马尔可夫预测方法

年份 序号 状态 年份 序号 状态 年份 序号 状态 年份 序号 状态 1960 1 E1 1970 11 E3 1980 21 E3 1990 31 E1 1961 2 E1 1971 12 E1 1981 22 E3 1991 32 E3 1962 3 E2 1972 13 E2 1982 23 E2 1992 33 E2 1963 4 E3 1973 14 E3 1983 24 E1 1993 34 E1 1964 5 E2 1974 15 E1 1984 25 E1 1994 35 E1 1965 6 E1 1975 16 E2 1985 26 E3 1995 36 E2 1966 7 E3 1976 17 E1 1986 27 E2 1996 37 E2 1967 8 E2 1977 18 E3 1987 28 E2 1997 38 E3 1968 1969 9 E1 1978 19 E3 1988 29 E1 1998 39 E1 10 E2 1979 20 E1 1989 30 E2 1999 40 E2
个时刻（ 第k个时刻（时期）的状态概率预测 个时刻 时期）
如果某一事件在第0个时刻（或 时期）的初始状态已知，即π ( 0 ) 已知， 则利用递推公式(3.7.8)，就可以求得 它经过k次状态转移后，在第k个时刻 （时期）处于各种可能的状态的概率， 即 ，从而就得到该事件在第k个 π (k ) 时刻（时期）的状态概率预测。
状态转移： 状态转移： 事件的发展，从一种状态转变为另一种状态， 称为状态转移。例如某产品在当前考察时处于畅 销阶段，过了一段时间，我们再来考察时，犹豫 市场竞争等多种因素，产品可能不再畅销，比如 处于滞销，则其状态从1转移到了2；某产品当前 装有是其市场占有率的20%，假如在下一个考察 时间点其市场占有率为25%，则其装有从20%转移 到了25%；某机器设备当前状态处于正常运转， 下一个考察时间点其状态有可能仍然是正常运转， 也可能处于待修状态。
例题2: 例题2:将例题1中1999年的农业收成状态记
为π (0) =[0,1,0] ，将状态转移概率矩阵 （3.7.5）式代入递推公式（3.7.8）式，可 求得2000—2010年可能出现的各种状态的概 率（表3.7.2）。
表3.7.2 某地区1990—2000年农业收成 状态概率预测值
年份 2000 2001 2002 2003 E1 E2 E3 E1 E2 E3 E1 E2 E3 E1 E2 E3 状态 概率 0.5 0.1 0.3 0.3 0.4 0.2 0.3 0.3 0.2 0.3 0.3 0.2 385 528 077 024 14 837 867 334 799 587 589 779 年 份 状 态 概 率 年份 2004 2005 2006 2007
0 ≤ xi ≤ 1 ， ∑ x
i =1
n
i
=1
使得
αP = α
（3.7.4）
这样的向量α称为平衡向量，或终极向 量。这就是说，标准概率矩阵一定存在平 衡向量。
状态转移概率矩阵的计算 计算状态转移概率矩阵P，就是求 从每个状态转移到其他任何一个状态的 状态转移概率 Pij (i,j = 1,2, ⋯ , n) 。 为了求出每一个，一般采用频率近 似概率的思想进行计算。
π (1) = π (0) P π (2) = π (1)P = π (0)P1 ............ π (k ) = π (k −1) P = ⋯ = π (0) Pk
（3.7.8）
式中:π (0) = [π 1 (0), π 2 (0),⋯ , π n (0)] 为初 始状态概率向量。
P(Ei → E j )
P P ⋯ Pn 11 12 1 P P ⋯ P 2n P = 21 22 ⋮ ⋮ ⋮ Pn1 Pn 2 ⋯ Pnn
（3.7.2）
称为状态转移概率矩阵。 概率矩阵
Pm
0 ≤ Pij ≤ 1 n ∑ Pij = 1 j =1
对事件的全面预测，不仅要能够指出事 件发生的各种可能发生的结果，而且还必须 给出每一种结果会出现的概率。 马尔可夫（Markov）预测方法，就是一 种预测事件发生概率的方法。它是基于马尔 可夫链，根据事件的目前状况预测其将来各 个时刻（或时期）变动状况的一种预测方法。 马尔可夫预测法是对地理事件进行预测的基 本方法，它也是地理预测中常用的重要方法 之一。
4 = 0.363 6 11 5 P32 = P( E3 → E2 ) = P( E2 E3 ) = = 0.454 5 11 2 P33 = P( E3 → E3 ) = P( E3 E3 ) = = 0.1818 11 P31 = P( E3 → E1 ) = P( E1 E3 ) =
(2)结论：该地区农业收成变化的 状态转移概率矩阵为
同理可得
7 = 0.538 5 13 2 P22 = P( E2 → E2 ) = P( E2 E2 ) = = 0.153 8 13 4 P23 = P( E2 → E3 ) = P( E3 E2 ) = = 0.307 7 13 P21 = P( E2 → E1 ) = P( E1 E2 ) =
一、几个基本概念
状态 这是用来描述事物现状的名词。比如：某工 厂中的机器正处于损坏待修，那么描述机器的现 状就说机器的状态是损坏待修；某产品目前畅销， 则可以说其状态处于畅销；某产品当前的市场占 有率为20%，则从观察其市场占有率的角度来看， 其状态就是市场占有率为20%等。用Sn表示考察时 点为tn时的状态，考察对象的所有可能的状态集 合用S表示。如果假设用1，2，3表示某产品畅销、 滞销以及一般这三种情况，则S={1、2、3}，如 果在当前时点tn产品处于畅销，则tn=1。
0 .200 0 P = 0 .538 5 0 .363 6
0 .466 7 0 .153 8 0 .454 5
0 .333 3 0 .307 7 0 .181 8
（3.7.5）
二、马尔可夫预测方法
状态概率 π j (k ) 表示事件在初始（k＝0）状态为已知 的条件下，经过k次状态转移后，在第k 个 时刻（时期）处于状态 E j 的概率。 且
状态转移概率 在事件的发展变化过程中，从某一种状态 出发，下一时刻转移到其他状态的可能性，称 为状态转移概率。由状态Ei转为状态Ej的状态 转移概率 P( Ei → E j ) 就是条件概率 P( E j / Ei ) , 即 P(Ei → E j ) = P(E j / Ei ) = P ij 比如：
(i, j = 1,2, ⋯ , n) (i = 1,2, ⋯ , n)
（3.7.3）
一般地，将满足条件（3.7.3）的任 何矩阵都称为随机矩阵，或概率矩阵。 不难证明，如果P为概率矩阵，则对 于任何整数m>0，矩阵都是概率矩阵。
标准概率矩阵、 标准概率矩阵、平衡向量 如果P为概率矩阵，而且存在整数m>0， m P 使得概率矩阵 中诸元素皆非零，则称P 为标准概率矩阵。可以证明，如果P为标 准概率矩阵，则存在非零向量 α = [ x1 , x2 ,⋯, xn ] ，而且 xi 满足
很多经济现象都属于随即现象。所谓随机 现象就是指在少数几次试验或观察中呈现 的一种不确定性，大量试验中呈现出来某 种规律性的现象。研究随机现象的数学分 支有很多，其中随机过程在研究、描述一 组具有一定关系的随机变量的概率规律性 方面占有重要地位。马尔可夫过程或者马 尔可夫链就是其中的重要内容。首先让我 来介绍几个关于马尔可夫预测的几个概念：
例题1:考虑某地区农业收成变化的3个状 态，即“丰收”、“平收”和“歉收”。 记E1为“丰收”状态，E2为“平收”状态， E3为“歉收”状态。表3.7.1给出了该地区 1960—1999年期间农业收成的状态变化情 况。试计算该地区农业收成变化的状态转 移概率矩阵。
表3.7.1算： 从表3.7.1中可以知道，在15 个从E1出发（转移出去）的状态中: 有3个是从E1转移到E1的（即1→2，24→25， 34→35）； 有7个是从E1转移到E2的（即2→3，9→10， 12→13，15→16，29→30，35→36，39→40）； 有5个是从E1转移到E3的（即6→7，17→18， 20→21，25→26，31→32） 。
所谓“无后效性” 是指过去对未来无后效， 所谓“无后效性”，是指过去对未来无后效，而不 是指现在对未来无后效。 是指现在对未来无后效。马尔可夫链是与马尔可 夫过程紧密相关的一个概念。 夫过程紧密相关的一个概念。马尔可夫链指出事 物系统的状态由过去转变到现在， 物系统的状态由过去转变到现在， 再由现在转变 到将来，一环接一环像一根链条， 到将来，一环接一环像一根链条，而作为马尔可 夫链的动态系统将来是什么状态，取什么值， 夫链的动态系统将来是什么状态，取什么值， 只 与现在的状态、取值有关， 而与它以前的状态、 与现在的状态、取值有关， 而与它以前的状态、 取值无关。因此， 取值无关。因此，运用马尔可夫链只需要最近或 现在的动态资料便可预测将来。 现在的动态资料便可预测将来。马尔可夫预测法 就是应用马尔可夫链来预测市场未来变化状态。 就是应用马尔可夫链来预测市场未来变化状态。
所以
3 P = P ( E1 → E1 ) = P ( E1 E1 ) = = 0.200 0 11 15
7 P = P ( E1 → E2 ) = P ( E2 E1 ) = = 0.466 7 12 15
5 P = P ( E1 → E3 ) = P ( E3 E1 ) = = 0.333 3 13 15
马尔可夫预测方法 几个基本概念 马尔可夫预测法
我们知道， 我们知道，事物的发展状态总是随着时间的推 移而不断变化的。在一般情况下， 移而不断变化的。在一般情况下，人们要了解 事物未来的发展状态， 事物未来的发展状态，不但要看到事物现在的 状态，还要看到事物过去的状态。 状态，还要看到事物过去的状态。马尔可夫认 为，还存在另外一种情况， 人们要了解事物 还存在另外一种情况， 未来的发展状态， 只须要知道事物现在的状 未来的发展状态， 态，而与事物以前的状态毫无关系。例如，Ａ 而与事物以前的状态毫无关系。例如，Ａ 产品明年是畅销还是滞销， 产品明年是畅销还是滞销， 只与今年的销售 情况有关， 情况有关， 而与往年的销售情况没有直接的 关系。后者的这种情况就称为马尔可夫过程， 关系。后者的这种情况就称为马尔可夫过程， 前者的情况就属于非马尔可夫过程。 前者的情况就属于非马尔可夫过程。