数学美学1

三、数学史上的几大奇观
（一）尺规作图
2i
（42）
A 费马素数：形如 Fi 2 1 的素数。 B 正 n 边形尺规作图的充要条件 k 2k p1 p2 ps，其 是n 2 或 中 p1 , p2 , ps 是费马素数 C 几何作图的三大难题： （1）化圆为方 （2）倍立方体 （3）任意角三等分
二、数学美的不同类型
（12）
• 简洁美 • 对称美 • 和谐美 • 奇异美
简 洁 美
成千上万、百万、亿万等用10a 表示; “失之毫厘，谬以千里”来形 容微小，用10 表示更简洁。其 中a 是常数
a
（13）
1二项式展开式：
对 称 美
(14)
0 ( a b ) n cn a n c1 a n 1b n
横写的“8”为无限 大，意味着事业成功、 生活幸福、爱情美满。
7.中华民族崇尚 的“九”
（25）
“九天”“九州”“九重” “九庙”“九巅”“九 河”“九泉”“九陌” “九品”
8.索洛图城偏爱 的数“十一”
（26）
教堂、喷泉、塔 楼、消防水龙头、博物 馆、银行、饭店、高级 议员
9.受人青眛的“ 十二”
（45）
牛顿——莱布尼兹公式
• 积分形式：当f (t ) 在[a, b]上连续时，若 x在(a, b) 内，则 ( x) f (t)dt 在 [a, b] 上可微，且
x a

x
a
f (t )dt (a) (b)
微积分的伟大意义 1、对数学自身的作用
（46）
（1）牛顿、莱布尼兹17世纪创立的微积 分存在明显的逻辑缺陷； （2）18世纪的数学家在微积提供的思维 和工具的基础上阔步前进，迅速创立了 许多数学分支； （3）微积分的严密逻辑基础也在19世纪 完善地建立起来。
第二节 数字美
• 毕达哥拉斯说: 数统治着世 界。 • 伯克霍夫说：整数的简单构 成，一直是使数学获得新生 的源泉。
（30）
（31）
毕达哥拉斯—当之无愧的数学大师
• 毕达哥拉斯学派 • 毕达哥拉斯最著名的数学发现 是勾股定理 • 勾股定理不平凡的经历
（32）
• （一）完全数 • 如果一个正整数等于除它以外的各个正因子 之和，则这个数叫做完全数。 • 完全数的性质： • 1、所有的完全数都可以表达成2的一些连续 次幂之和； • 2、除了6以外，其他完全数可表示为连续奇 数的三次方之和； • 3、迄今为止，发现的完全数都是偶数； • 4、迄今为止，发现的完全数都具有如下形式： N 2n1 (2n 1) 其中n 与2n 1 都是素数。
（3）
教学要点
• 数学美 • • 数学美不同类型
（2）
正整数记趣
第一节 数学美
外国学者对数学美 的评价（一）
（4）
• 古希腊学者毕达哥拉斯：美就是和谐， 整个天体是一种和谐，宇宙的和谐是由 数 组成的，因而构成整个宇宙的 美。 • 英国数学家怀特海：作为人类精神最原 始的创造，只有音乐堪与实现媲美，只 有取得过实习财富的少数人，才能尝到 数学的“特殊乐趣”。
（5）
外国学者对数学美的评价（二）
• 英国哲学家、数学家罗素：实现，如果 正确地看他，不但拥有真理，而且也具 有至高的美，是一种冷而严肃的美，这 种美不是投合我们无性脆弱的方面，这 种美没有绘画或者音乐那样华丽的装饰， 它可以纯净地崇高 的地步，能够达到只 有伟大的艺术才能谱写的那样完满的境 地。
a k (m 2 n 2 ) b 2kmn 其中k,m,n为整数，且m>n c k (m 2 n 2 )
（四）完全平方数
（35）
• 一个数的平方称为完全平方数，简称平方 数。 • 完全平方数的性质： • 1、前 n 个奇数的和一定是平方数； • 2、前 n 个正整数的和有可能是平方数； • 3、两个相邻正整数的和有可能是平方数； • 4、四个相邻正整数的乘积与1的和一定是 完全平方数.
（49）
（4)、对人类文化的影响
（1）微积分不仅影响哲学的方法，也影响 到世界观； （2）辩证唯物主义更关注数学； （3）马克思：“有空我也研究微积分”。 （4）恩格斯：“数学中的转折点是变数。 有了变数，运动进入了数学，有了变数 ，辩证法进入数学， 有了变数，微分学 和积分学也就立刻成为必要”。
（二）亲和数
（33）
• 若正整数M的全部正因子（去掉其 本身）之和，恰好为自然数N，而N 的全部正因子（去掉其本身）之和 恰好为正整数M,则称M,N为一对亲 和数。 • “我中有您，您中有我”的亲密无 间的“相亲数”。
（三）、勾股弦数
2 2 2
（34）
1. 把满足不定方程 a b c 的正整 数a，b，c称为勾股弦数。 2.许多的勾股数可由以下公式求得：
（五）许多有趣的数
（36）
A 魔术数： 如果一个数接写在另一个数 的后面，所得到得新数 能被这个数整 除，则这个数称为魔术数。 B 缺8数 C 史密斯数：如果一个合数可以表示成几 个素数的积，这些数的各位数字之和等 于这个合数的各位数字之和，称具有这 种性质的数为史密斯数。
（37）
（六）多边形数
数学家对欧拉的评价
（7）
• 拉普拉斯：读读欧拉，他是我们每一个 人的老师。 • 高斯：欧拉的工作研究将仍旧是对于实 现的不同范围的最好的学校，并且没有 任何别的可以代替它。 • 克莱因：没有一个人像他那样多产，像 他那样巧妙地把握数学；也没有一个人 能从采集和利用代数，几何分析的手段 去产生那么多令人钦佩的结果。他是一 个顶呱呱的方法发明家，又是一个熟练 的巨匠。
2 命题变换：原命题与逆否命题等效，逆命
题与否命题也等效。 3数学概念上也存在对偶关系 ： x 存在 任 lim 何 0 有某个 N 0使得对任何 n, m N 有 x x lim x 不存在的对偶说法是只要将上述表述 中的任何改换为某，同时将某改换为任何 ，不等式中将不等号改向。
第一章
数学美学
（1）
赞美诗
• • • • • • • • • • 我赞美那与我日夜相守的 数字、字母、符号、式子和图形， 像浮在可知轻轻飘荡的五色花瓣 萦绕在我的脑海之中； 像一个个流动的金属音符， 碰撞发出一串串清脆丁冬之声； 像钢琴上的键盘， 弹奏出悦耳的谐音； 像一道划破长空的闪电， 将我的灵感的引线接通。
3、好恶不同的“四” （21）
• 固有四书 • 四大古典名著 • 民间四大传说 • 汉字书法四体
（22）
4.吉祥与魔鬼数字“六” 全国统一后定为6郡 咸阳建270宫殿 皇车用6匹马拉
5. 最神秘的“七”
（23）
佛教认为：万物皆七 种原： 地、水、火、风、空、 识、根
6、吉祥幸运的“八” （24）
中国学者对数学美的评价
（6）
• 现代著名数学家徐利治：所谓数学美得含义是 丰富的。数学概念的简单性、统一性；结构系 统的协调性、对称性；数学命题与数学模型的 概括性、典型性和普通性。还有数学中的奇异 性等，都是数学美的具体内容。 • 香港旅美数学家、菲尔茨奖获得者丘比桐：数 学家寻找美的境界，讲求简单的定律，解决实 际问题，而这些因素都是永远不会远离世界。 即实现有取之不尽的源泉。
2 2 2
n n n
三、正整数记趣
1.“从无到有”与“黑暗的一”
（19）
道生一，一生二，二生三，三生天 地，天地生阴阳，阴阳生万物。 1万称为黑暗，1万万则是黑暗的黑 暗。
2. 走向成功的“三”
（20）
• 戴布劳格林的三大原则：广见 闻、多阅读、勤实践 • 陈景润的学习要有三心：信心、 决心、恒心 • 卢俊把读书分为三个步骤：储 存、比较、批判
1 1
和 谐 美
y y1 y2 1 1 0 1
（16）
x x1 x2
三点( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x3，y3 )共线的条件是
x1 x2 x3 y1 y2 y3 1 1 0 1 a1 b1 1 b2 1 0 b3 1
三线
a1 x b1 y 1 0 a2 x b2 y 1 0 a x b y 1 0 3 3
（39）
（二）、映射法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（40）
运算可以视为一种变换或映射，映射 之后再映射过来。主要通过以下步骤实现：
关系—— 映射——定映—— 反演
——得解
经历了一个“否定之否定”的程序
（三）、抽象方法
（41）
A 具体化与抽象化是相伴存在的,只 有对具体的深入认识才能更好地抽 象。 B 去掉的东西越多，表面抽象程度 越高，就越能反映问题的本质。
十二地支、十二生肖、十 二时辰。
（27）
十二金钗、十二平均 律。 十二个月、十二小时。
13.风靡西方的 十三恐怖症
（28）
1970年4月11日发射的 美国“阿波罗13号” 宇宙飞船的爆炸
14.吉祥神秘的 “百零八”
（29）
• 人生有108种烦恼，为清 除这些烦恼，规定贯珠 108颗，念佛108篇，晓钟 108声。
共点的条件是 a
2
a3
三大几何
（17）
欧氏几何（抛物几何） • 罗氏几何（双曲几何） • 黎曼几何（椭圆几何）
（18）
奇 异 美
• 不定方程x y z ， 0 ， 0， 0 是它的一个 y z x 平凡解。 x • 费马猜想： y z (n 3) 时都没有正整数解。 • 18世纪欧拉证明了当n 3,4 时费马猜想是正 确的。
1.欧拉公式：e
3、问题：
ii
2 i
1
i
（8 ）
2.卓越而奇妙的等式： e 1 0
这个数是虚数还是实数？
（9）
五猴分桃
• 5只猴子一起摘了1堆桃子，因为太累了，它 们商量决定：先睡一觉再分。过了不知多久 ，来了一只猴子，它见别的猴子没来，便将 这一堆桃子平均分成5份，结果多出1个，就 将多的这个吃了，拿走其中的1堆。又过了不 知多久，第2只猴子，它不知道有1个同伴已 经来过，还以为自己是第一个到的呢。于是 将地上的桃子堆起来，平均分成5份，发现也 多出1个，同样吃了这1个桃子，拿走其中的1 堆。第3只，第4只，第5只猴子都是这样，…… 问这5只猴子至少摘了多少桃子？第5只猴子 走后还数多少个桃子？
• 三角形数：1，3，6 • 正方形数：1，4，9 • 五边形数：1， 5，12
二、数学方法的优美
（38）
• 数学归纳法是数学方法之一。这种通过 有限步骤去认识无限的方法确实是意味 深长。 • 观点与方法是两个不同的方面，密切相 关又相互影响。 • 数学方法影响数学观念。
（一）、反证法
首先假定结论不成立， 其次通过一定的推导得出 矛盾，从而说明：结论不 成立时不可能的。
n n
n m
0 c1 ab n 1 cn b n n
n
n
杨辉三角形
• 1 1 • 1 2 1 • 1 3 3 1 • 1 4 6 4 1 • 1 5 10 10 5 1 • 1 6 15 20 15 6 1
（15）
平面上过点( x , y ) 和 ( x2 , y2 )的直线方程：
（43）
（二）解析几何与微积分
1. 公元16世纪笛卡尔创立了解 析几何. 2、 解析几何的精华在于把几 何曲线用代数方程来表示，同 时又利用代数的研究方法来研 究几何。 3、许多复杂的几何问题可以 通过解析方法解决。
（44）
由蜘蛛网产生灵感的笛卡尔
• 笛卡尔创造的解析几何为天文、 航海等技术奠定了坚实的基础。 • 1621年笛卡尔退役后，他就移民 荷兰，开始潜心思考数学和数形 结合的问题。 • 笛卡尔为什么能对数学产生浓厚 兴趣？
（47）
2、对其他自然科学和工程技术 的作用
（1）“数理不分家”这句话在有了微积分 之后就有了真实的意义； （2）微积分的创立得到了天文学的启示； （3）微积分成了物理学的基本语言，许多 物理学问题要依靠微积分来寻求解答。
（48）
3、对人类物质文明的影响
（1）从机械到材料力学，从大坝到电站的 建设，都要利用微积分的思想和方法； （2）有了微积分和万有引力原理之后，人 们就预见了人造卫星和宇宙分行的可能 ，利用微积分计算宇宙速度； （3）今天人类广泛的经济活动中，微积分 也成了必不可少的工具。
( x 4) a 5
4( x 4) b 25
16( x 4) c 125
相似变换法
(10)
64( x 4) d 625 256( x 4) e 3125
x 3121
（11）
数学问题的解决
• 常有“出乎意料之外，在乎 情理之中”。 • 数学方法特别看重的“映射 ——反演”法