数学分析第四节曲线的凹凸性与拐点
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对于具有连续二阶导数的 函数而言，由曲线的凹向判别 条件知，拐点的两则二阶导数 符号相异，由此可得
y
o
x
定理 （拐点存在的必要条件）设函数 y f ( x) 在 点 x0处具有连续的二阶导数，若点 ( x0 , f ( x0 )) 为曲线 y f ( x) 的拐点，则 f ( x0 ) 0
y
y x
y x2
x
1
问题观察：观察曲线的弯曲方向与区间内点的函 数值之间的关系.
曲线弧为凹的
y
y f ( x)
曲线弧为凸的
y
y f ( x)
x1
x1 x2 2
x2
x
x1
x1 x2 2
x2
x
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f 2 2
4 3 2 讨论 y x 6 x 12 x 10 的凹凸性与拐点. 例
解 函数 y x 4 6 x 3 12 x 2 10在(,) 内连续.
例 求曲线弧 y
1 x 3 的拐点.
1 解 y x 3
2 3 , y
2 x 9
5 3.
y在x 0处不存在.
y
o
当x 0时, y 0,曲线y
1 x 3为凹的.
y 0 ,曲线 y 当x>0时，
1 x3
为凸的.
1 x3
x
从而知点(0,0)为曲线弧 y 的点以及不可导处取得.
3 2
y
y 0 ,可知 y x 为凹的. 当x>0时，
3
o x
在此, 原点(0,0)为曲线弧凹凸区间 的分界点. 若曲线在区间内具有凹凸性，区间称为凹凸区间 曲线上凹与凸区间的分界点称为拐点．
定义 设曲线 y f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处有穿过 曲线的切线，且在切点两侧近旁曲线的凹向不同，这 时称点 ( x0 , f ( x0 )) 为曲线 y f ( x) 的拐点．
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f 2 2
Βιβλιοθήκη Baidu
定义 设函数 y f ( x) 在区间I上连续，如果对I 上任意两点 x1 , x2
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) (1)若f ，则称曲线y f ( x) 2 2 在I内是凹的. x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) (2)若f ，则称曲线y f ( x) 2 2 在I内是凸的.
所以，原点(0,0)为 y x 3 与 y 3 x 的拐点.
由此可以看到曲线的拐点可能在二阶导数为零的 点以及不可导处取得. 判断连续曲线弧拐点的步骤： (1) 在f (x)所定义的区间内, 求出二阶导数 f ( x) 等于 零的点. (2) 求出二阶导数 f ( x) 不存在的点. (3) 判定上述点两侧 f ( x)是否异号.如果f ( x) 两侧异 号则为曲线弧的y=f (x)的拐点.如果 f ( x) 两侧同 号，则非曲线弧y=f (x)的拐点.
的拐点.
由此可以看到曲线的拐点可能在二阶导数为零
3 例 求曲线 y x 与 y 3 x 的拐点.
解 所给曲线在 (, ) 内为连续曲线弧.由于 2 3 2 y y ( 3 x ) 6 x. y ( x ) 3x ,
3 y 0 y x 当x<0时， , 为凸的.
2
故 y x arctan x 在 (, ) 内为凹的.
例 判定曲线弧 y x 的凹凸性.
3
解 所给曲线在 (, ) 内为连续曲线弧.由于
2 y ( x ) 3x , y (3x ) 6 x. 3 y 0 y x 当x<0时， ,可知 为凸的.
定理(曲线凹凸性的判定法) 设函数y=f (x)在[a,b]
上连续，在(a,b)内二阶可导. (1) 若在(a,b)内 f ( x) 0 ,则曲线弧y=f (x)在[a ,b] 上为凹的. (2) 若在(a,b)内 f ( x) 0 ,则曲线弧y=f (x)在[a ,b] 上为凸的.
第四节 曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸性与拐点的定义
二、曲线凹凸性的判别
返回
第四节 曲线的凹凸性与拐点
问题导言：为了描绘函数的图形，仅知道函数的 增减性和极值是不够的．还要了解曲线的弯曲方向. 如函数 f ( x) x 2 与 g ( x) x 都是 [0,1] 上单调 增加函数，但它们的图形弯曲方向却有明显的差异. 函数 f ( x) x 2 图形向上弯曲 （曲线为凹的），函数 g ( x) x 图形向下弯曲（曲线为凸的）. 问题：对曲线的弯曲方向，即 曲线的凹凸性进行研究是必要的.
y 0 , y x 为凹的. 当x>0时， 2 5 1 3 2 3 y x , y x . y在x 0处不存在. 3 9 y 0 ,曲线 y 3 x 为凹的. 当x<0时，
3
o x
y 0 ,曲线 y 3 x 为凸的. 当x>0时，
2 定理结论可由函数 y ax 进行验证. y 2a
当 a 0时, 曲线为凹的. 当a 0 时,曲线为凸的.
例 判定曲线弧 y x arctan x 的凹凸性. 解 所给曲线在 (, ) 内为连续曲线弧.由于 x y arctan x , 2 1 x
1 (1 x ) x 2 x 2 y 0, 2 2 2 2 2 1 x (1 x ) (1 x )
几何特征是凹曲线位于弦线下侧，凸曲线位于弦 线的上侧.
问题观察：观察曲线的凹凸方向与曲线的切线间 的位置关系.
y y y=f (x) y=f (x)
o
x
o
x
凹曲线在切线的上侧，随 凸曲线在切线的下侧，随 着x的增大，切线斜率随之 着x的增大，切线斜率随之 增大，即 f ( x) 0 增大，即 f ( x) 0
y
o
x
定理 （拐点存在的必要条件）设函数 y f ( x) 在 点 x0处具有连续的二阶导数，若点 ( x0 , f ( x0 )) 为曲线 y f ( x) 的拐点，则 f ( x0 ) 0
y
y x
y x2
x
1
问题观察：观察曲线的弯曲方向与区间内点的函 数值之间的关系.
曲线弧为凹的
y
y f ( x)
曲线弧为凸的
y
y f ( x)
x1
x1 x2 2
x2
x
x1
x1 x2 2
x2
x
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f 2 2
4 3 2 讨论 y x 6 x 12 x 10 的凹凸性与拐点. 例
解 函数 y x 4 6 x 3 12 x 2 10在(,) 内连续.
例 求曲线弧 y
1 x 3 的拐点.
1 解 y x 3
2 3 , y
2 x 9
5 3.
y在x 0处不存在.
y
o
当x 0时, y 0,曲线y
1 x 3为凹的.
y 0 ,曲线 y 当x>0时，
1 x3
为凸的.
1 x3
x
从而知点(0,0)为曲线弧 y 的点以及不可导处取得.
3 2
y
y 0 ,可知 y x 为凹的. 当x>0时，
3
o x
在此, 原点(0,0)为曲线弧凹凸区间 的分界点. 若曲线在区间内具有凹凸性，区间称为凹凸区间 曲线上凹与凸区间的分界点称为拐点．
定义 设曲线 y f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处有穿过 曲线的切线，且在切点两侧近旁曲线的凹向不同，这 时称点 ( x0 , f ( x0 )) 为曲线 y f ( x) 的拐点．
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f 2 2
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定义 设函数 y f ( x) 在区间I上连续，如果对I 上任意两点 x1 , x2
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) (1)若f ，则称曲线y f ( x) 2 2 在I内是凹的. x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) (2)若f ，则称曲线y f ( x) 2 2 在I内是凸的.
所以，原点(0,0)为 y x 3 与 y 3 x 的拐点.
由此可以看到曲线的拐点可能在二阶导数为零的 点以及不可导处取得. 判断连续曲线弧拐点的步骤： (1) 在f (x)所定义的区间内, 求出二阶导数 f ( x) 等于 零的点. (2) 求出二阶导数 f ( x) 不存在的点. (3) 判定上述点两侧 f ( x)是否异号.如果f ( x) 两侧异 号则为曲线弧的y=f (x)的拐点.如果 f ( x) 两侧同 号，则非曲线弧y=f (x)的拐点.
的拐点.
由此可以看到曲线的拐点可能在二阶导数为零
3 例 求曲线 y x 与 y 3 x 的拐点.
解 所给曲线在 (, ) 内为连续曲线弧.由于 2 3 2 y y ( 3 x ) 6 x. y ( x ) 3x ,
3 y 0 y x 当x<0时， , 为凸的.
2
故 y x arctan x 在 (, ) 内为凹的.
例 判定曲线弧 y x 的凹凸性.
3
解 所给曲线在 (, ) 内为连续曲线弧.由于
2 y ( x ) 3x , y (3x ) 6 x. 3 y 0 y x 当x<0时， ,可知 为凸的.
定理(曲线凹凸性的判定法) 设函数y=f (x)在[a,b]
上连续，在(a,b)内二阶可导. (1) 若在(a,b)内 f ( x) 0 ,则曲线弧y=f (x)在[a ,b] 上为凹的. (2) 若在(a,b)内 f ( x) 0 ,则曲线弧y=f (x)在[a ,b] 上为凸的.
第四节 曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸性与拐点的定义
二、曲线凹凸性的判别
返回
第四节 曲线的凹凸性与拐点
问题导言：为了描绘函数的图形，仅知道函数的 增减性和极值是不够的．还要了解曲线的弯曲方向. 如函数 f ( x) x 2 与 g ( x) x 都是 [0,1] 上单调 增加函数，但它们的图形弯曲方向却有明显的差异. 函数 f ( x) x 2 图形向上弯曲 （曲线为凹的），函数 g ( x) x 图形向下弯曲（曲线为凸的）. 问题：对曲线的弯曲方向，即 曲线的凹凸性进行研究是必要的.
y 0 , y x 为凹的. 当x>0时， 2 5 1 3 2 3 y x , y x . y在x 0处不存在. 3 9 y 0 ,曲线 y 3 x 为凹的. 当x<0时，
3
o x
y 0 ,曲线 y 3 x 为凸的. 当x>0时，
2 定理结论可由函数 y ax 进行验证. y 2a
当 a 0时, 曲线为凹的. 当a 0 时,曲线为凸的.
例 判定曲线弧 y x arctan x 的凹凸性. 解 所给曲线在 (, ) 内为连续曲线弧.由于 x y arctan x , 2 1 x
1 (1 x ) x 2 x 2 y 0, 2 2 2 2 2 1 x (1 x ) (1 x )
几何特征是凹曲线位于弦线下侧，凸曲线位于弦 线的上侧.
问题观察：观察曲线的凹凸方向与曲线的切线间 的位置关系.
y y y=f (x) y=f (x)
o
x
o
x
凹曲线在切线的上侧，随 凸曲线在切线的下侧，随 着x的增大，切线斜率随之 着x的增大，切线斜率随之 增大，即 f ( x) 0 增大，即 f ( x) 0