1比较法
比较法几个问题
关于比较法的几个问题摘要：本文先从关于比较法的基本概念入手，介绍了不同学者对比较法内涵的不同界定，讨论了比较法的性质，即是一门学科还是一种方法。
然后本文又关注了比较法研究中有现实意义的新课题，包括对于不同社会制度的法律制度的态度问题，以及关于法律移植的问题。
通过对这些问题的思考来更加明确比较法的意义和目的。
关键字：比较法比较方法法律移植一、比较法的界定（一）比较法的概念每一种比较法的概念界定同时也决定了研究者的研究范围、思路和模式。
英国法学家沃森认为，比较法是对法制史和法理学的研究。
德国比较法学家格罗斯费尔德认为，比较法是一种文化。
德国比较法学家茨威格特和克茨认为，比较法是指一方面以法律为其对象，另一方面以比较为其内容的一种思维活动。
比较法更深层的含义是超国家的，首先是世界上各种不同的法律秩序的相互比较。
日本比较法学家大木雅夫认为：比较法是这样一种法学部门或方法：在最一般的意义上，它在各种法律秩序的精神与样式的联系上，揭示各种法律秩序的形态学上的特征以及它们相互间在类型上的亲缘性；作为其特殊性，比较法主要研究各种法律秩序中可以比较的各种法律制度和解决问题的方法，以认识和完善法制为课题。
刘兆兴认为：比较法就其概念的本意而言是指对不同国家或地区的法律及其制度的比较。
（二）比较法的性质定位比较法对应的德文应直译为“法律比较”，指一方面以法律为其对象，另一方面以比较为其内容的一种思维活动，其更深层次的含义是超国家的。
因此，比较法首先是世界上各种不同的法律秩序的相互比较，它包括宏观比较和微观比较。
宏观比较，即不同国家法律秩序的比较，通过对不同法律秩序的精神和样式以及它们通常使用的思想方法和操作法互相比较；这里的“微观比较”比较的是各个法律制度或者法律问题，从而比较那些在不同的法律秩序中用以解决一定的具体问题或一定的利益冲突的规则。
英、日、中等各国则一般译为“比较法”，从其字面意思看，比较法与我们通常说的民法或刑法类似，以“法”冠名，应属于“法律部门”的一种，到底是“法律比较”还是“比较法”，这实际上涉及到比较法的定位问题，即“方法”与“学科”之争。
1.比较法
例.求证：x2 3 3x
证：∵ (x2 3) 3x
x2 3x (3)2 (3)2 3
22
x
3 2
2
3 4
≥
3 4
0
x2 3 3x
1.变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是 多少。至于怎样变形，要灵活处理。
2.本题的变形方法——配方法
例.已知 a,b, m 都是正数，并且a b, 求证 a m a
当
a
b 时，a
b
m m
a b
;
当a
b 时，a
b
m m
a b
;
例. 已知 a, b都是正数，并且 a b，求证：a5 b5 a2b3 a3b2
证明：(a5 b5 ) (a2b3 a3b2 )
(a5 a3b2 ) (b5 a2b3 )
a3 (a2 b2 ) b3 (a2 b2 ) (a2 b2 )(a3 b3 ) (a b)(a b)2 (a2 ab b2 )
• 比较法是证明不等式的一种最基本、最
重要的一种方法，用比较法证明不等式的 步骤是： • 作差—变形—判断符号—下结论。 • 作商—变形—与1比较大小---下结论。
• 要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒 等变形。
注：比较法是证明不等式的基本方法，也是最重 要的方法,另外，有时还可作商比较(如课本第 22 页例 3).
S(m n)2
2mn(m n)
其中S，m，n都是正数，且m≠n, 于是t1-t2<0
即 t1 t2 从而可知甲比乙首先到达指定地点。
小结：
• 作差比较法是证明不等式的一种最基本、 最重要的一种方法，用比较法证明不等式 的步骤是：作差—变形—判断符号—下结 论。
2020高中数学 第1章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.5.1 比较法讲义 4-5
1.5.1 比较法学习目标：1.理解比较法证明不等式的依据。
2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.3。
通过学习比较法证明不等式，培养学生对转化思想的理解和应用．教材整理1 比较法的定义比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种．(1)作差比较法要证明a〉b，只要证明a－b〉0；要证明a〈b，只要证明a－b<0.这种证明不等式的方法，叫做作差比较法．（2）作商比较法若a〉0，b>0,要证明a〉b,只要证明ab>1；要证明b>a，只要证明错误!〉1.这种证明不等式的方法，叫做作商比较法．教材整理2 比较法证明不等式的步骤比较法是证明不等式的基本方法之一，其步骤是先求差(商)，然后变形，最终通过比较作判断．1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是( ）A．t＞s B．t≥sC．t＜s D．t≤s［解析] s－t＝（a＋b2＋1）－（a＋2b)＝（b－1)2≥0，∴s≥t.［答案] D2．已知P＝错误!，Q＝a2－a＋1，那么P，Q的大小关系是( ）A．P＞0 B．P＜QC．P≥Q D．P≤Q［解析］∵QP＝(a2－a＋1)（a2＋a＋1）＝(a2＋1）2－a2＝a4＋2a2＋1－a2＝a4＋a2＋1≥1.∴P≤Q.［答案］D作差比较法证明不等式a b a b ab a b[精彩点拨] 此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式,也可根据二次三项式的判别式确定符号．[自主解答］法一：化成几个平方和．∵a2＋b2－ab－a－b＋1＝错误![(a－b）2＋（a－1）2＋（b－1)2]≥0，∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.法二：a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－（b＋1)a＋b2－b＋1。
对于a的二次三项式,Δ＝（b＋1)2－4（b2－b＋1）＝－3（b－1）2≤0，∴a2－(b＋1）a＋b2－b＋1≥0，故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b。
高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 一 比较法教案(含解析)5数学教案
一 比较法1．作差比较法(1)作差比较法的理论依据a －b >0⇔a >b ，a －b <0⇔a <b ，a －b ＝0⇔a ＝b .(2)作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理；③判定符号；④得出结论．其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定差的符号，常用的手段有：因式分解、配方、通分、分子或分母有理化等．2．作商比较法(1)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：①b >0，若a b >1，则a >b ；若ab <1，则a <b ；②b <0，若a b >1，则a <b ；若ab<1，则a >b .(2)作商比较法解题的一般步骤：①判定a ，b 的符号；②作商；③变形整理；④判定与1大小关系；⑤得出结论．作差比较法证明不等式[例1] y 3.[思路点拨] 因为不等式两边是同一种性质的整式，所以可以直接通过作差比较大小．[证明] x 3－x 2y ＋xy 2－(x 2y －xy 2＋y 3)＝x (x 2－xy ＋y 2)－y (x 2－xy ＋y 2) ＝(x －y )(x 2－xy ＋y 2)＝(x －y )⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 22＋3y 24. 因为x >y ，所以x －y >0，于是(x －y )⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 22＋3y 24>0， 所以x 3－x 2y ＋xy 2>x 2y －xy 2＋y 3.(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．1．求证：a 2＋b 2≥2(a －b －1)． 证明：a 2＋b 2－2(a －b －1) ＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0， ∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)． 2．已知a ，b ∈R ＋，n ∈N ＋， 求证：(a ＋b )(a n＋b n)≤2(an ＋1＋bn ＋1)． 证明：∵(a ＋b )(a n＋b n)－2(an ＋1＋bn ＋1)＝an ＋1＋ab n ＋ba n ＋bn ＋1－2an ＋1－2bn ＋1＝a (b n －a n)＋b (a n－b n) ＝(a －b )(b n－a n)．①当a >b >0时，b n－a n<0，a －b ＞0， ∴(a －b )(b n－a n )<0.②当b >a >0时，b n－a n>0，a －b <0. ∴(a －b )(b n－a n )<0.③当a ＝b >0时，(b n－a n)(a －b )＝0.综合①②③可知，对于a ，b ∈R ＋，n ∈N ＋，都有(a ＋b )(a n＋b n)≤2(an ＋1＋bn ＋1).作商比较法证明不等式[例2] 设a >0，b >0，求证：a a b b≥(ab )2.[思路点拨] 不等式两端都是指数式，它们的值均为正数，可考虑用作商比较法．[证明] ∵a a b b>0，(ab )a ＋b2>0，∴a a b b (ab )a ＋b 2＝a a －b 2·b b －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2.当a ＝b时，显然有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2＝1；当a >b >0时，a b >1，a －b2>0，∴由指数函数单调性，有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2>1；当b >a >0时，0<a b <1，a －b2<0，∴由指数函数的单调性，有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2>1.综上可知，对任意实数a ，b ，都有a a b b≥(ab )a ＋b2.当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较．3．已知a >b >c >0.求证：a 2a b 2b c 2c>a b ＋c b c ＋a c a ＋b.证明：由a >b >c >0，得ab ＋c b c ＋a c a ＋b >0.作商a 2a b 2b c 2c a b ＋c b c ＋a c a ＋b ＝a a a a b b b b c c c ca b a c b c b a c a cb＝aa －b a a －c b b －c b b －a c c －a cc －b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c a －c ⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c. 由a >b >c >0，得a －b >0，a －c >0，b －c >0，且a b >1，a c >1，b c>1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c a －c ⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c>1. ∴a 2a b 2b c 2c >ab ＋c b c ＋a c a ＋b.4．设n ∈N ，n >1，求证log n (n ＋1)>log (n ＋1)(n ＋2)．证明：因为n >1，所以log n (n ＋1)>0，log (n ＋1)(n ＋2)>0， 所以log (n ＋1)(n ＋2)log n (n ＋1)＝log (n ＋1)(n ＋2)·log (n ＋1)n≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤log (n ＋1)(n ＋2)＋log (n ＋1)n 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤log (n ＋1)(n 2＋2n )22<⎣⎢⎡⎦⎥⎤log (n ＋1)(n ＋1)222＝1. 故log (n ＋1)(n ＋2)<log n (n ＋1)， 即原不等式得证.比较法的实际应用[例3] 一半时间以速度m 行走，另一半以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走．如果m ≠n ，问甲、乙二人谁先到达指定地点？[思路点拨] 先用m ，n 表示甲、乙两人走完全程所用时间，再进行比较．[解] 设从出发地点至指定地点的路程为s ，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t 1，t 2 ，依题意有t 12m ＋t 12n ＝s ，s 2m ＋s2n＝t 2.∴t 1＝2s m ＋n ，t 2＝s (m ＋n )2mn.∴t1－t2＝2sm＋n－s(m＋n)2mn＝s[4mn－(m＋n)2]2mn(m＋n)＝－s(m－n)22mn(m＋n).其中s，m，n都是正数，且m≠n，∴t1－t2<0.即t1<t2.从而知甲比乙先到达指定地点．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断．5．某人乘出租车从A地到B地，有两种方案；第一种方案：乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案：乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适？解：设A地到B地距离为m千米．起步价内行驶的路程为a千米．显然当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较便宜．当m>a时，设m＝a＋x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元．乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)＝10＋1.2 x，Q (x )＝8＋1.4x .∵P (x )－Q (x )＝2－0.2x ＝0.2(10－x )，∴当x >10时，P (x )<Q (x )，此时选择起步价为10元的出租车较为合适．当x <10时，P (x )>Q (x )，此时选起步价为8元的出租车较为合适．当x ＝10时，P (x )＝Q (x )，两种出租车任选，费用相同． 1．下列关系中对任意a <b <0的实数都成立的是( ) A ．a 2<b 2B ．lg b 2<lg a 2C.ba>1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2 解析：选B ∵a <b <0，∴－a >－b >0. (－a )2>(－b )2>0.即a 2>b 2>0.∴b 2a2<1.又lg b 2－lg a 2＝lg b 2a2<lg 1＝0，∴lg b 2<lg a 2.2．已知P ＝1a 2＋a ＋1，Q ＝a 2－a ＋1，那么P ，Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P <QC ．P ≥QD ．P ≤Q解析：选D 法一：Q P＝(a 2－a ＋1)(a 2＋a ＋1)＝(a 2＋1)2－a 2＝a 4＋a 2＋1≥1， 又∵a 2＋a ＋1>0恒成立， ∴Q ≥P .法二：P －Q ＝1－(a 2－a ＋1)(a 2＋a ＋1)a 2＋a ＋1 ＝－(a 4＋a 2)a 2＋a ＋1，∵a 2＋a ＋1>0恒成立且a 4＋a 2≥0， ∴P －Q ≤0，即Q ≥P .3．已知a >0，b >0，m ＝a b ＋ba，n ＝a ＋b ，p ＝a ＋b ，则m ，n ，p 的大小关系是( )A ．m ≥n >pB ．m >n ≥pC ．n >m >pD ．n ≥m >p解析：选A 由m ＝a b ＋ba，n ＝a ＋b ，得a ＝b >0时，m＝n, 可排除B 、C 项．比较A 、D 项，不必论证与p 的关系．取特殊值a ＝4，b ＝1，则m ＝4＋12＝92，n ＝2＋1＝3，∴m >n ，可排除D ，故选A.4．设m >n ，n ∈N ＋，a ＝(lg x )m ＋(lg x )－m ，b ＝(lg x )n＋(lg x )－n，x >1，则a 与b 的大小关系为( )A ．a ≥bB ．a ≤bC ．与x 值有关，大小不定D ．以上都不正确解析：选A a －b ＝lg mx ＋lg －mx －lg n x －lg －nx ＝(lg mx －lgnx )－⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg n x －1lg m x＝(lg m x －lg nx )－lg mx －lg nx lg m x lg n x＝(lg mx －lg nx )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1lg m x lg n x＝(lg m x －lgnx )⎝⎛⎭⎪⎫1－1lg m ＋n x .∵x >1，∴lg x >0. 当0<lg x <1时，a >b ； 当lg x ＝1时，a ＝b ； 当lg x >1时，a >b . ∴应选A.5．若0<x <1，则1x 与1x2的大小关系是________．解析：1x －1x 2＝x －1x2.因为0<x <1，所以1x －1x2<0.所以1x <1 x2.答案：1x < 1 x26．设P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，若P>Q，则实数a，b满足的条件为________．解析：P－Q＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a)＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝a2b2－2ab＋1＋4＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a＋2)2，∵P>Q，∴P－Q>0，即(ab－1)2＋(a＋2)2>0，∴ab≠1或a≠－2.答案：ab≠1或a≠－27．一个个体户有一种商品，其成本低于3 5009元．如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应________出售(填“月初”或“月末”)．解析：设这种商品的成本费为a元．月初售出的利润为L1＝100＋(a＋100)×2.5%，月末售出的利润为L2＝120－2%a，则L1－L2＝100＋0.025a＋2.5－120＋0.02a＝0.045⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3 5009， ∵a <3 5009， ∴L 1<L 2，月末出售好．答案：月末8．已知x ，y ∈R, 求证：sin x ＋sin y ≤1＋sin x sin y . 证明：∵sin x ＋sin y －1－sin x sin y＝sin x (1－sin y )－(1－sin y )＝(1－sin y )(sin x －1)．∵－1≤sin x ≤1，－1≤sin y ≤1.∴1－sin y ≥0，sin x －1≤0.∴(1－sin y )(sin x －1)≤0.即sin x ＋sin y ≤1＋sin x sin y .9．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：a a b b c c ≥(abc )a ＋b ＋c 3.证明：不妨设a ≥b ≥c ≥0，那么由指数函数的性质，有 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 3≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c 3≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫c a c －a 3≥1. 所以a a b b c c (abc )a ＋b ＋c 3＝a a －b 3＋a －c 3b b －c 3＋b －a 3c c －a 3＋c －b 3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫c a c －a 3≥1. ∴原不等式成立．10．已知a<b<c，x<y<z，则ax＋by＋cz，ax＋cy＋bz，bx ＋ay＋cz，bx＋cy＋az中最大的是哪一个？证明你的结论．解：ax＋by＋cz最大．理由如下：ax＋by＋cz－(ax＋cy＋bz)＝(b－c)y＋(c－b)z＝(b－c)(y －z)，∵a<b<c，x<y<z，∴b－c<0，y－z<0，∴ax＋by＋cz－(ax＋cy＋bz)>0，即ax＋by＋cz>ax＋cy＋bz.ax＋by＋cz－(bx＋ay＋cz)＝(a－b)x＋(b－a)y＝(a－b)(x －y)>0，∴ax＋by＋cz>bx＋ay＋cz.ax＋by＋cz－(bx＋cy＋az)＝(a－b)x＋(b－c)y＋(c－a)z＝(a－b)x＋(b－c)y＋[(c－b)＋(b－a)]z＝(a－b)(x－z)＋(b－c)(y－z)>0，∴ax＋by＋cz>bx＋cy＋az.故ax＋by＋cz最大．。
第二章比较法的功能和目的
第二章比较法的功能和目的一、扩展认识范围比较法作为法学的一种科学方法，有着多种重要的功能。
任何一种科学都不有够仅仅依靠在本国国境之内产生的认识。
但是，过去很长一段时期，各国法学只是满足于国内的讨论，时至今日在某种程度上依然如此。
比较法只有脱离这种状况才能够向着一门国际性的法学科学之道迈进，并且进入国际的法律科学的殿堂。
在自然科学和医学领域，研究成果进行国际交流，超越各国国境的探讨。
这些科学是在世界范围内存在的。
人们只能够查明，这个或者那个国家在某一领域里作出特别卓越的、中等的或者特别小的贡献。
但是在法学领域里却是令人吃惊的另一种情况。
在罗马法是欧洲大陆所有法律的主要渊源的时候，在欧洲大陆曾经有过超国家的统一的法律和法学。
与此相对应，在英语世界范围内也有独特的统一性，即普通法的统一性。
在英美世界里，法学的统一性时至今日在本质上仍然保持不变，但是在18世纪，欧洲大陆的法律统一性随着各国的伟大法典出台就开始瓦解了。
这些法典包括18世纪巴伐利亚的《马克西米利安法典》和《普鲁士普通邦法》、19世纪的《法国民法典》和《德国民法典》、20世纪的《瑞士民法典》、《新意大利民法典》和《新希腊民法典》。
这些国家的民法典带来的结果首先是，法学家由此满足于解释他们的这些本国的法律规范。
他们的视野不超过国界。
由于对本国法自满自足的维护，同时伴随着民族国家思想加强，对于本国法的骄傲自大就出现了。
德国人认为他们的法是点金石，法国人对本国法也同样抱着同样信仰，于是民族的法律上的骄傲自大便深入法律家的思想。
而比较法却首先开始消灭这种狭隘的思想。
比较法的第一个功能是认识。
如果我们所理解的法学不仅是关于本国的法律、法律原则、规则和准则的解释学，而且还包括有关防止和解决社会冲突的模式的探索的话，比较法作为一种方法比那种面向一国国内的法学能够提供范围更广阔的解决模式。
这是因为：种种法律体系能够提供更多的、在它们分别发展中形成的丰富多彩的解决办法，不是那种局处本国法律体系的界限之内即使是最富有想像力的法学家在他们短促的一生能够想到的。
苏教版六年级数学小升初专题复习一数的认识
苏教版六年级数学小升初专题复习一数的认识整数和小数一、自然数和整数1．自然数（1）用来表示物体个数的0，1，2，3，4，5，…叫作自然数。
任何一个非零自然数都是由若干个1组成的，所以“1”是非零自然数的单位，如123是由123个1组成的。
最小的自然数是0，没有最大的自然数，所以自然数的个数是无限的.每个自然数都可以表示两种意义。
一、表示数量，如果一个自然数用来表示物体的个数就叫基数。
二、表示次序，如果一个自然数用来表示物体排列的次序，就叫序数。
（2）一个物体也没有就用0表示，但不能说0就表示没有，0还有多方面的作用。
如温度下降到0℃，这里的0℃是水结冰的温度。
在米尺上0是起点；在计数中，0起占位作用……2．正、负数0既不是正数，也不是负数。
正数都大于0，负数都小于0。
如+4，19，+8844这样的数都是正数。
如﹣4，﹣11，﹣7，﹣155这样的数都是负数。
二、数位和位数1．数位“数位”是指各个计数单位所占的位置。
在整数中，从右到左，数位的名称依次是个位、十位、百位、千位、万位…同一个数字，由于所在的数位不同，它所表示的数值也不同。
例如：404000中的“4”分别在十万位和千位上，分别表示4个十万和4个千。
2．位数位数与数位是两个意义完全不同的概念。
位数是指一个自然数中含有数位的个数。
例如：586是三位数，4345是四位数，23778是五位数等。
3．计数单位每个数位上的数都有相应的计数单位。
如个位的计数单位就是个，十位的计数单位就是十，百位的计数单位就是百…4．数位顺序表三、十进制十进制就是指每相邻的两个计数单位之间的进率都是10。
目前，我们学习的整数和小数都是按照十进制计数法写出的数。
除了十进制，在不同的领域还有不同的进制，如计算机的二进制等。
四、多位数的读法和写法1．多位数的分级我国习惯上把多位数按四位分级，即从个位起，每四个数位作为一级。
个位、十位、百位、千位，称为个级;万位、十万位、百万位、千万位，称为万级;亿位、十亿位、百亿位、千亿位，称为亿级。
物理实验中的比较法
物理实验中的比较法1. 比较法的定义比较法是一种实验方法，可以用来比较两种不同的物理状态或者两种不同的物理现象。
它可以用来比较物理量的大小、物理现象的发生率、物理量的变化率等。
它的基本原理是，通过比较两种不同的物理状态或者两种不同的物理现象，以及它们之间的关系，来得出结论。
例如，可以通过比较两种不同物理量的大小，来确定它们之间的变化率；可以通过比较两种不同物理现象的发生率，来确定它们之间的关系；可以通过比较两种不同物理量的变化率，来确定它们之间的关系等。
2. 比较法的基本原理：比较法的基本原理是：在物理实验中，将某种物质的性质与另一种物质的性质进行比较，以获得实验结果。
比较法的本质是将不同的物质的性质进行对比，以获得实验结果。
比较法可以用来测量物质的量、性质、形状等。
例如，可以通过比较两种物质的重量，来测量物质的重量；通过比较两种物质的形状，来测量物质的形状；通过比较两种物质的性质，来测量物质的性质。
3. 比较法的应用比较法是一种常用的物理实验方法，它可以用来测量物理量的大小和变化。
比较法的应用包括：1. 测量物理量的大小：比较法可以用来测量物理量的大小，例如用比较法测量力的大小，测量温度的大小，测量电压的大小等。
2. 测量物理量的变化：比较法可以用来测量物理量的变化，例如测量力的变化，测量温度的变化，测量电压的变化等。
3. 比较物理量：比较法可以用来比较不同的物理量，例如比较力的大小，比较温度的大小，比较电压的大小等。
4. 检验实验结果：比较法可以用来检验实验结果的准确性，例如检验力的测量结果，检验温度的测量结果，检验电压的测量结果等。
4. 比较法的操作步骤4. 比较法的操作步骤1. 选择参考物：选择参考物作为基准，以便与测量物进行比较；2. 将参考物与测量物放置在同一水平面上：将参考物与测量物放置在同一水平面上，以确保测量的准确性；3. 比较参考物和测量物：比较参考物和测量物，以确定参考物和测量物之间的差异；4. 记录结果：记录参考物和测量物之间的差异，以便后续分析；5. 重复上述步骤：重复上述步骤，以确保测量的准确性；6. 将测量结果与参考物进行比较：将测量结果与参考物进行比较，以确定测量结果的准确性。
单项比较法计算案例
单项比较法计算案例
案例：
一家公司正在考虑投资三个不同的项目，它们的投资回报如下：
项目A：投资回报率为20％
项目B：投资回报率为30％
项目C：投资回报率为40％
一家公司正在考虑投资三个不同的项目，以获得最大的投资回报。
为了解决这个问题，他们采用了单项比较法。
首先，他们将三个项目的投资回报率分别设定为20％，30％和40％。
然后，他们将每个项目的投资回报率与其他两个项目的投资回报率进行比较，以确定哪个项目的投资回报率最高。
他们发现，项目A的投资回报率比项目B的投资回报率高10％，而项目C的投资回报率比项目B的投资回报率高10％。
因此，他们可以得出结论，项目C的投资回报率最高，应该投资项目C。
通过单项比较法，一家公司可以得出最佳投资结果。
这种方法可以帮助公司更好地分析投资项目，以便投资最有利可图的项目。
它还可以帮助公司更好地控制风险，以便获得最大的投资回报。
总之，单项比较法是一种有效的投资决策方法，可以帮助公司更好地分析投资项目，以便投资最有利可图的项目，并获得最大的投资回报。
简述比较法的具体内容
简述比较法的具体内容比较法是一种常用的研究方法，用于对不同事物或现象进行比较，以揭示它们之间的差异和共性。
比较法可以应用于各个学科领域，如社会学、心理学、经济学等，并且在实践中具有广泛的应用。
比较法的具体内容包括以下几个方面：1. 定义比较对象：首先需要明确比较的对象是什么，可以是不同国家、不同群体、不同时间段等。
明确比较对象的范围和要素，有助于进行有针对性的比较研究。
2. 收集数据：比较法需要收集相关的数据和信息，以支持对比较对象的分析和比较。
数据可以通过实地调查、文献研究、统计数据等多种途径获取，要求数据的来源可靠、全面、准确。
3. 确定比较维度：比较法需要选择适当的比较维度，即从哪些方面对比较对象进行比较。
比较维度的选择应该与比较目的和研究问题相一致，可以是经济指标、社会指标、行为特征、文化差异等多个方面。
4. 分析比较结果：在收集到足够的数据后，比较法需要对数据进行分析和解读。
可以采用统计分析方法、质性分析方法等，对比较对象的差异和共性进行深入剖析，以得出结论。
5. 归纳总结：比较法需要对比较结果进行总结和归纳，以回答研究问题或验证研究假设。
总结可以从不同维度、不同层次进行，将比较结果进行概括和分类，形成完整的结论。
比较法的特点和优势有以下几点：1. 全面性：比较法可以对不同事物进行全面的比较，从多个方面考察其差异和共性，有助于揭示事物的本质和特点。
2. 客观性：比较法基于客观的数据和事实，避免主观臆断和偏见的影响，使研究结果更具有科学性和可信度。
3. 可操作性：比较法的步骤和方法相对清晰和规范，研究者可以按照一定的流程进行研究，有助于提高研究的可操作性和可重复性。
4. 深入性：比较法可以深入挖掘事物之间的差异和共性，从中发现新的问题和现象，并为后续的研究提供新的思路和方向。
5. 实用性：比较法可以为政策制定、社会实践等提供理论支持和决策依据，有助于解决实际问题和提高实践效果。
需要注意的是，比较法在应用过程中也存在一些局限性和挑战：1. 条件限制：比较法需要充分的数据和资源支持，有时会受到实际条件的限制，如数据的获取困难、时间和经费的限制等。
数字的大于与小于
数字的大于与小于数字的大小比较是我们在日常生活中经常会遇到的问题，也是数学中的一个基础概念。
在数学中，我们通过比较两个数字的大小来确定它们之间的关系。
本文将介绍数字的大于与小于的概念和比较方法，并探讨其中的一些应用。
一、数字的大小比较概念在数学中，我们通常使用“大于”和“小于”符号来表示数字的大小关系。
具体表达如下：1. 大于：用符号“>”表示，表示一个数字比另一个数字要大。
例如，2 > 1，表示数字2大于数字1。
2. 小于：用符号“<”表示，表示一个数字比另一个数字要小。
例如，1 < 2，表示数字1小于数字2。
另外，我们还有两个相关的概念：3. 大于等于：用符号“≥”表示，表示一个数字大于或等于另一个数字。
例如，2 ≥ 2，表示数字2大于等于数字2。
4. 小于等于：用符号“≤”表示，表示一个数字小于或等于另一个数字。
例如，3 ≤ 3，表示数字3小于等于数字3。
以上概念和符号在数学中都有明确的定义和使用规则，能够准确地比较数字的大小关系。
二、数字的大小比较方法在进行数字的大小比较时，我们可以借助于各种数学方法和工具来帮助我们判断大小关系。
下面是一些常用的方法：1. 比较法：直接比较两个数字的大小关系。
例如，比较数字5和数字3的大小，可以通过观察它们的数值大小来确定，“5 > 3”，即数字5大于数字3。
2. 计算法：进行基本的运算操作，然后比较结果。
例如，比较数字4和数字6的大小，可以计算它们的差值，“6 - 4 = 2”，由于结果为正数，可以得出“4 < 6”，即数字4小于数字6。
3. 图形法：利用图形上的位置关系来比较数字的大小。
例如，在数轴上表示数字-2和数字3，可以看出-2位于3的左侧，因此可以得出“-2 < 3”，即数字-2小于数字3。
以上方法只是其中的一部分，在实际应用中还可以根据具体情况选择适合的比较方法。
三、数字大小比较的应用数字的大小比较在日常生活和学习中具有广泛的应用。
5.3.1比较法 课件(人教A版选修4-5)
5.3.1 比较法 比较法是证明不等式的一种最基本、最重 要的一种方法.上题用的是作差比较法. 一. 理论依据 ab > 0 a>b ，变形的目的全在于判断 ab = 0 a=b ，差的符号，而不必考虑 ab < 0 a<b . 差的值是多少。至于怎 样变形，要灵活处理。 二. 基本步骤 作差 变形 定符号 下结论 (1) 积、商 因式分解、通分 (2) 平方 配方
天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 书 小 不 学 勤 径，学 徒 伤 悲 作 功！ 天 才 在 于 为 奋，努 力 才 能 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 少 山 有 路 勤习，老 来 海 无 崖 苦成 舟
例1 设a≠b , 求证:a2 +3b2 > 2b(a+b)
证: a2 +3b2-2b(a+b) =a2 +3b2-2ab-2b2 =a2 -2ab + b2 =(a-b)2 ∵a≠b , ∴(a-b)2>0 ∴ a2 +3b2>2b(a+b)
3 2
3
3
b ) b (a
2 3 3
2
3
2
b )
2
(a
2
b )( a b )
说明: 变形要到位,直到能判断式子的符 号为止.
例3 甲、乙两人同时同地出发, 沿同一线路 走到同一地点. 甲有一半时间以速度m行走, 另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以 速度m行走, 另一半路程以速度n行走. 如果 m≠n，问甲、乙两人谁先到达指定地点. 分析: 即比较各自走完路程所用时间的大小. 解：设从出发地点至指定地点的路程是S, 甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别 为t1，t2，依题意有
比较法的研究方法
比较法的研究方法
比较法是一种非常重要的研究方法，其基本思想是通过对不同国家、地区、时期、文化等进行比较分析，以便更好地理解和解决问题。
比较法有多种具体研究方法，包括对比分析、类比研究、横向比较、纵向比较、跨学科比较等。
对比分析是比较法中最基本的方法，其主要思想是通过对两个或多个事物的不同之处进行比较，进而推断它们之间的联系和差异。
类比研究是指通过将两个或多个不同的对象进行比较，找出它们之间的共同点和相似性，以寻找规律和解决问题。
横向比较则是指对同一时期、同一地区的两个或多个对象进行比较，以了解它们之间的差异和联系。
纵向比较则是指对同一对象在不同时间段内的发展进行比较，以发现变化趋势和规律。
跨学科比较则是将不同学科的研究对象进行比较，以获得更全面的研究成果。
比较法的研究方法具有很高的实用性和普遍性，可以被广泛应用于社会科学、自然科学、医学、法律等各个领域。
对于提高研究质量、深化理论认识和实现学科交叉具有重要意义。
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比较法视野中的证据制度
比较法视野中的证据制度随着人类社会的发展，我们日常生活中的法律事务越来越多，证据制度也变得越来越重要。
证据制度作为法律的重要组成部分，是保障诉讼者依法享有公平正义的重要机制。
在实现法律公正的过程中，证据制度发挥着重要作用，但它也存在许多不足之处。
比较法视野下的证据制度是指着眼于改善国家法律证据制度，加强建设合理、公正、实效的证据制度。
在这方面，比较法学的角色是重要的，它可以帮助我们有效地分析国家的法律证据制度。
比较法学主要研究不同国家的法律，以比较的方式来检验不同国家的法律，以求出不同法律之间的差异，并对其中的规则和原则进行分析。
另外，比较法学还可以比较同一国家的法律制度，以查找不同地区证据制度的差异。
通过比较法学，我们可以从历史及国家文化的角度，深入挖掘国家法律制度之间的共同点，并查看它们之间的区别。
此外，比较法学在探寻法的发展趋势、研究未来发展方向以及对当前证据政策的深入分析与研究上也起着重要作用。
在讨论当前的证据政策时，比较法学可以为法律立法者提供参考，帮助他们更好地实施证据政策。
另外，比较法学也可以为决策者提供一个客观的视角，从而帮助他们更好地制定法律证据政策。
借助比较法的视角，我们还可以在国际和地区法律体系中归纳出共同的证据原则，在证据原则的基础上建立具有秩序、客观性和可行性的证据机制。
这将有助于构建一个更统一、更有序的法律证据系统，并促进国际和地区证据合作与惩罚机制的建立和发展。
总之，比较法视野下的证据制度，可以帮助我们更好地改善国家证据制度，加强合理、公正、实效的证据制度建设。
通过对比较法学的研究，我们可以深入挖掘国家的法律制度，有助于构建一个更统一、更有序的法律证据系统，促进国际和地区法律体系的建立和发展。
比较法的方法
比较法的方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊比较法的方法。
比如说买手机吧，你在纠结到底是买苹果还是华为呀。
这时候比较法就派上用场啦！你看，苹果手机系统流畅，哎呀，那操作起来简直跟德芙一样丝滑。
可华为呢，拍照功能超强，哇塞，拍出来的照片那叫一个美呀！这就是通过对比它们各自的优点来做决定。
再好比找工作，一个工作工资高，但是累得要死。
另一个工作轻松，但工资相对少点。
你就得好好比较一下啦，到底是要钱还是要轻松呢。
这就跟你选冰淇淋口味一样，巧克力味浓郁醇厚，香草味清新香甜，你会选哪个呀？
还有啊，找对象也能用到比较法哟！这个人幽默风趣，能让你天天乐开花；那个人踏实稳重，能给你满满的安全感。
哎呀呀，就像水果摊的苹果和橙子，各有各的好呀。
比较法不只是在大事上有用，生活小事也离不开它呢。
比如中午吃饭，是吃炒菜呢还是吃饺子呀。
炒菜种类多味道香，饺子呢热乎乎的吃着舒服。
比较法就像是我们人生路上的一盏明灯，帮我们在各种选择中找到最适合自己的。
通过比较不同的选项，我们能更清楚地看到它们的优缺点，然后做出明智的决定。
无论是大事情还是小事情，比较法都能让我们的思考更全面，选择更准确。
所以呀，大家可千万别小瞧了这比较法哟！。
补码一位乘比较法
补码一位乘比较法
补码一位乘法是一种特殊的乘法法则，用于计算二进制数的正确
结果。
当进行一位乘法计算时，有两个数字被乘以，会产生一个结果。
乘数由两个四位补码数字组成，而被乘数也由四位补码数字组成。
每一位的乘法都用最普通的乘法公式，即乘以另一个四位补码数
字的每一位。
然后再将每一位的乘积相加得出最终结果，如果最后结
果大于4位，则会发生溢出，需要舍去最高位。
补码一位乘法与常规乘法有一些不同，特别是当乘数为正数时，
补码一位乘法不需要考虑负数，而乘数为负数时，需要将负数转换为
其补码表示形式。
补码一位乘法被广泛应用于计算机程序。
因为补码拥有其表示范围，只需给定较小的范围，可以获得精确的结果。
另外，人们可以以
补码的方式编写代码，节省编程时间，并使程序更加可靠可靠。
补码一位乘法也有其优点，是一种更为简单、快捷、高效的计算
方法。
它不需要大量的计算空间，可以在更短的时间内完成计算。
在
一定程度上，补码一位乘法可以减少人们在计算过程中的出错率，节
省时间和费用。
总的来说，补码一位乘法是一种有效的计算方法，可以使计算结
果更加准确，它无论在编程效率上还是计算效率上都有着有效的优势。
2020年高考一轮复习16.4不等式的证明、柯西不等式与均值不等式讲义(配套)
16.4不等式的证明、柯西不等式与均值不等式考试说明通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法.课前双基巩固1. 证明不等式的常用方法(1)比较法①求差比较法:a>b⇔a-b>0,a<b⇔a-b<0,因此要证明a>b,只要证明即可,这种方法称为求差比较法.②求商比较法:a>b>0⇔>1且a>0,b>0,因此当a>0,b>0时要证明a>b,只要证明>1即可,这种方法称为求商比较法.(2)分析法从所要证明的出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实,从而得出要证的命题成立,这种证明方法称为分析法,即“执果索因”的证明方法.(3)综合法从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法称为综合法,即“由因寻果”的方法.(4)放缩法证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的,这种方法称为放缩法.(5)反证法的步骤①作出否定的假设;②进行推理,导出;③否定,肯定.2. 柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式①柯西不等式的代数形式:设a1,a2,b1,b2均为实数,则(+)(+)≥(当且仅当a 1b 2=a 2b 1时,等号成立).②柯西不等式的向量形式:设α,β为平面上的两个向量,则|α|·|β|≥|α·β|,当且仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.③二维形式的三角不等式:设x 1,y 1,x 2,y 2∈R,那么+ ≥ - ) - ) ,当且仅当x 1y 2=x 2y 1时,等号成立.(2)一般形式的柯西不等式设a 1,a 2,a 3,…,a n ,b 1,b 2,b 3,…,b n 是实数,则( + +…+ )( + +…+ )≥ a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2,当且仅当b i =0 i=1,2,…,n)或存在一个实数k,使得a i =kb i i=1,2,…,n)时,等号成立.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论.( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.( )(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用.( ) 2.若a >b >1，x ＝a ＋1a ，y ＝b ＋1b ，则x 与y 的大小关系是( )A.x >yB.x <yC.x ≥yD.x ≤y3.已知a ≥b >0，M ＝2a 3－b 3，N ＝2ab 2－a 2b ，则M ，N 的大小关系为________.4.已知a >0，b >0且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b 的最小值是________.5.已知x >0，y >0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy .课堂考点探究探究点一 柯西不等式的应用1 已知x,y,z 是正实数,且满足x+2y+3z=1. (1)求 + +的最小值; (2)求证:x 2+y 2+z 2≥.[总结反思] 对于若干个单项式的平方和,因为其符合柯西不等式(a2+b2+…+c2)(m2+n2+…+p2)≥ am+bn+…+cp)2,所以只要补足另一个平方和多项式,便可利用柯西不等式来求最值.式题已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a,b的值;(2)求证:2≤+≤4.探究点二利用综合法、分析法证明不等式2已知定义在R上的函数f(x)=|x-2m|-|x|,m∈N*,且f(x)<4恒成立.(1)求实数m的值;(2)若α∈ 0,1),β∈ 0,1),f α)+f β)=3,求证:+≥18.[总结反思](1)利用综合法证明不等式时,常用的不等式有:①a2≥0;②|a|≥0;③a2+b2≥2ab,它的变形形式又有(a+b)2≥4ab,≥等;④≥ a≥0,b≥0),它的变形形式又有a+≥2 a>0),+≥2 ab>0),+≤-2(ab<0)等.(2)用分析法证明不等式时,不要把“逆求”错误地作为“逆推”,分析的过程是寻求结论成立的充分条件,而不一定是充要条件,同时要正确使用“要证”“只需证”这样的“关键词”.式题若正实数a,b满足a+b=,求证:+≤1.参考答案16.4不等式的证明、柯西不等式与均值不等式【课前双基巩固】知识聚焦1. (1)a-b>0 (2)结论 (5)结论 矛盾 假设 结论2. (1)(a 1b 1+a 2b 2)2 对点演练1. (1)× 2)√ (3)× (4)×2. A解析 x －y ＝a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝（a －b ）（ab －1）ab .由a >b >1得ab >1，a －b >0，所以（a －b ）（ab －1）ab >0，即x －y >0，所以x >y .3. M ≥N解析 2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b ).因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0，2a ＋b >0， 从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，故2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . 4. 4解析 由题意得，a ＋b ＝1，a >0，b >0， ∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4.当且仅当a ＝b ＝12时等号成立. ∴1a ＋1b 的最小值是4. 5.证明 因为x >0，y >0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0，1＋x 2＋y ≥33x 2y >0，故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .【课堂考点探究】例1 [思路点拨](1)利用基本不等式可得当且仅当= 且= 且=时, + +取得最小值6+2+2+2;(2)利用柯西不等式的特点结合题意证得结论即可,注意等号成立的条件.解:(1)∵x,y,z是正实数,且满足x+2y+3z=1,∴++=(x+2y+3z)=6++++++=6+++≥6+2+2+2,当且仅当=且=且=时取等号,故++的最小值为6+2+2+2.(2)证明:由柯西不等式可得1=(x+2y+3z)2≤ x2+y2+z2)(12+22+32)=14(x2+y2+z2),∴x2+y2+z2≥,当且仅当x==,即x=,y=,z=时取等号,故x2+y2+z2≥.变式题解:(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,则---解得(2)证明:由柯西不等式有(-3+)2=(·-+1·)2≤[ )2+12][(-)2+()2]=16,所以-3+≤4,当且仅当=,即t=1时,等号成立.又(-3+)2=-3t+12+t+2-3·≥12-2t≥4 0≤t≤4),所以-3+≥2,当且仅当t=4时,等号成立.综上,2≤+≤4.例2[思路点拨](1)依据题设借助绝对值三角不等式分析求解;(2)借助题设条件运用基本不等式进行证明.解:(1)∵|x-2m|-|x|≤|x-2m-x|=|2m|,∴要使|x-2m|-|x|<4恒成立,则|m|<2,解得-2<m<2. 又∵m∈N*,∴m=1.(2)证明:由(1)可知f(x)=|x-2|-|x|.∵α∈ 0,1),β∈(0,1),∴f α)+f β)=2-2α+2-2β=3,即α+β=,∴+=2 α+β)=2≥2·=18,当且仅当=,即α=,β=时取等号,故+≥18.变式题证明:要证+≤1,只需证a+b+2≤1,即证2≤,即证≤,而a+b=≥2,所以≤成立,所以原不等式成立.。
比较分数大小常用方法
比较分数大小常用方法 一、 分子相同比较法 分子相同比较法就是把异分子的分数，根据分数的基本性质，化成同分子的分数，然后再根据“分子相同的分数，分母小的分数比较大”进行比较。
【例1】 比较23 和34 的大小 【分析】根据分数的基本性质，将23 和34化成分子相同的分数： 23 ＝2×33×3 ＝69 ， 34 ＝3×24×2 ＝68因为69 ＜68 ，所以23 ＜34。
二、 分母相同比较法分母相同比较法就是把异分母的分数，根据分数的基本性质，化成同分母的分数，然后再根据“分母相同的分数，分子大的分数比较大”进行比较。
【例2】比较45 和56的大小 【分析】根据分数的基本性质，将45 和56化成分子相同的分数： 45 ＝4×65×6 ＝2430 ， 56 ＝5×56×5 ＝2530因为2430 ＜2530 ，所以45 ＜56。
三、 化整比较法化整比较法就是将分数分别乘以它们的最简公分母，使各分数变成整数再进行比较它们的大小的方法。
【例3】比较56 和67的大小 【分析】将56 和67分别乘以它们的最简公分母42： 56 ＝56 ×42＝35， 67 ＝67×42＝36。
因为35＜36，所以56 ＜67。
四、 数轴比较法数轴比较法就是运用数轴，将各分数用数轴上的点表示出来，再根据“数轴上的点表示的数右边的总比左边的大”进行比较大小。
【例4】比较23 和56的大小【分析】画一数轴（如图），在数轴上分别表示出23 和56通过观察在数轴上表示23 和56 两个点，因为表示56 的点在表示23 的点的右边，所以56＞23。
五、 分子变1比较法分子变1比较法，就是根据分数的基本性质，把各自分数的分子、分母分别除以各自的分子，变成分子都是1的分数，然后进行比较其大小的一种方法。
【例5】比较59 和27的大小 【分析】根据分数的基本性质，将59 和27化成分子都是1的分数： 59 ＝5÷59÷5 ＝11.8 ， 27 ＝2÷27÷2 ＝13.5因为11.8 ＞13.5 ，所以59 ＞27六、倒数比较法倒数比较法，就是分别求出各数的倒数，然后再根据倒数大的原分数反而小进行比较的一种方法。
简述比较法的具体内容
简述比较法的具体内容比较法是一种常用的研究方法，用于对不同对象、现象或观点进行比较和评价，从中得出结论或找出最优解。
它在各个领域都有广泛应用，如社会科学、自然科学、经济学等。
比较法的基本原理是以系统性和客观性为基础，通过对比来发现差异、相似之处以及规律性的变化。
比较法主要包括两个环节：选择比较对象和进行比较分析。
在选择比较对象时，需要明确研究的目的和问题，确定要比较的对象范围和标准，以便进行有针对性的比较。
在进行比较分析时，通常会采用定性和定量相结合的方式，综合运用各种研究方法、统计分析和实证研究等手段，获取更全面和准确的数据。
比较法的具体内容包括以下几个方面：1. 比较对象的选取：比较法的第一步是选择合适的比较对象。
根据研究目的和问题，确定比较的范围和标准。
可以选择不同地区、不同时间段、不同群体等作为比较对象，以便对其进行比较分析。
2. 比较指标的确定：比较法需要明确比较的指标和标准，以便对不同对象进行评价和比较。
比较指标可以是定性的，如社会经济发展水平、政治制度等；也可以是定量的，如人口数量、GDP、教育水平等。
在确定比较指标时，需要考虑数据的可获得性和可比性，以及指标的权威性和有效性。
3. 数据收集和整理：比较法需要收集和整理大量的数据，以便进行比较分析。
数据的来源可以是官方统计数据、调查问卷、实地观察等。
在收集数据时，需要注意数据的准确性和完整性，避免数据的误差和偏差。
4. 比较分析和解释：比较法的核心是进行比较分析和解释。
通过对比不同对象的差异和相似之处，可以揭示出规律性的变化和趋势。
在进行比较分析时，需要运用适当的统计方法和研究工具，以便得出准确和可靠的结论。
5. 结果呈现和讨论：比较法的最后一步是呈现和讨论研究结果。
可以通过表格、图表、文字等方式，将比较结果进行直观和清晰的展示。
同时，还需要对比较结果进行深入的分析和讨论，解释其原因和影响，提出合理的建议和措施。
比较法具有以下优点：1. 系统性和客观性：比较法通过系统性的比较和分析，可以得出客观和科学的结论。
法学研究中的比较法分析
法学研究中的比较法分析在现代社会中，法律的作用越来越重要。
因此，法学研究成为了全球范围内的热门话题。
法学研究的目标是理解和解释法律的原理和规则，并为法律制定者和实践者提供有关如何应用法律的指导。
在这个过程中，比较法分析在法学研究中扮演着重要角色。
比较法是一种研究与分析不同国家或地区之间法律制度和法律问题的方法。
通过比较法分析，研究者可以理解各国法律制度的异同，并从中获得对自己国家法律体系的启示。
这种方法的目的是通过探索和评估各国法律的经验来改进自己的法律制度，从而为实际应用提供意见和建议。
比较法分析的第一步是选择并界定要比较的法律制度或法律问题。
然后，研究者需要收集和整理与这些法律制度或法律问题相关的信息和材料。
这包括法律文件、判例法、学术研究和其他相关资料。
通过研究这些资料，研究者可以获得对不同法律制度的深入理解，并能够识别其共同点和差异。
在比较法分析中，研究者需要制定合适的比较标准。
这些标准可以是法律原则、法律规则或其他相关因素。
比较标准的选择取决于研究者和研究目的。
通过制定比较标准，研究者可以将各个法律制度进行对比，从而找出其异同之处。
比较法分析不仅仅是简单地列出两种法律制度之间的差异。
它的目的是通过理解差异背后的原因和机制来揭示其影响和意义。
比较法分析的一个重要方面是研究不同法律制度的历史、文化和社会背景。
这些因素对法律制度的形成和发展起着重要作用，并决定了其本质和特点。
通过研究这些因素，研究者可以更好地理解不同法律制度中法律规则的含义和适用方式。
比较法分析的另一个重要方面是研究法律制度之间的相互影响和互动。
法律是相互联系的，不同法律制度之间的变化和发展会相互影响。
通过比较法分析，研究者可以揭示这种相互影响的机制和模式，并从中获取对法律发展的启示。
这种相互影响不仅可以在国家之间发生，也可以在国家内部的不同法律制度之间发生。
虽然比较法分析对法学研究有很多好处，但也存在一些局限性和挑战。
首先，不同法律制度之间的比较可能受到语言、文化和制度差异的影响。
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误区警示
例
若a>b>0，c<d<0.
3 a 3 b 求证： < . d c
【错证】
3 a 3 a c 3 ac d ＝ × ＝ ·. d b bd 3 b c
a c ∵a>b>0，∴b>1，c<d<0，d<1， 3 ac 3 a 3 b ∴ · <1，∴ d< bd c
【错因】 不等式性质用错，比商时要注意 分母的符号．分母为正，去分母时与原不等 式同向，否则反向．
商值比较法
a＋b 2
例3
设 a>0，b>0，求证：a b ≥(ab)
a b
.
【思路点拨】 不等式两端都是指数式，它 们的值均为正数，可考虑用商值法．
【名师点评】 当欲证的不等式两端是乘积 形式或幂指数不等式时，常采用商值比较 法．
变式训练3 设直角三角形的斜边长为c，两 直角边长分别为a，b，试比较c3与a3＋b3的 大小．
【自我校正】
3 a 3 ac d ＝ ·. bd 3 b c
a ∵a>b>0，∴ >1， b c ∵c<d<0，∴d>1，
ac ∴b· >1， d 3 ac ∴ · >1， bd 3 b 又∵ c <0， 3 a 3 b ∴ d< . c
方法感悟 1．比较法证明不等式的关键是变形，对差 式的变形主要借助因式分解、配方、通分、 有理化等手段，对商式的变形主要借助幂的 运算性质． 2．当被证的不等式两端是多项式、分式或 对数式时，一般用作差法．当被证不等式 (或变形后)的两端都是正数且为乘积形式或 幂指数形式时，一般用作商法．
方法，叫做商值比较法．
思考感悟 作差比较法的主要类型是什么？
提示：作差比较法尤其适用于具有多项式结 构特征的不等式的证明．
课堂互动讲练
考点突破 差值比较法
例1
比较a4－b4与4a3(a－b)的大小．
【思路点拨】 不等式的两边都是整式，可 用作差法比较不等式的大小．
【解】 a4－b4－4a3(a－b) ＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－4a3(a－b) ＝(a－b)[(a＋b)(a2＋b2)－4a3] ＝(a－b)(a3＋ab2＋ba2＋b3－4a3) ＝ (a － b)[(ab2 － a3) ＋ (ba2 － a3) ＋ (b3 － a3)] ＝(a－b)(a－b)[(－a)(a＋b)－a2 －(a2 ＋ 2 b ＋ab)] 2 2 2 ＝－(a－b) (3a ＋2ab＋b ) b 2 2 2 2 ＝－(a－b) [( 3a＋ ) ＋ b ]≤0(当且 3 3 仅当 a＝b 时取等号)．
【名师点评】 证明含有根号的不等式时， 为了避免根号的干扰，可选择将不等式两边 都平方，但要注意不等式两边必须是非负 数．
变式训练 2
设 a>0 ， b>0. 证 明 ：
a2＋b2 a＋b ≥ . 2 2
证明： 2 2
a2＋b22 a＋b2 － 2 2 a ＋b a2＋b2＋2ab a2＋b2－2ab ＝ － ＝ 2 4 4 1 ＝ (a－b)2≥0， 4 a2＋b22 a＋b2 ∴ ≥ ， 2 2 ∵a>0，b>0. a2＋b2 a＋b ∴ ≥ . 2 2
例2 若 a、b、m、n 都为正实数，且 m
＋n＝1，试证明 ma＋nb≥m a＋n b.
【思路点拨】 因两端为正数，且带有根号，
故从题目特点出发，先比较其平方的大小， 再利用不等式性质得出结论．
【证明】 n b)2
∵ ( ma＋nb )2 － (m a ＋
＝ma＋nb－m2a－n2b－2mn ab ＝m(1－m)a＋n(1－n)b－2mn ab ＝mn( a－ b)2≥0， 且 ma＋nb>0，m a＋n b>0， －b4≤4a3(a－b)． 【名师点评】 作差法比较大小的关键是变 形环节，通常采用因式分解法和配方法，特 别是对两个多项式的大小比较．
变式训练1 若a，b∈R，试比较a2 ＋b2 与 2(a－b－1)的大小． 解：a2 ＋b2 －2(a－b－1)＝a2 －2a＋1＋b2 ＋ 2b＋1 ＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0， ∴a2＋b2≥2(a－b－1)．
第二讲
证明不等式的基本方法
一
比较法
学习目标
一 比 较 法
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标 1.掌握证明不等式的比较证明法、作差比较
法、作商比较法；
2．会运用比较法解决不等式的实际问题．
课前自主学案
比较法证明不等式可分为差值比较法和商值 比较法
a－b>0 (1)要证明a>b，只要证明_______；要证明 a－b<0 a<b，只要证明_______，这种证明不等式的 方法，叫做差值比较法． a >1 b (2)要证明 a>b>0，只要证明____；要证明 a <1 b b>a>0，只要证明____，这种证明不等式的
解：∵c 是直角三角形的斜边长，a，b 是直角边长， a b ∴a＋b>c,0<c <1,0<c <1，且 a2＋b2＝c2， a3＋b3 a3 b3 a2 b2 ∴ 3 ＝c ＋c <c ＋c c a2＋b2 ＝ 2 ＝1， c a3＋b3 即 3 <1，故 a3＋b3<c3. c