应用有限元分析工程实例
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应用有限元分析 工程实例
致谢
本讲义参考了不少文献资料，在此向有
关作者一并表示感谢！
有限元法发展迅速，成果丰富，相比之下
本讲义所含内容有限，向没有能够反映其成果
的作者表示歉意！
梁醒培 2012年7月
主要参考资料：
[1] 王勖成,邵 敏 编著. 有限元法基本原理和数值方法 [M]. 北京： 清华大学出版社,1999
[2] [美]K.J. Bathe著(付子智译). 工程分析中的有限元法[M]. 北京： 机械工业出版社, 1991
[3][英]O.C.监凯维奇著. 有限元法 [M]. 北京：科学出版社,1985 [4] 赵经文,王宏钰编著. 结构有限元分析 [M] . 北京：科学出版社,2001 [5]梁醒培,王辉编著. 应用有限元分析[M]. 北京：清华大学出版社,2010 [6]梁醒培,王辉著. 基于有限元法的结构优化设计—原理与工程应用[M].
所以，在有限元法中可以用同一个程序计算，只要注意区分
两种平面问题的弹性常数，即弹性矩阵即可。
2、这两种平面问题，都有8个独立的未知量，
2个位移分量（函数）：u , v
，
3个应力分量（函数） ： x,y,xy
3个应变分量（函数） ：xyxy
3、用来求解的方程也是8个，即3个几何方程，3个物理方程，
2个平衡方程。
由上述8个方程，可以求解8个未知量，这实质上是微分方程的
积分问题。
4、要完全确定解的结果，还需要满足给定的位移边界条件和载荷
北京：清华大学出版社,2010 [7]ANSYS程序电子文档
本讲义系为学习班专门编写，未经许可，不得翻印。 梁醒培
2012.7.25
第一讲
§ 1 绪论
1 有限元法简介 1.1 有限元法发展概况
（1）起源： 飞机的结构分析，用三角形单元求得了平面应力问题的解答 中国科学院冯康教授 1960年克拉夫（Clough）第一次提出“有限单元法”这一名称 数学家和工程师共同奠定了有限元法的理论基础和框架 （2）总体发展概况:
1990年以后，随着三维CAD软件的发展，CAE与CAD结合，使有限元前 处理功能极大地提高，缩短了有限元计算的周期
1.2 有限元法的基本思路及其求解步骤
1、基本思路 弹性力学经典解法可以求解的问题是简化的、有限的 实际工程问题一般是复杂的
例1：焊接接头变形和应力
1.2 有限元法的基本思路及其求解步骤
面，因为任一横截面的情况相同，为对称面。
横截面内只有 x,y 向位移，u , v ，且只是x,y的函数。
因为 w0 所以，zzxzy0
2、待求位移、应变、应力：
u ,v x ,y ,x y x ,y ,x y ,z
3、位移、应力和应变只的x , y 函数
平面应变问题的基本方程 位移分量2个，应力分量4个，应变分量3个：
u v T x ,y ,x y ,z T x y x y T
几何方程
x y
u / x v / y
xy
u / y v / x
物理 方程
1
xxyy(1E(1)(12))10
1
1
000源自xy12 xy2/(1)
(2.8)
平衡方程
2、待求位移、应力和应变：u ,v x ,y ,x y x ,y ,x y
3、位移、应力和应变只的x , y 函数
平面应力问题的基本方程 位移分量2个，应力分量3个，应变分量3个：
u , v T x ,y ,x y T x , y x y T
国外20世纪70年代就有了商业有限元程序系统 国内： 1980年以前 高校、科研院所、大型厂矿企业开始研究， 特点是功能单一、重复、不能解决较为复杂的工程问题
1980-1990大型有限元程序的开发和引进同时开展 国内自主开发：大连理工大学、北京大学、原机械部郑州机械研究所、 航天部的研究所等 1979年引进了线性有限元程序SAP 1980年引进了非线性有限元程序ADINA/ADINAT 目前我国有限元软件市场由国外商业有限元软件占据 （3）技术发展概况 到1990年，有限元理论体系、常用计算功能基本定型 1980年以后，商业软件的发展主要反映在前后处理功能（基于有限元 系统本身）、特殊功能的研发
x x
xy y
X
0
xy x
y y
Y
0
1
1
0
令
D
E(1 ) (1 )(1 2)
1
1
0
0
0
12 2/ (1)
（2.8）可写为：
D
xy
xy
(2.9)
由胡克定律 z(xy)
zx zy 0
2.1.3平面线弹性问题小结
1、对于两种平面问题，除弹性常数不同外，基本方程是相同的，
几何方程
x y
u / x v / y
xy
u / y v / x
物理方程
x
1 E
(
x
y
)
y
1 E
(
y
x
)
xy
1 G
xy
G E
2(1 )
平衡方程
x x
xy y
X
0
xy x
y y
Y
0
以应变表示应力 的物理方程
x y
xy
E
1 2
1
0
1
0
0 0
x y
1
2
xy
令
1 0
D1E2 1
0
0 0 (1)/2
]
D
x y
xy
2.1.2 平面应变问题的基本方程 1、（1）纵向（ z向）尺寸于远大于其他两个方向的尺寸、截面形
状沿 z 轴不变、两端限制了其纵向位移，（2）载荷沿 z 轴不 变，且垂直于 z 轴。
推断：除两端附近外，没有 z 向位移, w0 只需研究任一横截
例2 钢板筒仓变形与应力计算
2、 位移有限元法的求解步骤 1. 离散化 2. 选择单元位移函数 3. 单元特性分析 4. 外载荷处理 5. 建立节点上的力平衡方程
KF
6. 处理边界条件、解算节点位移 7、后处理
1.3国内外常用有限元软件（ANSYS、ABAQUS、ADINA)结构简介
2有限元分析基本原理-平面三角形单元
以三角形单元为例讲解有限元法的基本原理
2.1 平面线弹性问题基本方程
两种平面问题：平面应力问题和平面应变问题 2.1.1 平面应力的基本方程 1、构件厚度远小于其他两个方向的尺寸、载荷只作用在平行于xy
平面内、沿厚度均匀分布，在z=±t/2 的表面上(板薄，含内部):
z 0 , z x 0 z y 0
致谢
本讲义参考了不少文献资料，在此向有
关作者一并表示感谢！
有限元法发展迅速，成果丰富，相比之下
本讲义所含内容有限，向没有能够反映其成果
的作者表示歉意！
梁醒培 2012年7月
主要参考资料：
[1] 王勖成,邵 敏 编著. 有限元法基本原理和数值方法 [M]. 北京： 清华大学出版社,1999
[2] [美]K.J. Bathe著(付子智译). 工程分析中的有限元法[M]. 北京： 机械工业出版社, 1991
[3][英]O.C.监凯维奇著. 有限元法 [M]. 北京：科学出版社,1985 [4] 赵经文,王宏钰编著. 结构有限元分析 [M] . 北京：科学出版社,2001 [5]梁醒培,王辉编著. 应用有限元分析[M]. 北京：清华大学出版社,2010 [6]梁醒培,王辉著. 基于有限元法的结构优化设计—原理与工程应用[M].
所以，在有限元法中可以用同一个程序计算，只要注意区分
两种平面问题的弹性常数，即弹性矩阵即可。
2、这两种平面问题，都有8个独立的未知量，
2个位移分量（函数）：u , v
，
3个应力分量（函数） ： x,y,xy
3个应变分量（函数） ：xyxy
3、用来求解的方程也是8个，即3个几何方程，3个物理方程，
2个平衡方程。
由上述8个方程，可以求解8个未知量，这实质上是微分方程的
积分问题。
4、要完全确定解的结果，还需要满足给定的位移边界条件和载荷
北京：清华大学出版社,2010 [7]ANSYS程序电子文档
本讲义系为学习班专门编写，未经许可，不得翻印。 梁醒培
2012.7.25
第一讲
§ 1 绪论
1 有限元法简介 1.1 有限元法发展概况
（1）起源： 飞机的结构分析，用三角形单元求得了平面应力问题的解答 中国科学院冯康教授 1960年克拉夫（Clough）第一次提出“有限单元法”这一名称 数学家和工程师共同奠定了有限元法的理论基础和框架 （2）总体发展概况:
1990年以后，随着三维CAD软件的发展，CAE与CAD结合，使有限元前 处理功能极大地提高，缩短了有限元计算的周期
1.2 有限元法的基本思路及其求解步骤
1、基本思路 弹性力学经典解法可以求解的问题是简化的、有限的 实际工程问题一般是复杂的
例1：焊接接头变形和应力
1.2 有限元法的基本思路及其求解步骤
面，因为任一横截面的情况相同，为对称面。
横截面内只有 x,y 向位移，u , v ，且只是x,y的函数。
因为 w0 所以，zzxzy0
2、待求位移、应变、应力：
u ,v x ,y ,x y x ,y ,x y ,z
3、位移、应力和应变只的x , y 函数
平面应变问题的基本方程 位移分量2个，应力分量4个，应变分量3个：
u v T x ,y ,x y ,z T x y x y T
几何方程
x y
u / x v / y
xy
u / y v / x
物理 方程
1
xxyy(1E(1)(12))10
1
1
000源自xy12 xy2/(1)
(2.8)
平衡方程
2、待求位移、应力和应变：u ,v x ,y ,x y x ,y ,x y
3、位移、应力和应变只的x , y 函数
平面应力问题的基本方程 位移分量2个，应力分量3个，应变分量3个：
u , v T x ,y ,x y T x , y x y T
国外20世纪70年代就有了商业有限元程序系统 国内： 1980年以前 高校、科研院所、大型厂矿企业开始研究， 特点是功能单一、重复、不能解决较为复杂的工程问题
1980-1990大型有限元程序的开发和引进同时开展 国内自主开发：大连理工大学、北京大学、原机械部郑州机械研究所、 航天部的研究所等 1979年引进了线性有限元程序SAP 1980年引进了非线性有限元程序ADINA/ADINAT 目前我国有限元软件市场由国外商业有限元软件占据 （3）技术发展概况 到1990年，有限元理论体系、常用计算功能基本定型 1980年以后，商业软件的发展主要反映在前后处理功能（基于有限元 系统本身）、特殊功能的研发
x x
xy y
X
0
xy x
y y
Y
0
1
1
0
令
D
E(1 ) (1 )(1 2)
1
1
0
0
0
12 2/ (1)
（2.8）可写为：
D
xy
xy
(2.9)
由胡克定律 z(xy)
zx zy 0
2.1.3平面线弹性问题小结
1、对于两种平面问题，除弹性常数不同外，基本方程是相同的，
几何方程
x y
u / x v / y
xy
u / y v / x
物理方程
x
1 E
(
x
y
)
y
1 E
(
y
x
)
xy
1 G
xy
G E
2(1 )
平衡方程
x x
xy y
X
0
xy x
y y
Y
0
以应变表示应力 的物理方程
x y
xy
E
1 2
1
0
1
0
0 0
x y
1
2
xy
令
1 0
D1E2 1
0
0 0 (1)/2
]
D
x y
xy
2.1.2 平面应变问题的基本方程 1、（1）纵向（ z向）尺寸于远大于其他两个方向的尺寸、截面形
状沿 z 轴不变、两端限制了其纵向位移，（2）载荷沿 z 轴不 变，且垂直于 z 轴。
推断：除两端附近外，没有 z 向位移, w0 只需研究任一横截
例2 钢板筒仓变形与应力计算
2、 位移有限元法的求解步骤 1. 离散化 2. 选择单元位移函数 3. 单元特性分析 4. 外载荷处理 5. 建立节点上的力平衡方程
KF
6. 处理边界条件、解算节点位移 7、后处理
1.3国内外常用有限元软件（ANSYS、ABAQUS、ADINA)结构简介
2有限元分析基本原理-平面三角形单元
以三角形单元为例讲解有限元法的基本原理
2.1 平面线弹性问题基本方程
两种平面问题：平面应力问题和平面应变问题 2.1.1 平面应力的基本方程 1、构件厚度远小于其他两个方向的尺寸、载荷只作用在平行于xy
平面内、沿厚度均匀分布，在z=±t/2 的表面上(板薄，含内部):
z 0 , z x 0 z y 0