归纳推理(秦青青)

3,提问 13
3
2 3 ...... ? n
3 3 3
1 11
3 3
3 3 3
2
2
2
1 2 9 (1 2)
1 2 3 36 (1 2 3)
3 3 3 3
1 2 3 4 100 (1 2 3 4)
2
4、由下图可以发现什么结论？ 1+3=4=22，
an 1 an
（n=1 , 2 , …),试求出这个数列的通项公式.
an 解：分别把n=1,2,3,4代入 an 1 得 1 an 1 1 1 1 a2 , a3 , a4 , a5 2 3 4 5
1 归纳: a n n
解法2 取倒数得
1 1 1 an 1 an
n=1时, n=2时, n=3时,
2
1
3
f (1) 1 f (2) 3 f (3) 7 f (2) 1 f (2) n=4时, f (4) 15 f (3) 1 f (3) n1 1, 归纳: f (n) 2 f (n 1) 1, n 2
(1810 ) (310 ) 6 10 (年）（ 6000 亿年）
18 7 11
归纳推理的一般步骤：
观察、分析 概括、发现规律 猜测一般性结论
练习：
1
数列 {a1} 的子集个数有 2个 数列 {a1 , a2 } 的子集个数有 4个 数列 {a1 , a2 , a3} 的子集个数有
2 1 5, 2 1 17, 23 24 2 1 257, 2 1 65537 ,
21 22
都是质数
猜想： 1是质数. 2
2n
半个世纪之后，欧拉发现：
2 1 4294967297 641 6700417
25
后来人们发现 2 1,2 1,2 1都是合数.
• 第二章 推理与证明
第一课时（ 归纳推理） 康杰中学教学一部 秦青青
一 教材分析
第二章主要讲推理与证明，教材的设计是对“观察发现、 归纳类比、抽象概括、演绎证明”等数学思维方法的总结 与归纳，使已学过的数学知识和思想方法系统化，明晰化。 归纳推理作为第二章第一节第一课时，它所蕴含的数学思 想贯穿于高中数学的整个知识体系，但作为一节内容出现 在高中数学教材中尚属首次。归纳推理是新课标教材的亮 点之一，本节内容对归纳推理的一般方法进行了必要的归 纳和总结，同时也对后继知识的学习起到了引领的作用， 教材紧密结合了已学过的数学实例和生活实例，以及大数 学家的猜想，避免了空泛地讲数学思想、方法；如果学生 掌握了这些方法，并能够在今后有意识的使用它们，不仅 能培养其言之有据，论证有理的思维习惯，而且对开发学 生创新性思维，为社会培养创新型人才都有很强的现实意 义.
下 课
作业：P37A第1、2、4、5 题、B组第1题.
P48A组第1、2、3题、 B组第1题.
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的
全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出
一般性的结论的推理,这样的推理称为归纳推理(简称归
纳).简言之，归纳推理是由部分到整体，由特殊到一般
的推理.
你能举出归纳推理 的例子吗?
教师举例
对自然数n，考查 n n 0 1
2
n 11 2 n n 11
一，情境引入 情景一 猜职业
（1）吃饭快，走路快，腰板挺直，具有顺从倾向
（2）话峰尖锐，不拐弯抹角，善于抓住别人说话的弱点 人们常说酸儿辣女是怎么得到的呢？
大雁低飞，蚂蚁搬家表明了什么呢？
你听过狼来了的故事吗？那觉得人们在听到放羊的 小孩呼救的时候为什么都不出来帮忙呢？
a 情景二已知数列{an}的第1项a1=1，且 n 1
②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或b≠d),
则由①式减去②式可得上述两圆的对称bach Conjecture)
目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年证 明的，称为陈氏定理 ：“任何充分大的偶数都是一 个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的 乘积。” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 2n p “1 + 2 ”的形式1 p2 p3 。
二 教学目标
1，知识与技能目标 理解归纳推理的概念，了解归纳推理的作用 ； 掌握归纳推理的一般步骤，会利用归纳进行一些简单的归 纳推理 ； 体会归纳推理在数学发现中的作用。
2，过程与方法目标
通过探究、研究、归纳、总结等方式，使归纳推理全方位 地呈现在学生面前，让学生了解数学不单是现成结论的体系， 结论的发现也是数学的重要内容，从而形成对数学较为完整 的认识；培养学生发散思维能力，充分发掘学生的创新思维 能力。 3，情感、态度与价值观
1+3+5=9=32，
1+3+5+7=16=42， ……
由此猜想:前n个连续的奇数的和 等于n的平方,即 1+3+5+…+(2n-1)=n2
a 5：在数列an 中，1 1, an1
2an n N* , an 2
猜想这个数列的通项公式？
解析：先由学生计算：
2 1 2 2 2 a2 , a3 , a4 , a5 3 2 4 5 6
观察下列等式
3+7=10， 10=3+7 ，
3+17=20， 20=3+17， 13+17=30， 30=13+17. 归纳出一个规律：
偶数=奇质数+奇质数
通过更多特例的检验, 从6开始,没有出现反例.
任何一个不小于6 的偶数都等于两个 奇质数的和.
2n p1 p2 (n N , n 3)

大胆猜想:
每幅地图可 以用四种颜色着 色，使得有共同 边界的相邻区域 着上不同色. 1852年，英国人弗南西斯·格思里为地图着色 时，发现了四色猜想. 1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在两台计算 机上，用了1200个小时，完成了四色猜想的证明.
归纳推理的几个特点;
1.归纳推理是由部分到整体，由特殊到一般的
特殊
8个
数列 {a1 , a2 , a3 , a4 }的子集个数有16个 数列 {a1 , a2 ,...an }的子集个数有 n 个
2
2 三角形的内角和是 180, 凸四边形的内角和是 360, 540 … 凸五边形的内角和是
一般
(n 2) 180 . 由此我们猜想:凸边形的内角和是
11 11 都是素数
2 3
4 5 6
13 17 23 31 41
结论：对所有的自然数n，n2 n11 都是质数.
请看大数学家们著名的归纳猜 想结论。
著名 猜想
哥德巴赫，德国数学家。 1742年6月7日，他在 写给著名数学家欧拉 的一封信中，提出了 两个大胆的猜想： 1、任何不小于6的偶数， 都是两个奇质数之和： 2、任何不小于9的奇数， 都是3个奇质数之和. 这就是数学史上 著名的“哥德巴赫猜想”
点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它 们之间的关系.
多面体
三棱锥
四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体
面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 4 5 6 6 8 9
正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔
多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体
面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 6 6 8 4 5 6 6 8 6 6 8 9 10 12 12
渗透数学文化，激发学习兴趣，让学生感受数学的文 化价值，增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维。
三、教学重、难点
重点：归纳推理思想方法的理解和运用 难点：体会并认识到归纳推理在数学发现 和科学发现中的作用
四、教法、学法
启发式教学。以问题驱动为指导，通过不断提出问题，研 究问题，解决问题，使学生获得知识，完成教学。 给学生创造一个开放、有活力、有个性的数学学习环境。 感受数学美和发现规律的喜悦，激励学生更积极的去寻找规 律、认识规律。同时让学生感受到只要做个有心人，发现规 律并非难事。 以学生熟悉的例子为载体，引导他们提炼、概括归纳推理 的含义和归纳推理的方法，自然合理的提出问题，让学生体 会数学来源于生活，创造和谐积极的学习气氛。让学生通过 直观感知、观察分析、归纳推理，形成由浅入深、由易到难、 由特殊到一般的思维飞跃，并借助例题说明在数学发现的过 程中应该如何应用归纳推理。
有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规 则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动一个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 试推测:把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要 移动多少次?
2
1
3
n=1时,
f (1) 1
2
1
3
f (1) 1 n=2时, f (2) 3
n=1时,
2
1
3
f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 7
n=1时,
2
1
3
f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 3 1 3 f (2) 1 f (2)
n=1时,
2
1
3
f (1) 1 f (2) 3 f (3) 7 f (2) 1 f (2) n=4时, f (4) f (3) 1 f (3) 15
推理.
2.归纳推理的前提是部分的，个别的事实，因此归 纳推理超出了前提所界定的范围，因而结论具有猜 测性. 3.归纳推理的前提是个别性的，特殊性的事实，因 此归纳推理要在观察和实验的基础上进行。 4，归纳推理能发现新事实，获得新结论，是作出科 学发现的重要手段。
例1:数一数图中的凸多面体的面数F、顶
26 27 28
新的猜想： 形如 2
2n
1（ n 5 ） 的数都是合数.
正如大数学家高 斯所说：“没有 大胆而放肆的猜 想就谈不上科学 的发现
应用归纳推理可以 发现新事实,获得新结论!
小结
1.什么是归纳推理（简称归纳）? 部分 → 整体
个别 → 一般
2.归纳推理的一般步骤: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的 一般性命题(猜想).
其中一根木桩上套有64个金属做的圆盘,圆盘的尺寸由上到 下一个比一个大，这就是所谓“梵塔”.现在有一位高僧正 在把这些圆盘在三根木桩上移来移去,一次只能够移一个， 而且不管什么时候，较大的圆盘都必须放在较小的圆盘的 下面,当他把64个圆盘从原来的木桩上移到另一根木桩上的 时候，就是“世界末日”到了,那一天，宇宙将在一声巨大 的霹雳声中毁灭，梵塔、宇宙、高僧以及芸芸众生都将同 归于尽.
2 (n N * ) 归纳：an n 1
(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴 方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推 广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应 成为所推广命题的一个特例,推广的命题为：
设圆的方程为①(x-a)2+(y-b)2=r2与
n=1时, n=2时, n=3时,
f (n) 2 1
n
1、通项公式的归纳 2、递推公式的归纳
a64 2 1 1810
64
18
按1秒钟搬动一次，而且整年整月都不停息， 1年可搬：
365 24 60 60 31536000 310 (次）
7
所以，搬运的时间大约需要：
正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔
猜想 F+V-E=2
多面体
三棱锥
欧拉公式
4 5 6 6 8 6 10 10 9 6 8 9 10 12 12 15 15 16
面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5
5 6 6 8 7 7 9
四棱锥
三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体
五棱柱
截角正方体 尖顶塔
例3 在印度北部的佛教圣地贝拿勒斯的圣庙里有三根木桩，