( x − x0 , y − y0 ) + z0
自变量线性变换：坐标变换，x’y’z’ to x，y，z
x' = a1 x + b1 y + c1 y ' = a2 x + b2 y + c2
(1)两维狭缝函数的线性变换
x' y ' z ' xyz
⇒ g ( x' , y ' ) = rect ( x' ) ⇒ g ( x, y ) ax + by + c < 1 / 2 ax + by + c = 1 / 2 other
∫
ω
0
ω ' J 0 (ω ' )dω ' = ωJ1 (ω )
d [ωJ1 (ω )] = ωJ 0(ω ) dω
exp( jω cos θ ) =
m = −∞
J m (ω ) j m exp(− jmθ ) ∑
∞
−∞ ∞
∫ δ ( x)dx = 1
0
−∞
∫ δ ( x ± x )dx = 1
∞
（b）筛选性质：f(x)连续函数,
意义：通过 δ (x)与连续函数的相乘积分,筛选出连续函 数在脉冲所在位置的函数值f(0).
−∞
∫ δ ( x) f ( x)dx = f (0)
推论1：
∞
−∞
∫ δ ( x ± x ) f ( x)dx = f (∓ x )
δ [h( x)] = ∑
i =0
n
δ ( x − xi )
h' ( xi )
1
例:
0.5
δ [sin(πx)] =
∑ δ ( x − n) π
i =0
1
n
y ( z)
0
0.5
1
10
5
0 z
5
10
3、 梳状函数：单位脉冲序列,光栅振幅透射系数. （a）定义: (b)性质: 筛选性质:f(x)连续函数,
三、二维非初等函数 非对称函数直角坐标系； 对称函数极坐标；可分离变量函数：
Z
f ( x, y ) = f1 ( x) ⋅ f 2 ( x)
1、直角坐标系 （1）两维矩形函数：均匀照明方孔振幅透射系数;
⎧1 x < 1 / 2和 y < 1 / 2 ⎪ rect ( x, y ) = rect ( x) ⋅ rect ( y ) = ⎨ 1 / 2 x = y = 1/ 2 ⎪ 0 其他 ⎩ x − x0 y − y0 x − x0 y − y0 , ) = rect ( ) ⋅ rect ( ) rect ( a b a b
光学常用特殊函数
1
一、δ函数和梳状函数 1、 δ函数定义：光学上表示点光源; （a）分段函数定义
⎧0 δ ( x) = ⎨ ⎩∞
∞ −∞
1
y ( x)
0
−1 1 10 − 10 0 x 10 10
x≠0 x=0
1 1 y ( x− 1) y ( x+ 1) −1 1 − 10 x 10 10 0 10
常用非初等函数—物理光学学习资料
王英
教程：物理光学教程，谢敬辉、赵达尊、阎吉祥著，北京理工大学出版社
一、标准形式一维非初等函数 1、矩形函数—门函数rect(x)或Π(x)：光学上表示矩形 光源或衍射孔;
1
⎧ 1 ⎪ rect ( x) = ⎨1 / 2 ⎪ 0 ⎩
∞ −∞
x < 1/ 2 x = 1/ 2 x > 1/ 2
平移：
f ( x) ⇒ f ( x − a ) + b a：横向位移 b：纵向位移
1 a b x x
例：画出函数的图形
step(x)
x−3 f ( x) = −2 step( ) +1 −1
x
0
1、位移：横向=3，纵向=1 2、比例：横向=1，纵向=2 3、反转：横向，纵向
2step(x-3)
0
x -2step(-x+3) -2step(-x+3)+1
（c）坐标缩放性质:a实常数.
x δ ( ) = a δ ( x) a
δ (ax) =
δ ( x)
a
推论1:
推论2:偶对称
δ (− x) = δ ( x)
（d）复合函数形式的δ函数:δ[h(x)]是由n个脉冲构成的 脉冲序列,脉冲位置由函数h(x)=0的根决定. 方程h(x)=0的n个根x1,x2,…xn,h’(x)≠0
1
rect( x) 10 −1 1 − 10 x 10 0 10
∫ rect ( x)dx = 1
2、三角函数—tri(x)或Λ(x)：
⎧1 − x tri ( x) = ⎨ ⎩ 0
∞ −∞
x ≤1 x >1
1 1 tri ( x) 0 6 −5 0 x 5 6 0.5
∫ tri( x)dx = 1