《高等数学》专升本(2015-2016)第三讲 无穷小量的比较013 无穷小量的比较

x2 lim 0 x x0
lim x x x0
2x lim 2 x x0
定义: 设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小,
记作 o()； (２) 如果lim ，就说 是比 低阶的无穷小．
(3) 如果 lim C 0,就说 与 是同阶的无穷小;
第三节 无穷小量的比较
无穷小量趋向0速度的比较
当 x 0时，x, x2 , x ,2x 都是无穷小量，
但趋向0的速度是不一样的。
X 0.01 X2 0.0001
x 0.1 2x 0.02
0.0001 。。。。。。 0.00000001 。。。。。。 0.01 。。。。。。 0.0002 。。。。。。
limtan 5x lim 5x 5 .
x0 3x
x0 3x 3
注意 作等价无穷小替换时，在分子或分母为 和式时，通常不能将和式中的某一项或若干项 以其等价无穷小替换，而应将分子或分母整个 地加以替换；
若分子或分母为几个因子之积，则可将其 中的某个或某些因子以其等价无穷小替换；
简言之，乘积因子方可作等价无穷小量替 换。
即 x ~ sin x，x ~ tan x， 1 cos x ~ x2 , ln(1 + x) ~ x
2
ex -1~ x.
注意 不是所有无穷小量都可以比较的.
比如，当
x
→0
时，x
sin
1 x
和x都是无穷
小量，
但是因为
1
x sin lim
x
limsin 1
不存在.
x0 x
x0
x
所以这两个无穷小量是不可比较的，即它 们之间不存在同阶或高阶的关系.
例4
计算
tan x sin x
lim
.
x0 sin3 x
解
tan x sin x
lim
x0
sin3 x
sin x 1 cos x
lim
x0
cos x sin3 x
.
lim
x0
1 cos
x
lim
x0
1 si
cos x n2 x
1 x2 1 lim 2
1
.
x x0 2
2
若直接用 x 代替 tanx 及 sinx， 则
定理 1 设 ( x ) ~ 1( x )， ( x ) ~ 1( x )，
且 lim1( x) 存在(或无穷大量)，则 lim ( x)
1( x)
( x)
也存在或(无穷大量)， 并且
lim ( x) lim 1( x)
( x)
1( x)
或
lim
( (
x) x)
.
证 由定理条件可知 lim ( x) 1 和 lim ( x) 1，
lim
x 0
tan x sin3
si x
n
x
lim
x0
xx x3
0.
是错误的.
因为，虽然 tanx x，sinx x ，但 tanx - sinx 0 则不成立，因此，这里用 0 代替 tanx – sinx 是 错误的.
证明: 当
时,
～
证:
an 1 (a 1) (an1 an2 a 1)
1( x)
1( x)
因此有
lim(x) ( x)
lim1((xx))
1(x) 1( x)
1( x) ( x)
lim (x) lim1(x) lim 1(x)
1( x)
1( x)
( x)
lim1(x) . 1( x)
若
l
i
m
1
(
x
)百度文库
，那么考虑
lim 1 ( x)
0，
1( x)
～
1( x)
即可仿上面的证法 .
例1
计
算
lim
x0
ln(1 ex
x) 1
.
解 因为 x →0 时，ln (1 + x) ~ x， ex - 1 ~ x，
所以
ln(1 x)
lim
x0
ex 1
lim
x0
x x
1.
例 2 计算 limtan 5x . x0 3x
解 因为 x →0 时，tan 5x ~ 5x， 所以
lim tan x 1, x0 x
lim1 cos x 1, x0 1 x2
2
lim ln(1 x) 1
x0
x
ex 1
lim
1.
x0 x
所以，当 x → 0 时，
x 与 sin x， x 与 tan x，1 x 2 与 (1 cos x),
2
x 与 ln(1 + x ) x 与 ex -1 都是等价无穷小量，
特殊地，如果 lim 1,则称 与 是等价的无穷小;
记作 ~ ;
例如， x2, sin x 都是 x → 0 时的无穷小量, 且
x2 lim
0，
x0 sin x
所以，当 x →0 时， x2 是 sin x 的高阶无穷小量， 即 x2 = o(sin x).
记住：
sin x lim 1, x0 x