图论习题一

离散数学图论部分综合练习辅导

图论作为离散数学的一部分，主要介绍图论的基本概念、理论与方法。教学内容主要有图的基本概念与结论、图的连通性与连通度、图的矩阵表示、最短路问题、欧拉图与汉密尔顿图、平面图、对偶图与着色、树与生成树、根树及其应用等。

本次综合练习主要是复习这一部分的主要概念与计算方法，与集合论一样，也安排了五种类型，有单项选择题、填空题，判断说明题、计算题、证明题。这样的安排也是为了让同学们熟悉期末考试的题型，能够较好地完成这一部分主要内容的学习。下面分别讲解。

一、单项选择题 1．设图G 的邻接矩阵为

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡01

1

10010000011100000100

则G 的边数为( )．

A ．5

B ．6

C ．3

D ．4 正确答案：D

上学期的作业中，有的同学选择答案B 。主要是对邻接矩阵的概念理解不到位。我们复习定义：

定义3.3.1 设G =是一个简单图，其中V ={v 1，v 2，…， v n }，则 n 阶方阵A （G ）=（a ij ）称为G 的邻接矩阵．其中各元素

⎪⎩⎪⎨⎧==j

i v v v v a j i j i ij

不相邻或与相邻

与0

1

而当给定的简单图是无向图时，邻接矩阵为对称的．即当结点v i 与v j 相邻时，结点v j 与v i 也相邻，所以连接结点v i 与v j 的一条边在邻接矩阵的第i 行第j 列处和第j 行第i 列处各有一个1，题中给出的邻接矩阵中共有8个1，故有8÷2=4条边。

2．设图G ＝，则下列结论成立的是 ( )．

A ．deg(V )=2∣E ∣

B ．deg(V )=∣E ∣

C ．E v V

v 2)deg(=∑∈ D ．E v V

v =∑∈)deg(

正确答案：C

该题主要是检查大家对握手定理掌握的情况。复习握手定理： 定理3.1.1 设G 是一个图，其结点集合为V ，边集合为E ，则

∑∈=V

v E v ||2)deg(

3．图G 如右图所示，以下说法正确的是 ( ) ． a

b

A．{(a, d)}是割边

B．{(a, d)}是边割集

C．{(d, e)}是边割集

D．{(a, d) ,(a, c)}是边割集

正确答案：C

上学期许多同学选择答案A。主要是对割边、边

割集的概念理解不到位。复习割边、边割集的定义：

定义3.2.9设无向图G=为连通图，若有边集E1 E，使图G删除了E1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称E1是G的一个边割集．若某个边构成一个边割集，则称该边为割边（或桥）

如果答案A正确，即删除边(a, d)后，得到的图是不连通图，但事实上它还是连通的。因此答案A是错误的。

4．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )．

A．e－v＋2 B．v＋e－2 C．e－v－2 D．e＋v＋2

正确答案：A

该题主要是检查大家对平面图的欧拉定理的理解情况。

定理4.3.2（欧拉定理）设连通平面图G的结点数为v，边数为e，面数为r，则下列欧拉公式成立．

v-e+r =2

5．无向图G存在欧拉通路，当且仅当( )．

A．G中所有结点的度数全为偶数

B．G中至多有两个奇数度结点

C．G连通且所有结点的度数全为偶数

D．G连通且至多有两个奇数度结点

正确答案：D

上学期许多同学选择答案C。主要是将题中的“欧拉通路”误认为“欧拉回路”了。其实应该运用定理4.1.1进行选择，才是正确的。复习定义和定理：定义4.1.1给定无孤立结点图G，若存在一条路经过图G的每条边一次且仅一次，则该路称为欧拉路；

若存在一条回路经过图G的每条边一次且仅一次，在该回路称为欧拉回路；

……

定理4.1.1无向图G具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的，且有零个或2个奇数度数的结点．

推论一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，并且它的结点度数都是偶数．

所以，正确答案应该是D．

6．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树．

A ．1m n -+

B ．m n -

C ．1m n ++

D ．1n m -+

正确答案：A

上学期许多同学选择答案D 。主要是把定理5.1.1给出的图T 为树的等价定义之一是图T 连通且e=v -1中的公式用错了．大家只要把m 代入公式e=v -1中的e ，把n 代入公式e=v -1中的v ，可以知道答案A 是正确。 定理5.1.1 给定图T ，则以下关于图T 为树的定义等价． （1）无回路的连通图．

（2）无回路且e=v-1，其中e 是边数，v 是顶点数． （3）连通且e=v-1．

（4）无回路，但增加任一新边，得到且仅得到一个回路． （5）连通，但删去任一边后图便不连通．（v ≥2）

（6）每一对顶点之间有且仅有一条路．（v ≥2）

定理5.1.1的六个等价定义，大家应该熟记的．最主要的是：无向简单图G 是棵树，当且仅当G 连通且边数比结点数少1．

二、填空题

1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 ． 应该填写：15

主要检查大家对握手定理掌握的情况。

定理3.1.1（握手定理） 设G 是一个图，其结点集合为V ，边集合为E ，则

∑∈=V

v E v ||2)deg(

因为图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，即∑∈=⨯+⨯+⨯+⨯=V

v v 3044332211)deg(，所以边数有152/30==E 。

问：若无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分 支点各一个，那么T 的树叶数为多少？

2．设给定图G (如右图所示)，则图G 的点割集是 ． 应该填写：{f }，{c ，e }

上学期许多同学填错答案主要对点割集的概念理解 不正确。

定义3.2.7 设无向图G =为连通图，若有点集V 1⊂V ，使图G 删除了V 1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V 1的任何真子集后，所得的子

图是连通图，则称V 1是G 的一个点割集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为割点．

ο ο ο

ο ο c a b

e d

ο f