用平面向量坐标表示共线条件含答案

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课时作业20 用平面向量坐标表示向量共线条件

时间：45分钟 满分：100分

一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．下列各组向量相互平行的是( ) A ．a ＝(－1,2)，b ＝(3,5) B ．a ＝(1,2)，b ＝(2,1) C ．a ＝(2，－1)，b ＝(3,4) D ．a ＝(－2,1)，b ＝(4，－2)

:

解析：∵b ＝(4，－2)＝－2(－2,1)＝－2a ，

∴b ∥a ，所以D 正确． 答案：D

2．设a ＝(13，tan α)，b ＝(cos α，3

2)，且a ∥b ，则锐角α为( )

解析：∵a ∥b ，∴13×32－tan α·cos α＝0，∴sin α＝1

2，

又∵α为锐角，∴α＝π

6

，故选B.

，

答案：B

3．已知向量a ＝⎝

⎛⎭⎪⎫

8，12x ，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a

＋b )，则x 的值为( )

A ．4

B ．8

C ．0

D ．2 解析：利用向量共线的坐标表示得方程．

∵a －2b ＝(8－2x ，1

2

x －2)，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，

∴(8－2x )(x ＋1)－⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12x －2(16＋x )＝0.

∴x ＝4或x ＝－4(舍去)． 答案：A

：

4．已知A (－1，－4)，B ⎝

⎛⎭⎪⎫

8，12，且A ，B ，C 三点共线，则C 点坐

标可以为( )

A ．(9,1)

B ．(－9,1)

C ．(9，－1)

D ．(－9，－1)

解析：设C 点坐标为(x ，y )，因为AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12－(－1，－4)＝⎝

⎛⎭⎪⎫9，92，

AC →＝(x ＋1，y ＋4)，

所以9(y ＋4)－9

2(x ＋1)＝0，代入验证，所以A 正确．

答案：A

5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )

…

C ．1

D ．2

解析：∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)，且(a ＋λb )∥c ， ∴1＋λ3＝24，∴λ＝12

，故选B.

答案：B

6．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝k a＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )

A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向

C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向

解析：c＝(k,0)＋(0,1)＝(k,1)，d＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，|

∵c∥d，∴k×(－1)－1×1＝0，∴k＝－1.

∴c＝(－1,1)与d反向，∴选D.

答案：D

二、填空题(每小题8分，共计24分)

7．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.

解析：λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)，

∵(λa＋b)∥c，∴－7(λ＋2)＝－4(2λ＋3)⇒λ＝2.故填2.

答案：2

！

8．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b与a＋λb(λ∈R)平行，则λ＝________.

解析：λa＋b＝λ(3,2)＋(2，－1)＝(3λ＋2,2λ－1)，

a＋λb＝(3,2)＋λ(2，－1)＝(3＋2λ，2－λ)．

∵(λa＋b)∥(a＋λb)，

∴(3λ＋2)(2－λ)－(3＋2λ)(2λ－1)＝0，即7λ2＝7.

∴λ＝1或－1.

答案：1或－1

9．设a＝(4,3)，b＝(λ，6)，c＝(－1，m)，若a＋b＝c，则λ＝________，m＝________.

！

解析：∵a ＋b ＝c ，∴(4,3)＋(λ，6)＝(－1，m )，

⎩⎪⎨⎪⎧

4＋λ＝－1，3＋6＝m ，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

λ＝－5，

m ＝9.

答案：－5 9

三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．(1)已知A (－2，－3)，B (2,1)，C (1,4)，D (－7，－4)，判断AB →与CD →是否共线．

(2)设a ＝(6,3m )，b ＝(2，x 2－2x )且满足a ∥b 的实数x 存在，求实数m 的取值范围．

解：(1)AB

→＝(2,1)－(－2，－3)＝(4,4)， CD →＝(－7，－4)－(1,4)＝(－8，－8)，

&

∵4×(－8)－4×(－8)＝0，

∴AB →∥CD →，即AB →与CD

→共线． (2)∵a ∥b ，∴6(x 2－2x )－3m ×2＝0， 即x 2－2x －m ＝0，

根据题意，此关于x 的方程有实根， 故有Δ＝4＋4m ≥0，即m ≥－1.

11．已知A (2,1)，B (3,5)，C (3,2)，若AP →＝AB →＋tAC

→(t ∈R )，试求t 为何值时，点P 在第二象限

解：设点P 的坐标为(x ，y )，则

>

AP →＝(x ，y )－(2,1)＝(x －2，y －1)，

AB →＋tAC

→＝(3,5)－(2,1)＋t [(3,2)－(2,1)] ＝(1,4)＋t (1,1)＝(1,4)＋(t ，t )＝(1＋t,4＋t )，