近世代数10套试题

《近世代数》试卷1（时间120分钟）
二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）
1. （）循环群的子群是循环子群。

2. （）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。

3. （）存在一个4阶的非交换群。

4. （）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。

5. （）无零因子环的特征不可能是2001。

6. （）无零因子环的同态象无零因子。

7. （）模97的剩余类环Z97是域。

8. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。

9. （）域是唯一分解整环。

10. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。

一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分）
1. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中
有个单射，有个满射，有个双射。

2. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=< a3>的在G中的指数是。

3. 设G＝< a>是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。

4. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［5］＋［10］＝，［5］·［10］＝，方程x2＝[1]的所有根为。

5. 环Z6的全部零因子是。

6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝在Z[√-3 ]中有两种本。

（共3０分）
1.设S3是3次对称群，a=（123）∈S3．
（１）写出H＝< a>的所有元素．
（２）计算H的所有左陪集和所有右陪集．
（３）判断H是否是S3的不变子群，并说明理由．
2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。

3. 在整数环Z中，求由200４，125生成的理想A=（2004，125）。

四、证明题（共30分）
1.设G是一个阶为偶数的有限群，证明
（１）G中阶大于2的元素的个数一定为偶数；
（２）G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。

2. 设φ是环（R，+，·，0，1）到环（R，+，·，0/，1/）的同态满射。

N=Kerφ={x|x∈R 且φ（x）=0/}, 证明：φ是同构映射当且仅当N={0}。

3. 证明：非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。

《近世代数》试卷2（时间120分钟）
一、填空题（共20分）
1. 设G＝（a）是6阶循环群，则G的子群有。

2. 设A、B是集合，| A |＝2，| B |＝3，则共可定义个从A到B的映射，其中
有个单射，有个满射，有个双射。

3. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［10］＋［5］＝，［10］·［5］＝，方程x2＝[1]的所有根为。

4. 在5次对称群S5中，（12）（145）＝，（4521）－1＝，（354）的阶为。

5. 整环Z中的单位有。

6. 在多项式环Z11［x］中，（［6］x＋［2］）11＝。

二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）
1. （）若群G的每一个元满足方程x2=e(其中e是G的单位元)，则G是交换群。

2. （）一个阶是13的群只有两个子群。

3. （）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。

4. （）设G是群，H1是G的不变子群，H2是H1的不变子群，则H2是G的不变子群。

5. （）主理想整环R上的一元多项式环R[x]是主理想整环。

6. （）存在特征是2003的无零因子环。

7. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。

8. （）模21的剩余类环Z21是域。

9. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。

10. （）除环只有零理想和单位理想。

三、解答题（共30分）
1. 设H＝｛（1），（123），（132）｝是对称群S3的子群，写出H的所有左陪集和所有右陪集，问H是否是S3的不变子群？为什么？
2. 设G是一交换群，n是一正整数，H是G中所有阶数是n的因数的元素的集合。

试问：H是否是G的子群？为什么？
3. 在整数环Z中，求由2004，19生成的理想A=（2004，19）。

四、证明题（共30分）
1.设I1={4k|k∈Z}, I2={3k|k∈Z}，试证明：
（1）I1,I2都是整数环Z的理想。

（2）I1∩I2=(12)是Z的一个主理想。

2. 设R、R都是环，f是环R到R的满同态映射，A是R的理想，试证明：A＝｛a | a ∈R且f（a）∈A｝是R的理想。

3. 证明，设S是环（R，＋，·，0，1）的子环，N是R的理想，且S∩N＝｛0｝，则剩余类环R／N有子环与S同构。

《近世代数》试卷3（时间120分钟）
一、填空题（共20分）
1. 设G＝（a）是6阶循环群，则G的子群有。

2. 设A、B是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义个从A到B的映射，其中
有个单射，有个满射，有个双射。

3. 在4次对称群S4中，（24）（231）＝，（4321）－1＝，（132）的阶为。

4. 整环Z中的单位有。

5. 环Z6的全部零因子是。

6. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=< a3>的在G中的指数是。

二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）
1. （）一个阶是11的群只有两个子群。

2. （）设G是群，H1是G的不变子群，H2是H1的不变子群，则H2是G的不变子群。

3. （）素数阶群都是交换群。

4. （）循环群的商群是循环群。

5. （）模27的剩余类环Z27是域。

6. （）存在特征是2004的无零因子环。

7. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。

8. （）域是主理想整环。

9. （）域只有零理想和单位理想。

10. （）相伴关系是整环R的元素间的一个等价关系。

三、解答题（共30分）
1. 设H＝｛（1），（12）｝是对称群S3的子群，写出H的所有左陪集和所有右陪集，问H 是否是S3的不变子群？为什么？
2. 求模12的剩余类加群(Z12,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。

3. 在整数环Z中，求由2004，17生成的理想A=（2004，17）。

四、证明题（共30分）
1.设I1={2k|k∈Z}, I2={3k|k∈Z}，试证明：
（1）I1,I2都是整数环Z的理想。

（2）I1∩I2=(6)是Z的一个主理想。

2. 设φ是群G到群H的同态满射, H1是H的子群。

证明：G1= {x|x∈G且φ（x）∈H1}是G的子群。

3. 设环（R，＋，·，0，1）是整环。

证明：多项式环R[x]能与它的一个真子环同构。

《近世代数》试卷4（时间120分钟）
一、填空题（共20分，每空2分）
1. 设A、B是集合，| A |＝2，| B |＝3，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。

2. 设G＝（a）是6阶循环群，则G的子群的个数是。

3. 在剩余类环Z18中，［8］＋［12］＝，［6］·［7］＝。

4. 环Z6的全部零因子是。

5. 在多项式环Z17［x］中，（［6］x＋［7］）17＝。

6. 在模7的剩余类环Z7中，方程x2＝1的所有根是。

二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）
1. （）交换群的子群是不变子群。

2. （）一个阶是11的群只有两个子群。

3. （）无零因子环的特征不可能是2004。

4. （）有单位元且满足消去律的半群是群。

5. （）模21的剩余类环Z21是域。

6. （）在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。

7. （）若R是主理想整环，则一元多项式环R［x］是主理想整环。

8. （）除环只有零理想和单位理想。

9. （）欧氏环是唯一分解整环。

10. （）无零因子环的同态象无零因子。

三、解答题（第1小题15分，第2、3小题各10分，共35分）
1. 设H＝｛（1），（12）｝是对称群S3的子群，求H的所有左陪集和所有右陪集，试问H 是否是S3的不变子群？为什么？
2. 求模12的剩余类环Z12的所有理想。

3. 在整数环Z中，求由2005，6生成的理想（2005，6）。

四、证明题（第1、2小题各10分，第3小题5分，共25分）
1. 设～是整数集Z上的模7同余关系，试证明～是Z上的等价关系，并求所有等价类。

2. 设R、R都是环，f是环R到R的满同态映射，A是R的理想，试证明A＝｛a | a∈R且f（a）∈A｝是R的理想。

3. 证明，非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。

《近世代数》试卷5（时间120分钟）
一、填空题（共20分，每空2分）
1. 在对称群S4中，（134）（12）＝，（2143）－1＝。

2. 在多项式环Z11［x］中，（［6］x＋［2］）11＝。

3. 设G＝（a）是6阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。

4. 在模6的剩余环Z6中，方程x2＝1的所有根为。

5. 环Z10的所有零因子是。

6. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。

二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）
1. （）循环群的子群是循环群。

2. （）若H1、H2都是群G的子群，则H1∪H2也是群G的子群。

3. （）交换群的子群是不变子群。

4. （）一个阶是11的群只有两个子群。

5. （）模15的剩余类环Z15是域。

6. （）无零因子环的同态象无零因子。

7. （）欧氏环上的一元多项式环是欧氏环。

8. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。

9. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。

10. （）域是主理想整环。

三、解答题（第1小题15分，第2、3小题各10分，共35分）
1. 设H＝｛（1），（13）｝是对称群S3的子群，求H的所有左陪集和所有右陪集，试问H 是否是S3的不变子群？为什么？
2. 求模18的剩余类环Z18的所有理想。

3. 在整数环Z中，求由2004，125生成的理想（2004，125）。

四、证明题（第1、2小题各10分，第3小题5分，共25分）
1. 设～是整数集Z上的模6同余关系，试证明～是Z上的等价关系，并求所有等价类。

2. 设H1和H2分别是群（G， ，e）的子群，并且| H1 |＝m，| H2 | ＝n，m、n有限，（m，n）＝1，试证：H1∩H2＝｛e｝。

3. 证明，设S是环（R，＋，·，0，1）的子环，N是R的理想，且S∩N＝｛0｝，则剩余类环R／N有子环与S同构。

《近世代数》试卷6
一、填空题（每空2分，共20分）
1、设有集合A 和B ，|A|=3,|B|=2,则共可定义____个从A 到B 的映射，其中有_____个单射，_____个满射，______个双射。

2、设G =)(a 是10阶循环群，则G 的非平凡子群的个数为_________.
3、在5次对称群5S 中，_____,)135)(12(=)5132(的阶是_______
)43125(______,1=-。

4、在模13的剩余类环13Z 的多项式环][13x Z 中，_______])3[]7([13=+x 。

5、在模6的剩余类环6Z 中，方程]1[2
=x 的所有根是__________.
二、判断题（对打“√”,错打“×”，不说明理由，每小题2分，共20分） 1、（ ）模99的剩余类环99Z 是域。

2、（ ）主理想整环R 上的一元多项式环][x R 是主理想整环。

3、（ ）域有且仅有两个理想。

4、（ ）在一个环中，若左消去律成立，则右消去律成立。

5、（ ）无零因子环的特征不可能是93。

6、（ ）无零因子环的同态象无零因子。

6、（ ）欧氏环一定是唯一分解整环。

8、（ ）整除关系是整环R 的元素间的一个等价关系。

9、（ ）循环群有且仅有一个生成元。

10、（ ）循环群的子群是不变子群。

三、解答题（第1题15分，第2，3题各10分，共35分）
1、设)}12(),1{(=H 是3次对称群3S 的子群，求H 的所有左陪集和右陪集，试问H 是否是
3S 的不变子群？为什么？
2、设b a ,是群G 的两个元，,ba ab =a 的阶是m ，b 的阶是n ，n m ,有限且
)(),(,1),(b K a H n m ===，求K H 。

3、求模12的剩余类环12Z 的所有理想。

四、证明题（第1，2题各10分，第3题5分，共25分）
1、证明：在整数环Z 中由34和93生成的理想)93,34(就是Z 本身。

2、设H 是群G 的子群，对G b a ∈,，定义a ～b H ab ∈⇔-1
，证明：～是G 上的一个等价关系。

3、设,1R 2R 都是环，ϕ是环1R 到2R 的满同态映射，10和20分别是环1R 和2R 的零元，
}0)(,|{ker 21=∈==x R x x N ϕϕ，证明：ϕ是同构映射当且仅当}0{1=N 。

《近世代数》试卷7
一、判断题（对打“√”,错打“×”，不说明理由，每小题2分，共20分） 1、（ ）一个阶是11的群只有两个子群。

2、（ ）设G 是群，A 是G 的不变子群，B 是A 的不变子群，则B 是G 的不变子群。

3、（ ）循环群的商群是循环群。

4、（ ）素数阶的群都是交换群。

5、（ ）存在特征是2007的无零因子环。

6、（ ）有乘法单位元的环的同态象也有乘法单位元。

7、（ ）满足左、右两个消去律的有单位元的半群是群。

8、（ ）域只有零理想和单位理想。

9、（ ）主理想整环R 上的一元多项式环][x R 是主理想整环。

10、（ ）在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。

二、填空题（每空2分，共20分）
1、 设有集合A 和B ，|A|=|B|=3,则共可定义____个从A 到B 的映射，其中有_____个单射，
_____个满射，______个双射。

2、 设群G 是12阶群，G 中元素a 的阶是6，则元素2
a 的阶是______，子群)(3
a H =在G 中的指数是______.
3、 整数环Z 中的单位有________.
4、 模6的剩余类环6Z 的所有零因子是_________.
5、13Z 是模13的剩余类环，在一元多项式环][13x Z 中，=+13])6[]3([x _________.
6、_______是整数环的商域.
三、解答题（第1题15分，第2，3题各10分，共35分）
1、设)}23(),1{(=H 是3次对称群3S 的子群，求H 的所有左陪集和右陪集，试问H 是否是
3S 的不变子群？为什么？
2、求模12的剩余类加群12Z 的所有子群。

3、在整数环Z 中，求由182和51生成的理想=A )51,182(。

四、证明题（第1，2题各10分，第3题5分，共25分）
1、设Z 是整数集，},|2{},|3{Z k k B Z k k A ∈=∈=证明：（1）B A ,都是整数环Z 的理想；（2）B A 是Z 的由6生成的主理想（6）。

2、设G 和H 是两个群，f 是群G 到H 的满同态映射，B 是H 的子群，试证明：
})(,|{B a f G a a A ∈∈=是G 的子群。

3、设Z 是整数环，证明：多项式环][x Z 能与它的一个真子环同构。

《近世代数》试卷8
一、填空题（每空2分，共20分）
1、4次对称群4S 的阶是____，在4S 中，(14)(312)=_______,(1423)
1
-=_______, 元素(132)的
阶是______.
2、整数加群Z 是一个循环群，它有且仅有两个生成元是______和_____.
3、模6的剩余类环6Z 的全部零因子是__________.
4、在模12的剩余类环12Z 中，[6]+[8]=_______,[8][6]=_______.
5、17Z 是模17的剩余类环，在一元多项式环][17x Z 中，=+17])8[]6([x _________. 二、判断题（对打“√”,错打“×”，不说明理由，每小题2分，共20分） 1、（ ）交换群的子群是不变子群。

2、（ ）若21,H H 是群G 的子群，则21H H 也G 是的子群。

3、（ ）任意两个循环群同构。

4、（ ）模27的剩余类环27Z 是域。

5、（ ）一个阶是19的群只有两个子群。

6、（ ）欧氏环上的一元多项式环是欧氏环。

7、（ ）在一个环中，若左消去律成立，则右消去律成立。

8、（ ）域是唯一分解环。

9、（ ）存在特征是143的无零因子环。

10、（ ）只有零理想和单位理想的环是域。

三、解答题（第1题15分，第2，3题各10分，共35分）
1、设)}132(),123
(),1{(=H 是3次对称群3S 的子群，求H 的所有左陪集和右陪集，试问H 是否是3S 的不变子群？为什么？
2、求模12的剩余类环12Z 的所有理想。

3、设G 是交换群，e 是G 的单位元，n 是正整数，},,|{e a G a a H n =∈=问：H 是否是G 的子群？为什么？
四、证明题（第1，2题各10分，第3题5分，共25分）
1、证明：整数环Z 中由34和15生成的理想（34，15）就是Z 本身。

2、设G 和H 是两个群，G e 和H e 分别是G 和H 的单位元，f 是群G 到H 的满同态映射，
B 是H 的子群，证明：})(,|{B a f G a a A ∈∈=是G 的子群。

3、设S 是环)1,0,,,(⋅+R 的子环，N 是R 的理想且}0{=N S ，证明：剩余类环N
R 有子
环与S 同构。

《近世代数》试卷9
一、填空题（每空2分，共20分）
1、设G =)(a 是15阶循环群，则G 的子群的个数为_________.
2、整数加群Z 是一个循环群，它有且仅有两个生成元是______和_____.
3、4次对称群4S 的阶是___，在4S 中，(134)(12)=_______,(1324)1
-=_______,元素(1234)的阶
是______.
4、在剩余类环18Z 中，[11]+[8]=_______,[5][6]=_______.
5、整数环Z 上的一元多项式环][x Z 中的理想_______不是一个主理想.
6、_______是整数环Z 的一个商域. 二、判断题（对打“√”,错打“×”，不说明理由，每小题2分，共20分） 1、（ ）一个阶是13的群只有两个子群。

2、（ ）交换群的子群是不变子群。

3、（ ）全体整数的集合对于普通减法构成一个群。

4、（ ）无零因子环的特征不可能是2007。

5、（ ）群G 的指数是2的子群一定是不变子群。

6、（ ）模15的剩余类环15Z 是域。

7、（ ）在一个环中，若左消去律成立，则右消去律成立。

8、（ ）除环的中心是域。

9、（ ）欧氏环一定是主理想整环。

10、（ ）无零因子环的同态象无零因子。

三、解答题（第1题15分，第2，3题各10分，共35分）
1、设)}13(),1{(=H 是3次对称群3S 的子群，求H 的所有左陪集和右陪集，试问H 是否是
3S 的不变子群？为什么？
2、求模18的剩余类环18Z 的所有理想。

3、在整数环Z 中，求由2007和5生成的理想（2007，5）。

四、证明题（第1，2题各10分，第3题5分，共25分）
1、设～是整数环Z 上的模5同余关系，试证明：～是Z 上的一个等价关系并写出这个等价关系所决定的等价类。

2、设,1R 2R 都是环，f 是环1R 到2R 的满同态映射，B 是2R 的理想，试证明：
})(,|{1B a f R a a A ∈∈=是1R 的理想。

3、证明：非零整环R 只有有限个理想当且仅当R 是域。

《近世代数》试卷10
一、判断题（对打“√”,错打“×”，不说明理由，每小题2分，共20分） 1、（ ）若B A ,都是群G 的子群，则B A 也是G 的子群。

2、（ ）交换群的子群是循环群。

3、（ ）循环群的同态象是循环群。

4、（ ）一个阶是11的群只有两个子群。

5、（ ）有单位元且满足消去律的有限半群是群。

6、（ ）存在特征是1005的无零因子环。

7、（ ）在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。

8、（ ）域是主理想整环。

9、（ ）模2007的剩余类环2007Z 是域。

10、（ ）整除关系是整环R 的元素间的一个等价关系。

二、填空题（每空2分，共20分）
1、设G =)(a 是10阶循环群，则G 的子群的个数为_________.
2、在5次对称群5S 中，.______)15423(_____,)125)(13(1==-
3、设有集合A 和B ，|A|=2,|B|=3,则共可定义____个从A 到B 的映射，其中有_____个单射，_____个满射，______个双射。

4、模6的剩余类环6Z 的全部零因子是___________.
5、设R 是一个有单位元的交换环，I 是R 的一个理想且R I ≠，则I
R 是域当且仅当I 是R
的一个_______.
6、在多项式环][11x Z 中，__________])2[]6([11=+x 。

三、解答题（第1题15分，第2，3题各10分，共35分）
1、设)}132(),123
(),1{(=H 是3次对称群3S 的子群，求H 的所有左陪集和右陪集，试问H 是否是3S 的不变子群？为什么？
2、求模18的剩余类环18Z 的所有理想。

3、设H 是群G 的子群，对G b a ∈,，定义a ～b H a b ∈⇔-1
，试问：～是否是G 上的等价关系？为什么？
四、证明题（第1，2题各10分，第3题5分，共25分）
1、证明：在整数环Z 中由26和33生成的理想（26，33）就是Z 本身。

2、设,1G 2G 是两个群，f 是群1G 到2G 的满同态映射，B 是2G 的子群，试证明：
})(,|{1B a f G a a A ∈∈=是1G 的子群。

3、设S 是环)1,0,,,(⋅+R 的子环，N 是R 的理想且}0{=N S ，证明：剩余类环N
R 有子
环与S 同构。