一类非光滑非凸优化问题的神经网络方法
求解一类奇异非线性凸优化问题的神经网络方法
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐａ ｐ ｅ ｒ ，ａ ｎ ｏ ｖ ｅ ｌ ｎ ｅ ｕｒ ａ ｌ ｎ ｅ ｔ ｗｏ ｒ ｋ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｆ ｏ ｒ ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎｇ ｓ ｉ ｎ ｇ ｕｌ ａ ｒ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｘ ｏ ｐ ｔ ｉ －
非 线 性 凸 优 化 问 题 的 神 经 网 络 模 型 。Ｘ ｉ ａ和 Ｗａ ｎ ｇ 。 。 成 功地 建 立 了几 个 解 决线 性 及 二 次 凸
ｔ ｈ ｅ ｅ ｆｅ ｃ ｔ ｉ ｖ ｅ ｎｅ ｓ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄ ｎ ｅ ｕｒ ａ ｌ ｎｅ ｔ ｗｏ ｒ ｋ ｍｏ ｄ ｅ １ ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ：ｎ ｅ ｕ ｒ ａ ｌ ｎ ｅ ｔ ｗｏ ｒ ｋ ｓ； ｓ ｉ ｎ ｇ ｕ ｌ ａ ｒ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｃ ｏ ｎｖ ｅ ｘ ｏ ｐ ｔ ｉ ｍｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ； ｉ ｎ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｎ ｃ ｅ ｐ ｉｎ ｒ ｃ ｉ ｐ ｌ ｅ；
中 图分 类 号 ： Ｏ ２ ２ １ ． ２ 文 献标 志码 ： Ａ
Ｍ ｏ ｄ ｉ ｉｅ ｆ ｄ Ｎｅ ｕｒ ａ ｌ Ｎｅ ｔ ｗｏ ｒ ｋ Ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｆ ｏ ｒ Ｓｏ ｌ ｖ ｉ ｎｇ ａ Ｓ ｉ ｎｇ ｕ ｌ ａ ｒ Ｎｏ ｎ ｌ ｉ ｎｅ ａ ｒ Ｃｏ ｎｖ ｅ ｘ Ｏｐｔ ｉ ｍｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｐｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍｓ
文章 编 号 ： １ ０ ０ ９—３ １ ５ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ０ １ — ０ ０ ０ ２— ０ ４
求 解一 类奇 异 非 线 性 凸优 化 问题 的 神 经 网络 方 法
葛仁 东 ， 刘 力 军
神经网络优化算法的设计和分析
神经网络优化算法的设计和分析神经网络作为一种人工智能技术，已经被广泛应用于各种领域，如图像识别、自然语言处理、机器翻译等等。
神经网络的优化算法是决定其性能的关键因素之一，因此对于神经网络优化算法的设计和分析具有重要的意义。
一、神经网络优化算法的目标和挑战神经网络优化算法的主要目标是寻求网络中权重和偏置的最优解，使得网络的输出与真实值尽可能接近。
然而，由于神经网络具有多个层和大量的连接，其优化过程变得十分困难。
具体挑战包括以下几点：1. 高维度：神经网络的权重和偏置通常是高维的，这就意味着对于优化算法的可行性和效率提出更高的要求。
2. 非凸性：神经网络优化问题是一个非凸的问题，存在多个局部最优解，因此需要设计算法使其能够找到全局最优解。
3. 噪声影响：神经网络优化过程中会存在一定的噪声干扰，如数据噪声、网络结构噪声等，这可能影响优化的效果。
二、常见的神经网络优化算法常见的神经网络优化算法包括梯度下降法、共轭梯度法、牛顿法等。
在实际应用中，这些算法通常会结合其他技术进行改进和优化。
1. 梯度下降法梯度下降法是一种常见的优化算法，在神经网络中被广泛使用。
该算法的基本原理是根据损失函数的梯度方向来更新权重和偏置。
梯度下降法的优点是收敛速度较快，但需要注意的是，该方法容易陷入局部最优解。
2. 共轭梯度法共轭梯度法通过选择共轭的搜索方向，降低了搜索的方向数，从而提高了算法的效率。
由于共轭梯度法考虑了梯度的方向性，因此可以有效地避免梯度下降法的局部最优解问题。
3. 牛顿法牛顿法是一种基于牛顿迭代的优化算法，在神经网络中被广泛使用。
该算法通过二次近似估计函数曲线来更新权重和偏置，因此具有一定的快速性和性能，但对于计算量较大的网络，牛顿法的效率可能较低。
三、深度优化和自适应算法为了有效地解决神经网络优化中的挑战和问题，一些新的深度优化和自适应算法不断涌现。
这些算法具有更加复杂的设计和实现方式，并且包含了更多的在线性和非线性搜索技术。
拉格朗日神经网络解决带等式和不等式约束的非光滑非凸优化问题
拉格朗日神经网络解决带等式和不等式约束的非光滑非凸优化问题喻昕;许治健;陈昭蓉;徐辰华【摘要】Nonconvex nonsmooth optimization problems are related to many fields of science and engineering applications, which are research hotspots. For the lack of neural network based on early penalty function for nonsmooth optimization problems, a recurrent neural network model is proposed using Lagrange multiplier penalty function to solve the nonconvex nonsmooth optimization problems with equality and inequality constrains. Since the penalty factor in this network model is variable, without calculating initial penalty factor value, the network can still guarantee convergence to the optimal solution, which is more convenient for network computing. Compared with the traditional Lagrange method, the network model adds an equality constraint penalty term, which can improve the convergence ability of the network. Through the detailed analysis, it is proved that the trajectory of the network model can reach the feasible region in finite time and finally converge to the critical point set. In the end, numerical experiments are given to verify the effectiveness of the theoretic results.%非凸非光滑优化问题涉及科学与工程应用的诸多领域,是目前国际上的研究热点.该文针对已有基于早期罚函数神经网络解决非光滑优化问题的不足,借鉴Lagrange乘子罚函数的思想提出一种有效解决带等式和不等式约束的非凸非光滑优化问题的递归神经网络模型.由于该网络模型的罚因子是变量,无需计算罚因子的初始值仍能保证神经网络收敛到优化问题的最优解,因此更加便于网络计算.此外,与传统Lagrange方法不同,该网络模型增加了一个等式约束惩罚项,可以提高网络的收敛能力.通过详细的分析证明了该网络模型的轨迹在有限时间内必进入可行域,且最终收敛于关键点集.最后通过数值实验验证了所提出理论的有效性.【期刊名称】《电子与信息学报》【年(卷),期】2017(039)008【总页数】6页(P1950-1955)【关键词】拉格朗日神经网络;收敛;非凸非光滑优化【作者】喻昕;许治健;陈昭蓉;徐辰华【作者单位】广西大学计算机与电子信息学院南宁 530004;广西大学计算机与电子信息学院南宁 530004;广西大学计算机与电子信息学院南宁 530004;广西大学电气工程学院南宁 530004【正文语种】中文【中图分类】TP183作为解决优化问题的并行计算模型，递归神经网络在过去的几十年里受到了极大的关注，不少神经网络模型被提出。
非光滑凸优化问题的二层递归神经网络(英文翻译)
是凸性的，则：
1) 在凸分析的意义上， f 在 x 处的 Clarke 次微分与 f 在 x 处的次微分 同时发生，i.e., f x0
n
: f x0 f x , x0 x , x
n
；
2) f ( ) 是极大单调的， i.e., x x0 , 0 0 f x , 0 f x0 ； 3) f ( ) 是上半连续的； 定义 2.2：f 在已知的 x 处是周期的,对所有的 存在；对所有
n
是周期的并且在任意紧密区间
n
是绝对连续的，，则 x t 和 V x t ：[0, )
是可微的，并且
V x t , x t V x t
对于 a.e. t [0, )
不失一般性 ，本文中我们假设非线性规划（1）至少有一个最优解。接下来介绍 非线性规划（1）中非光滑 KKT 条件。根据[28,Th.1]，有以下根据： 引理 2.2：令 f 和 g 是凸性的，则 x* 是非线性规划（1）中的最优解，当且 仅当 *
条件， 我们证明了本文提出的神经网络的稳定性。 在本文章我们仅仅假设(1)中的
f 和 g 是凸形的，这是凸优化问题基本的假设。同时，(1)式中的 A 经过初等行变
换可以变成一个行满秩矩阵并且保持等式约束 Ax b 不变。因此不失一般性，我 们假设 A 是一个行满秩矩阵。 文章的其余部分内容如下：第二部分中，我们做了一些预备工作并且为(1) 中的问题给出了 Karush–Kuhn–Tucker(KKT)条件；第三部分，我们将介绍一个 简单的神经网络并证明所提出的神经网络的平衡点集等价于(1)中非光滑凸优化 问题中 KKT 最优集，然后，在第四部分研究了所提出的神经网络的收敛性分析； 第五部分，我们将用两个例子来阐述我们的结果；最后徐，在第六部分为本文的 小结。
拉格朗日神经网络解决非凸优化问题
１ ∽ ｅ ｃ ｔ ｔ ｏ ｛
了初始条件缺失的的限制 ，易实现 ，同时对于
非 凸 且 非 光 滑 的 情 形 ，给 出 了光 滑 化 的 处 理 方
这里 ，Ｃ 是标量 ，１ ． Ｉ 代表欧几里得范式 。 若ｘ 是优化 问题 的最 小点 ，则 ｈ （ ｘ ） ＝ ０ ，因此
定 点就 是 优 化 问题 局 部 或整 体 最优 解 。基 于 拉
格 朗 日 乘 子 理 论 ，Ｚ ｈ ａ ｎ ｇ和 Ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ａ ｎ ｔ ｉ ｎ ｉ ｄ ｅ ｓ提 Ｓ ｌ
出了拉格 朗 日神经 网络解 决非线性规 划问题 ， 这种方法通过把 约束整 合到一个修 正函数 中来 处理约 束，避 免了计 算上的困难。然而应用拉 格 朗 日神经网络解决的优化 问题多为光滑和凸 优 化问题，本文介绍 了拉格朗 日神经网络解决
效性及正确性 。
Ｓ ＝Ｓ１ ｎ Ｓ ２ 。
定义 １ ： 设
一 Ｒ是 非 光 滑 连 续 函数 ，
若 函 数 ，（・ ， ∞ ） 满 足 条件 ：对 于 任 意 给定 的
∞ ＞ ０ ，， （・ ， ∞ ） 在 连 续 可 微 ，并 且 对 于 任 意
给定的Ｘ Ｅ Ｒ ， ｆ （ ｘ ， ・ ） 在 （ 即 【 ｏ ， ＋ ） ） 可微，
粤： ｖ （ ， 五 ， ） ＝ ＾ （ （ ｒ ） ） ． ！ ｝ ＝ 工 （ ‘ ， ） ＝ ｇ （ （ ｆ ） ）
上 述 增 广 拉 格 朗 日神 经 网 络 模 型 中 参 数 Ｃ
１预备知识
本 文 考 虑 如下 的优 化 问题 ：
作用：凸化 目标函数 ，当参数 ｃ足够大时，可
以使 优 化 问 题 满 足 局 部 凸 性 ； 加 快 网 络 轨 迹 的
一类非凸优化问题的 UV-分解方法
一类非凸优化问题的 UV-分解方法王炜;刘洪莹;王超楠【摘要】对于非光滑优化问题的研究往往从非光滑函数的本身出发，未曾考虑其特有的结构，即函数本身可能包含光滑部分．U V-分解理论是借助于凸函数中的光滑信息得到函数的光滑近似进而解决凸优化问题的一种新的方法，而Bundle方法是处理某些非光滑无约束优化问题的可执行算法．考虑到2种方法的各自特点，将这2种方法相结合，针对由非光滑的凸函数与光滑的非凸函数的和函数构成的一类函数进行研究，并借助于下半连续函数的迫近次微分，得到这类函数的UV-空间分解，U-Lagrange函数的一些性质，给出了结合Bundle方法的UV-分解算法，用于求解所研究函数的极小化问题，并证明了算法的收敛性．%T he currently available algorithms to solve the nonsmooth constrained minimization prob-lems pay mostly more attention to nonsmoothness (nondifferentiability ) in the problems ,without taking the special feature certained structural properties of the problem itself into consideration , which possess a certain smoothness (differentiability) .An effective method for solving convex opti-mization problems is the UV-decomposition theory ,and some nonsmooth unconstrained nonlinear programming problems can be solved by the Bundle method .Combining these two methods ,we can handle a class of functions ,w hich are constituted by a nonsmooth convex function and a smooth non-convex function .Using the proximal subdifferential of lower semi-continuous function and an UV-de-composition method ,some properties will be obtained .Then the UV-decomposition algorithm combi-ning with the Bundle method will be shown ,meanwhile ,the convergence will be solved .【期刊名称】《辽宁师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)004【总页数】6页(P433-438)【关键词】非光滑优化;凸函数;UV-分解理论;Bundle算法【作者】王炜;刘洪莹;王超楠【作者单位】辽宁师范大学数学学院，辽宁大连116029;辽宁师范大学数学学院，辽宁大连 116029;辽宁师范大学数学学院，辽宁大连 116029【正文语种】中文【中图分类】O221.2由C.Lemaréchal,F.Oustry和C.Sagastizábal(2000年)[1]等提出的UV-空间分解理论是一种研究非光滑凸函数二阶近似结构的方法，其主要思想是将空间n分解成2个正交子空间U和V的直和，使函数在空间U上的一阶逼近是线性的，而其不光滑特征集中于V中，借助于一个中间函数——U-Lagrange函数，进而得到函数在切于U的某个光滑轨道上的二阶展式.针对实际问题中某些非凸的约束优化问题，经过适当的变化可以转化为形如的无约束优化问题，但由于函数是非凸的，故不能直接地应用UV-分解理论来得到其二阶近似，笔者借助于迫近次微分，得到这类函数的UV-空间分解,U-Lagrange函数的一些性质，结合Bundle方法给出求解此类优化问题的UV-分解算法.考虑函数其中，h1(x)是有限值非光滑凸函数，h2(x)是有限值光滑函数.由于和函数f(x)往往是非凸函数，因此借助于函数的迫近次微分给出UV-空间分解.定义1.1[2] 向量ξ∈n称为函数f在点x∈domf的一个迫近次梯度(或P-次梯度)，如果这里是epif在点(x,f(x))的迫近法锥.所有这样的点ξ∈n所成的集合称为f在点x∈domf的迫近次微分，或P-次微分，记为∂Pf(x).性质1.1[2] 设是下半连续函数，x∈domf，则ξ∈∂Pf(x)当且仅当存在正数σ和η，使得性质1.2 设函数f形如式(1)，如果在B(x,η)中h2(x)∈C2，则给出空间如下的UV-分解.定义1.2 设函数形如(1)，定义n的子空间V平行于所生成的仿射包，即U:=V⊥，其中是任意的.定理1.1 如上定义的空间U,V有如下等价形式：(i)U是使方向导数为线性函数的子空间，V:=U⊥.由于是次线性的，所以有(ii)定义U和V分别为在点g°处的法锥和切锥(见文献[3])，即其中是任意的.并且U满足如下关系式：定义1.3 (U-Lagrange函数)设⊕是半正定的为子空间U的一个基矩阵定义式(1)中的函数f(x)的U-Lagrange函数如下：在V-空间中相伴的最优解集为定理1.2 设函数f(x)如式(1)定义的，则下列结论成立:(i)式(3)所定义的函数是有限值凸函数;(ii)0∈W(0),且在u=0处是可微的，并且有定理1.3 如果函数⊕在u=0处有一个广义Hessian阵H1，则对u∈U，f有如下的二阶展开式这里，x∈u⊕).2.1 UV-算法在文献[4]中，利用原始对偶轨道、迫近点函数，结合束方法给出了UV-空间分解算法，用来求解凸函数极小化问题.下面将借助于非凸函数的UV-空间分解，给出求解问题(P)的极小化问题的算法.定义2.1[4] 设是f的极小值点，称(χ(u),γ(u))是通向的原始对偶轨道，如果对足够小的u∈dimU,原始轨道：对偶轨道：满足以下条件：(i)v:dimU→dimV是C2函数，且对所有的有v(u)∈W(u);(ii)雅可比矩阵Jχ(u)是V(χ(u))⊥的基矩阵;(iii)U-Lagrange函数LU(u,-g′)是C2函数.定义2.2[5] 函数f的迫近点函数定义如下：命题2.1[6] (i)gμ(x):=μ(x-pμ(x))∈∂Pf(pμ(x));(ii)若是f的极小值点，则且‖‖2≤‖‖2-‖x-pμ(x)‖2.UV-分解算法：初始化：选取参数n是初始点，g0∈∂Pf(p0)是初始的迫近次梯度，U0是近似U 空间的n维列正交的基矩阵，置s0:=g0，k:=0.停止准则：‖sk‖2≤ε.U-Hessian阵：选取一个nk×nk的正定矩阵Hk，其中,nk是Uk的列的个数. 置原始-对偶轨道候选点：选取初始化求解束方法子问题，重复计算：直到满足其中,(ρ/μ-2σB)=(ρk+1/μk+1-2σk+1).令生成新迭代点：若则点是一个好的迭代点，并且令否则在pk与之间执行线搜索来找到xk+1，使其满足f(xk+1)≤f(pk)，重新初始化B,令x=xk+1，重新执行上述的束方法子程序，来找到新的然后令).循环：k=k+1，直到满足停止准则.2.2 束(Bundle)方法子问题给定一个偏差迫近参数μ>0，迫近中心x∈n，来寻找pμ(x)的一个σ-近似.束方法子问题的束信息为其中,B是一个指标集，包含一个指标j，使得yj=x.记线性误差记为：由于函数f是非凸的，故ei有可能小于0，但由于求解的是极小化问题，所以对于ei<0的yi舍去不要.由gi∈∂Pf(yi)，由性质1.1有，∃σi>0,ηi>0,∀x∈B(yi,ηi)使当σ≥σi时，上式均成立.令同理,∃使假设序列有界，记为σB,结合上面2个式子可以得到：由于x∈B(yi,ηi)，z∈B(yi,ηi)，所以有‖z-x‖≤2ηi，而当x充分接近yi时，‖x-yi‖就可以充分小，就会得到从而相应的束信息变为定义函数则问题的对偶问题为它们的解分别记为且满足以下关系式：为方便起见，将结果简记为：更新数据.相应的新的指标为i+，让计算同时取).由于是可利用的，因此在点处，能计算出V模型的精确误差通过解决下面的二次规划问题来得到对偶轨道点的近似，记为二次规划问题与如下指标集有关：‖p-x‖2-2εi}∪{i+}.二次规划问题为：它的对偶问题为：它们的解分别记为和满足空间n的基矩阵的构造，要使得的列是正交的因此，定义一个非空的紧的指标集，}.则由式(5),对所有的有故对某个固定的对所有的都有通过选择满足式(6)的最大的指标i来定义一个列满秩的矩阵相应的线性无关的向量gi-gl构成它的列向量.矩阵的列向量是由的零空间的正交基构成的，同时，若V={0}，则为了方便，将其结果简记为：若则束方法子问题终止，并称为pμ(x)的一个ρ-近似；否则，上述的B将由所代替，通过解决新的子问题来得到新的迭代数据.2.3 算法的收敛性定义2.3 设ε>0，若∃η>0，使得∀z∈B(x,η)，都有f(z)≥f(x)-ε，则称x是函数f 的局部ε-极小值点.引理2.1 上述问题每一步迭代的结果为且则有以下结论成立：(i)对所有的若是空的，则(v)‖‖≤‖‖，其中；除此之外，若对任意的m∈(0,1)，满足式(7),可得到定理2.1 对于算法，有如下结果：(i)假设束子问题不终止，即式(7)不成立，则序列并且pμ(x)是函数f的局部ε-极小值点;(ii)若当时，束方法子问题终止，则也是函数f的局部ε-极小值点；(iii)在上述2种情况下均有pμ(x)-x∈V(pμ(x)).定理2.2 假设算法产生的序列都有界，分别取上界记为μ,σ，其中，μ>σ，则下列结论成立：(i)序列{f(pk)}是递减的，并且有f(pk)→-∞，或者都收敛于0;(ii)若f是下有界函数，则的任一聚点是函数f的局部ε-极小值点.定义2.4 若并且相应的U-Lagrange函数LU(u,-g′)在u=0出的Hessian是正定的，则称是f的强极小值点.推论2.1 假设是f的强极小值点，算法产生的序列的上界为则(k→∞).进一步，若有界，则和都收敛到收敛到0.(1)凡是可以使用阿拉伯数字且得体的地方，均应使用阿拉伯数字.(2)日期和时刻的表示方法：a.公历世纪、年代、年、月、日和时刻用阿拉伯数字.年份不能简写，如1993年不能写成93年.b.日期可采用全数字式写法，如1993-02-18或1993 02 18或19930218.c.日的时刻表示可用GB 2809的规定写法，如15时9分38.5秒写作15：09：38.5或150938.5.(3)阿拉伯数字的使用规则：a.多位的阿拉伯数字不能拆开转行.b.计量和计数单位的数字必须用阿拉伯数字.c.小数点前或后若超过4位数(含4位)，应从小数点起向左或向右每3位空出1/4个字长，不用千分撇“′”.d.尾数“0”多的5位以上数字，可以改写以万和亿为单位的数.一般情况下不得以十、百、千、十万、百万、千万、十亿、百亿、千亿等作单位(百、千、兆等词头除外)，如1 800 000可写成180万.【相关文献】[1] LEMARÉCHAL C,OUSTRY F,SAGASTIZBAL C. The U-Lagrangian of a convexfunction[J].Trans Amer Math Soc,2000，352(2)：711-729.[2] CLARKE F H,LEDYAEV Y S,STERN RJ，et al. Nonsmooth analysis and controltheory[M].Berlin,Heidelberg:Springer-Verlag,1998:4-39.[3] ROCKAFELLAR R T,WETS R J-T. Varitional analysis[M].Berlin,Heidelberg:Springer-Verlag,1998.[4] MIFFLIN R,SAGASTIZBALC.A VU-algorithm for convex minimization[J].Math Programming Ser B,2005,104:583-608.[5] CORREA E,LEMARÉCHAL C.Convergence of some algorithms for convex minimization[J].Math Program,1993,62(2):261-275.[6] ROCKAFELLAR R.Monotone operators and the proximal point algorithm[J].SIAM Journal on Control and Optimization,1976,14:877-898.。
非光滑凸情形Adam 型算法的最优个体收敛速率
DOI : 10.11992/tis.202006046非光滑凸情形Adam 型算法的最优个体收敛速率黄鉴之1，丁成诚1，陶蔚2，陶卿1（1. 中国人民解放军陆军炮兵防空兵学院 信息工程系，安徽 合肥 230031; 2. 中国人民解放军陆军工程大学 指挥控制工程学院，江苏 南京 210007）l 1摘 要：Adam 是目前深度神经网络训练中广泛采用的一种优化算法框架，同时使用了自适应步长和动量技巧，克服了SGD 的一些固有缺陷。
但即使对于凸优化问题，目前Adam 也只是在线学习框架下给出了和梯度下降法一样的regret 界，动量的加速特性并没有得到体现。
这里针对非光滑凸优化问题，通过巧妙选取动量和步长参数，证明了Adam 的改进型具有最优的个体收敛速率，从而说明了Adam 同时具有自适应和加速的优点。
通过求解 范数约束下的hinge 损失问题，实验验证了理论分析的正确性和在算法保持稀疏性方面的良好性能。
关键词：机器学习；AdaGrad 算法；RMSProp 算法；动量方法；Adam 算法；AMSGrad 算法；个体收敛速率；稀疏性中图分类号：TP181 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2020)06−1140−07中文引用格式：黄鉴之, 丁成诚, 陶蔚, 等. 非光滑凸情形Adam 型算法的最优个体收敛速率[J]. 智能系统学报, 2020, 15(6):1140–1146.英文引用格式：HUANG Jianzhi, DING Chengcheng, TAO Wei, et al. Optimal individual convergence rate of Adam-type al-gorithms in nonsmooth convex optimization[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2020, 15(6): 1140–1146.Optimal individual convergence rate of Adam-type algorithms innonsmooth convex optimizationHUANG Jianzhi 1，DING Chengcheng 1，TAO Wei 2，TAO Qing 1(1. Department of Information Engineering, Army Academy of Artillery and Air Defense of PLA, Hefei 230031, China; 2. Command and Control Engineering, Army Engineering University of PLA, Nanjing 210007, China)Abstract : Adam is a popular optimization framework for training deep neural networks, which simultaneously employs adaptive step-size and momentum techniques to overcome some inherent disadvantages of SGD. However, even for the convex optimization problem, Adam proves to have the same regret bound as the gradient descent method under online optimization circumstances; moreover, the momentum acceleration property is not revealed. This paper focuses on nonsmooth convex problems. By selecting suitable time-varying step-size and momentum parameters, the improved Adam algorithm exhibits an optimal individual convergence rate, which indicates that Adam has the advantages of both adaptation and acceleration. Experiments conducted on the l 1-norm ball constrained hinge loss function problem verify the correctness of the theoretical analysis and the performance of the proposed algorithms in keeping the sparsity.Keywords : machine learning; AdaGrad algorithm; RMSProp algorithm; momentum methods; Adam algorithm; AMS-Grad algorithm; individual convergence rate; sparsityAdam 是目前深度学习中广泛采用的一种优化算法[1]。
一类非Lipschitz约束优化的光滑化投影梯度算法
第35卷第1期2018年 2月贵州大学学报（自然科学版）J o u r n a l o f G u iz h o u U n iv e r s ity!N a t u r a l S c ie n c e s)Vol.35 No.1Feb.2018文章编号 1000-5269 ( 2018 # 01 -0009-06D O I ： 10.15958/ki.gdxbzrl〇.2018.01.03一类非Lipschitz约束优化的光滑化投影梯度算法徐柳静，彭定涛'王鑫(贵州大学数学与统计学院，贵州贵阳550025)摘要：本文研究一类具有箱约束的非凸非光滑非Lipschitz最小化模型，它是一类典型的稀疏优 化问题，在图像重建、信号处理、变量选择等领域有广泛的应用。
本文在最优性条件的基础上，提 出了光滑化投影梯度算法对其进行求解，分析了算法的收敛性，通过数值试验验证了算法的有效 性。
关键词：非Lipschitz约束优化；稀疏优化；光滑化投影梯度算法；收敛性中图分类号:〇224 文献标识码：A本文研究如下具有箱约束的Q极小化模型的 有效算法min/(7) = y l l"7-52 + 入1171<，S.t.X " +# )X "R! • / & 7 &R(# (1)其中"""（0，i)，< " (0，1)，117< = %k l<，而/ = (/，…，/…)T " R"，r = (r，i=1…，r!)t " R!满足" R U ) - i +，R" R U ) + i +，且/ &0 < R&当/ =- i 时，X i " [/，R]的含义是X i &R;当R= + i时，X i " [/，R]的含义 是 X ' /;当/ = - i，R= + i 时，X " [/，R]的含义是X%" R&模型（1)是一类典型的稀疏优化模型，其目标函 数含有一个非凸、非光滑、非Lipschitz的正则项|| (因0 j<1，||7< Z x的拟范数），因而是一个非凸、非光滑、非Z p s h i的约束优化，它在图像恢复[1]、信号处理[2]、变量选择[3]等领域有广泛的应用。
半光滑牛顿增广拉格朗日法
半光滑牛顿增广拉格朗日法
半光滑牛顿增广拉格朗日法是一种优化算法，结合了增广拉格朗日方法和半光滑牛顿法的优点，用于解决无约束优化问题。
该方法在处理大规模稀疏优化问题时具有较高的效率和精度，因此在机器学习、图像处理等领域得到了广泛应用。
增广拉格朗日方法是一种惩罚函数法，通过引入一个惩罚项来将约束优化问题转化为无约束优化问题。
在每一步迭代中，增广拉格朗日方法更新解的估计值，并计算目标函数的梯度和约束条件的梯度。
这种方法在处理包含大量约束条件的问题时具有较好的性能。
半光滑牛顿法是一种基于牛顿法的优化算法，用于求解非光滑、非凸的优化问题。
该方法通过构造一个半光滑函数来逼近原问题，并利用牛顿法的性质求解该半光滑函数的临界点。
半光滑牛顿法的优点在于其收敛速度较快，且能够处理大规模的稀疏优化问题。
半光滑牛顿增广拉格朗日法将增广拉格朗日方法和半光滑牛顿法相结合，通过引入一个增广拉格朗日函数来逼近原问题，并利用半光滑牛顿法的性质求解该增广拉格朗日函数的临界点。
这种方法能够充分利用两种方法的优点，提高求解大规模稀疏优化问题的效率和精度。
在实际应用中，半光滑牛顿增广拉格朗日法通常采用迭代的方式进行求解。
在每一步迭代中，算法首先计算目标函数的梯度和约束条件的梯度，然后根据牛顿法的性质求解增广拉格朗日函数的临界点，并更新解的估计值。
通过不断迭代，算法最终收敛到一个最优解。
综上所述，半光滑牛顿增广拉格朗日法是一种有效的优化算法，能够处理大规模稀疏优化问题。
该方法结合了增广拉格朗日方法和半光滑牛顿法的优点，提高了求解问题的效率和精度。
解决一类非光滑伪凸优化问题的新型神经网络
解决一类非光滑伪凸优化问题的新型神经网络
喻昕;林植良
【期刊名称】《计算机科学》
【年(卷),期】2022(49)5
【摘要】对优化问题的研究一直以来深受科研工作者的关注。
非光滑伪凸优化作为非凸优化中的一类特殊问题,频繁出现在机器学习、信号处理、生物信息学以及各类科学与工程领域中,成为学者们研究的重点。
基于罚函数以及微分包含的思想,提出了一种解决带有不等式约束条件和等式约束条件的非光滑伪凸优化问题的新型神经网络方法。
在给定的假设条件下,该神经网络的解可以在有限时间内进入可行域并永驻其中,最终收敛到优化问题的最优解集。
相比其他神经网络模型,该模型具有以下优点:1)结构简单,为单层模型;2)不需要事先计算精确的惩罚因子;3)初始点可任意选取。
在MATLAB环境下,通过数值实验得出,所提网络都能在有限时间内收敛到一个最优解;而用现有的神经网络模型解决同样的优化问题时,若初始点选取不恰当,则会导致状态解不能在有效时间内收敛甚至不能收敛。
这不仅进一步地验证了所提神经网络的有效性,同时也说明其具有更广泛的应用范围。
【总页数】8页(P227-234)
【作者】喻昕;林植良
【作者单位】广西大学计算机与电子信息学院
【正文语种】中文
【中图分类】TP183
【相关文献】
1.拉格朗日神经网络解决带等式和不等式约束的非光滑非凸优化问题
2.一种解决非光滑伪凸优化问题的新型神经网络
3.一种新型解决非光滑伪凸优化问题的神经网络方法
4.递归神经网络方法解决非光滑伪凸优化问题
5.一种新型单层递归神经网络解决非光滑伪凸优化问题
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神经网络模型的训练与优化方法总结
神经网络模型的训练与优化方法总结神经网络模型是人工智能领域中的一项重要技术，它通过模仿人类神经系统的工作原理，实现了学习和识别的能力。
然而，神经网络模型的训练和优化是一个复杂而艰巨的任务。
本文将对神经网络模型的训练与优化方法进行总结与归纳。
一、梯度下降与误差反向传播算法在神经网络的训练过程中，梯度下降与误差反向传播算法被广泛应用。
梯度下降算法通过最小化目标函数来调整网络的权重和偏差，使得网络的输出与期望输出之间的误差最小化。
误差反向传播算法则是将输出误差沿着网络进行反向传播，并根据误差大小来更新权重和偏差。
这两个算法的结合使得神经网络模型能够不断优化，逐渐接近目标。
然而，梯度下降与误差反向传播算法也存在一些问题。
首先，当网络的层数较多时，误差梯度很容易出现梯度消失或者梯度爆炸的问题，导致训练过程无法进行。
其次，误差反向传播算法对于非凸优化问题可能会陷入局部最优解，而无法达到全局最优解。
为了解决这些问题，人们提出了各种改进方法。
二、激活函数的选择与变化激活函数在神经网络模型中起到了非常重要的作用，它将输入信号映射到输出信号，并引入了非线性因素。
传统的激活函数如sigmoid、tanh等，在深层网络中容易出现梯度消失的问题，因此有了一些新的激活函数被提出，如ReLU、Leaky ReLU等。
这些新的激活函数在一定程度上解决了梯度消失的问题，并且能够更好地适应深层网络的训练。
另外，某些情况下改变激活函数也可以带来一些优化效果。
例如，在处理图像数据时，使用卷积神经网络，采用ReLU作为激活函数能够更好地提取图像特征。
而对于文本分类等任务，使用tanh激活函数则效果更好。
因此，在神经网络模型的训练中，选择合适的激活函数以及根据具体任务进行激活函数的变化，对于优化网络模型具有重要意义。
三、正则化与批标准化技术在神经网络的训练中，过拟合是一个常见的问题。
当网络过度拟合训练数据时，其泛化能力会下降，对于新样本的预测效果也会变差。
神经网络求解一类稀疏优化问题
神经网络求解一类稀疏优化问题佚名【摘要】利用近年来应用比较广泛的神经网络算法求解了一类在信号还原中具有广泛应用的非Lipschitz约束优化问题.以非光滑分析与最优化理论为基础,发展和推广非Lipschitz稀疏优化问题的基础理论研究及其与图像还原问题的联系,利用光滑化技术以及投影方法构造了一类优化问题的神经网络,由此证明了所构造的神经网络的解是全局存在且一致有界的.还给出了优化模型的稳定点的定义,并证明了所构造的神经网络解轨线的聚点均为稳定点.利用Matlab软件,进行了数值模拟,并验证了所提出的神经网络算法的性能.【期刊名称】《哈尔滨商业大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(034)006【总页数】5页(P741-744,756)【关键词】非Lipschitz;约束优化;神经网络;稳定点;广义梯度;光滑函数【正文语种】中文【中图分类】O436本文研究如下约束优化模型：(1)其中：A∈Rm×n，b∈Rm，0<p<1.此类非Lipschitz优化模型广泛用于信号还原[1]，非Lipschitz函数的Clarke 广义梯度是不完全存在的，这大大地增加了求解此类问题的困难，另外实际问题的大规模性为设计有效的算法构成了另一障碍.本文以非光滑分析与最优化理论为基础，发展和推广非Lipschitz稀疏优化问题的基础理论研究及其与图像还原问题的联系，一方面丰富非Lipschitz稀疏优化本身的理论与算法研究，另一方面，建立非Lipschitz优化与信号还原问题直接关系.神经网络是求解优化问题具有前景的方法[2-3]，因此本文利用神经网络求解此类优化问题，分析了神经网络求解此类优化问题的性能.1 预备知识列向量x=(x1,x2,…,xn)T和y=(y1,y2,…,yn)T的数量积为为x的第i个元素；表示xi≤yi，i=1,2,…,n；对于Rn一个集合Ω，int(Ω)表示Ω的内部；对于Rn的一个子集U，co(U)表示U的凸包；NΩ(x)是Ω在x点处的法锥；PΩ∶Rn→Ω是Rn到Ω的一个投影算子；diag(x1,x2,…,xn)表示对角线依次元素为x1,x2,…,xn，其余元素为0的n阶矩阵；AC[0,+∞)表示所有绝对连续函数x∶[0,+∞)→Rn组成的集合.1.1 Clarke广义梯度假设h∶Rn→R是局部Lipschitz的，那么h几乎处处可微.令Dh表示h可微的点的集合，那么其Clarke广义梯度[4]为性质1 对于固定的x∈Rn，有如下性质：1)∂h(x)是Rn上的一个非空紧凸集；2)∂h关于x是上半连续的.1.2 光滑函数若h∶Rn→R是一个连续函数，θ∶Rn×[0,+∞)→R是一个光滑函数[5]，如果θ满足：1)对于固定的μ>0，θ(·,μ)在Rn上是连续可微的，对于固定的x∈Rn，θ(x,·)在(0,+∞)上是可微的；2)对于固定的x∈Rn，limμ↓0θ(x,μ) = h(x)；3)存在一个常数kθ>0，使得|▽μθ(x,μ)|≤kθ,∀μ∈(0,+∞),x∈Rn；4)若h是局部Lipschitz连续函数，那么▽zθ(z,μ)}⊆∂h(x).那么称θ是h的光滑函数，1.3 投影点x在Ω上的投影[6]定义为性质2 投影的性质：1)〈v-PΩ(v),PΩ(v)-u〉≥0 ∀v∈Rn,u∈Ω；2)‖PΩ(u)-PΩ(v)‖≤‖u-v‖ ∀u,v∈Rn.1.4 稳定点的定义根据文献[7]最优解的一阶必要条件，定义稳定点满足如下形式[8-9]：2 神经网络构造构造目标函数中非Lipschitz项的光滑函数.定义因为所以关于给定的μ>0，有那么▽xθ(xi,μ))那么关于给定的关于x连续可微.关于给定的x∈Rn，有那么▽μθ(xi,μ))那么关于给定的关于μ连续可微.构造下述所示的神经网络：(2)其中μ∶R+→R+是连续可微单调递减函数，可令或μ(t)=μ0e-αt且μ0,α>0.3 神经网络解的性质定理1 以x0∈Ω为初始点的神经网络[10] (2)的解x∈AC[0,∞)全局存在、一致有界[11]且x(t)∈Ω,∀t∈[0,+∞).证明：由于神经网络(2)里的右函数关于x和t连续，那么存在一个T>0和绝对连续函数x∶[0,T)→Rn，使得x是神经网络(2)的一个局部解[12-13].假设[0,T)是这个解的最大存在区间.首先证明对任意的t∈[0,T)，有x(t)∈Ω.由于且▽xθp(xi(t),μ(t))]是Ω上的连续函数，那么所以由于∀t∈[0,T)且Ω是凸集，那么x(t)∈Ω,∀t∈[0,+∞).(3)在性质2中，令▽xθp(xi(t),μ(t))且u=x(t)，那么由〈v-PΩ(v),PΩ(v)-u〉≥0有那么即(4)由于那么(5)将式(4)、(5)代入式(3)有(6)那么关于t非增，即对任意的t∈[0,T)，有所以x∶[0,T)→Rn是有界的.由解的延展性定理可知，神经网络(2)的解可延长，与假设矛盾，所以解全局存在且一致有界，证毕.定理2 以x0∈Ω为初始点的神经网络(2)的解轨线[14]x(t)的聚点均为稳定点[15].证明：由定理1可知关于t在[0,∞)上是非增且有下界的，那么存在(7)由式(6)、(7)可知又由式(6)可知因为x∶[0,+∞)→Rn一致有界，所以x(t)至少存在一个聚点.假设x*是x(t)的一个聚点，那么存在序列{tk}满足使得且由定理1，有x*∈Ω.记g(tk)=x(tk)-PΩ[x(tk)-2AT(Ax(tk)-b)-▽xθp(x(tk),μ(tk))](8)由和式(3)，得(9)由性质2和式(8)，得▽xθp(x(tk),μ(tk))-g(tk),u-(x(tk)-g(tk))〉≥0,∀u∈Ω(10)由式(10)和法锥定义，得▽xθp(x(tk),μ(tk))-g(tk)+NΩ(x(tk)-g(tk))由上式和那么存在v(tk)≥0,ξ(tk)∈∂dΩ(x(tk)-g(tk))，使下式成立▽xθp(x(tk),μ(tk))-g(tk)+v(tk)ξ(tk)由式(9)和有那么⊆∂dΩ(x*)，又因为∂dΩ(x)上半连续，那么⊆所以▽xθp(x(tk),μ(tk))+NΩ(x*)对上式两侧左乘有▽xθp(x(tk),μ(tk))+NΩ(x*)]记那么▽xθp(x(tk),μ(tk))]=所以根据文献[4]中的推论2.4.2，存在γ=(γ1,γ2,…,γt)T≤0且γi=0，∀i∈Ix*使得那么所以解轨线x(t)的聚点均为稳定点，证毕.4 数值实验考虑下述模型：s.t. x∈Ω{x∈R5∶x≥0}其中令μ(t)=e-t，x0=(0,0,0,0,0)T.通过Matlab进行数值模拟得到结果，见图1、2. 图2中的虚线表示目标函数光滑化之后的函数值曲线，实线表示目标函数值曲线.通过上述两个数值模拟图像可以观察到利用神经网络算法求解此类优化问题具有较强的优化性能.图1 解轨线各分量曲线图2 函数值曲线参考文献：【相关文献】[1] BRUKSTEIN A M, DONOHO D L, ELAD M. From sparse solutions of systems of equations to sparse modeling of signals and images[M]. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2009.[2] COCHOCKI A, UNBEHAUEN R. Neural networks for optimization and signal processing[M].[S.l.]:J. Wiley, 1993.[3] HOU Z G, GUPTA M M, NIKIFORUK P N, et al. A recurrent neural network for hierarchical control of interconnected dynamic systems[J]. IEEE Transactions on Neural Networks, 2007, 18(2): 466-481.[4] CLARK F H. Optimization and nonsmooth analysis[M]. New York: Wiley, 1983.[5] BIAN W, CHEN X. Smoothing neural network for constrained non-Lipschitz optimization with applications[J]. IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems, 2012, 23(3): 399-411.[6] KINDERLEHRER D, STAMPACCHIA G. An introduction to variational inequalities and their applications[M]. New York: SIAM, 1987.[7] CHEN X, XU F, YE Y. Lower bound theory of nonzero entries in solutions of l2-lp minimization.[J]. Siam Journal on Scientific Computing, 2010, 32(5): 2832-2852.[8] BASE A M, THUMMLER V. Local and global stability analysis of an unsupervised competitive neural network[J]. IEEE Transactions on Neural Networks, 2008, 19(2):346-351.[9] 杨红艳，夏茂辉，于玲，等. 一类随机时滞神经网络的全局渐进稳定性分析[J]. 黑龙江大学自然科学学报，2010,27(5)：655-658.[10] LEE J M. Introduction to topological manifolds [M]. New York: Springer, 2000.[11] BHATIA N P, SZEGO G P. Stability theory of dynamical systems [M]. New York: Springer,1970.[12] BETOUNES D. Differential equations: theory and applications[M]. New York: Springer,2001.[13] 张越，薛小平. 一类延迟细胞神经网络稳定性条件[J]. 黑龙江大学自然科学学报，2006，23(3)：415-417.[14] LIU Y R, WANG Z D, LIU X H. Asymptotic stability for neural networks with mixedtime-delays: the discrete-time case[J]. Neural Networks, 2009, 22(1):67-74.[15] 李庆发，魏喆. 一类竞争神经网络的指数稳定性分析[J]. 黑龙江大学自然科学学报，2012,4(2)：212-215.。
非凸优化算法
非凸优化算法
非凸优化算法是用于解决非凸优化问题的一类算法。
非凸优化问题指的是优化问题中目标函数为非凸函数的情况。
常见的非凸优化算法包括：
1. 分支定界法：将非凸优化问题转化为一系列子问题，通过对子问题进行求解，逐步确定最优解的范围，最终找到最优解。
2. 梯度下降法：通过计算目标函数的梯度，按照梯度的反方向进行迭代优化，直到达到一定的收敛条件。
由于非凸函数可能存在多个局部最优解，梯度下降法不能保证找到全局最优解，但可以找到局部最优解。
3. 遗传算法：模拟生物进化过程中的遗传、变异、选择等机制，通过对个体进行交叉、变异和选择等操作，以逐渐逼近最优解。
4. 粒子群优化算法：通过模拟鸟群或鱼群等智能体的集体行为，利用粒子的位置和速度等信息，通过集体智能的协作找到最优解。
5. 模拟退火算法：模拟金属退火冷却的过程，通过在解空间中随机选择解，并以一定的概率接受差解，在搜索过程中逐渐降低温度，以求得全局最优解。
需要注意的是，由于非凸优化问题的复杂性，非凸优化算法通常只能找到接近最优解的解，并不能保证找到全局最优解。
因此，在实际应用中，需要根据具体问题和需求，选择合适的算法进行求解。
一种解决非光滑非凸优化问题的暂态混沌神经网络
小型微型计算机系统Journal of Chinese Computer Systems 2020年12月第12期 Vol.41 N o.12 2020一种解决非光滑非凸优化问题的暂态混沌神经网络喻昕，汪炎林，徐柳明，伍灵贞(广西大学计算机与电子信息学院，南宁530004)E-mail ：****************摘要：提出了一个新的递归神经网络模型，目标是解决一类带等式与不等式约束的非光滑非凸优化问题.证明了当可行域有 界时，递归神经网络能在有限时间内收敛到可行域，并且能最终收敛到优化问题的一个关键点•并针对一般的递归神经网络在 解决非凸优化问题过程中容易陷入局部最优解的情况，本文的递归神经网络扩展为暂态混沌神经网络，能通过混沌遍历收敛到 优化问题的全局最优点.最终通过实验验证了提出模型的有效性和全局寻优能力.关键词：神经网络;非凸优化问题;暂态混沌神经网络;最优解中图分类号：T P183 文献标识码:A文章编号：1000-1220(2020)12-2522>07Transient Chaotic Neural Network for Nonsmooth and Nonconvex Optimization ProblemsY U X i n.W A N G Yan-lin,XU Liu-m i n g,W U Ling-zhen(Department of Computer and Electronic Information,Guangxi University,Nanning 530004 .China)Abstract：A new r e c u r r e n t n e u r a l network model i s proposed t o s o l v e a c l a s s of nonsmooth nonconvex o p t i m i z a t i o n problems with e-q u a l i t y and i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s I t i s proved t h a t when t h e f e a s i b l e r e g i o n i s bounded,t h e r e c u r r e n t n e u r a l network can converge t o t h e f e a s i b l e r e g i o n i n f i n i t e time and f i n a l l y t o a key p o i n t of t h e o p t i m i z a t i o n problem.For t h e g e n e r a l r e c u r r e n t n e u r a l network i s easy t o f a l l i n t o t h e l o c a l optimal s o l u t i o n i n t h e p r oc es s of s o l v i n g t h e nonconvex o p t i m i z a t i o n problem,t h e r e c u r r e n t n e u r a l network i n t h i s paper i s extended t o t h e t r a n s i e n t c h a o t i c n e u r a l network,which can converge t o t h e g l o b a l optimal s o l u t i o n of t h e o p t i m i z a t i o n problem through c h a o t i c ergodic.F i n a l l y,t h e e f f e c t i v e n e s s and g l o b a l o p t i m i z a t i o n a b i l i t y of t h e proposed model a r e v e r i f i e d by e x p e r iments.Key words：n e u r a l network；nonconvex o p t i m i z a t i o n problems；t r a n s i e n t c h a o t i c n e u r a l network；optimal s o l u t i o ni前言在科学与工程应用中，优化问题作为一类重点问题在最 近几十年内得到了广泛的关注与发展.在1986年，由Hopfield 和 Tank⑴提出一种Hopfield 神经网络（Hopfield Neural Network,H N N)作为解决优化问题的并行计算模型，引起了大家的兴趣并开始广泛应用.Zhang等人利用Laga-range乘子法创建了一个新的递归神经网络来处理凸光滑非 线性优化问题,Xia等人[3]提出了基于投影方法的递归神经 网络用以解决光滑凸（伪凸）优化问题.不久后，应用范围从光滑问题发展到非光滑优化问题，如 L i等人[4]在基于Clark次梯度的递归神经网络模型之中引人 投影方法以解决R"上闭凸子集的非凸非光滑优化问题.Liu 等人[5]尝试投影方法建立递归神经网络模型解构线性等式 和R"上闭凸子集共同约束的非光滑非凸优化问题.Bian等 人[6]也开始利用光滑递归神经网络来解决非光滑非凸的优 化问题，使用光滑逼近技术即用一个与目标函数逼近的光滑 函数构造光滑神经网络模型.Y u等人[7]基于微分包含的思 想，建立了一个不依赖罚参数的神经网络模型用以解决非光 滑非凸优化问题.然而上述的模型的本质仍是基于“梯度”或“次梯度”下 降的动力系统，无法避免“陷人”局部最优解.尤其是当优化 的目标函数是非凸时会存在多处局部最优解,这将无法保证 获得全局最优解.为了解决这个问题，Aihara等人[8]受生物神经元混沌特 性的启发，于1990年在H N N中增加一个自反馈项以引人混 沛机制开创了混纯神经网络（Chaotic Neural Network,C N N).此后，C h e n和Aihara[9]将模拟退火优化算法引人到C N N中提出了暂态混纯神经网络（T r a n s i e n t l y Chaotic Neural Net-work，T C N N).T C N N的动力系统对自反馈链接权值敏感，它 可以类比模拟退火算法中一直衰减的温度.当“温度”较大 时，整个系统处于“粗搜索”阶段，搜索过程符合混沌动态的 特性，会按照混沌轨道进行遍历，并且不受目标函数的限制，能克服陷人局部最优解；当“温度”开始减少并达到一定程度 时，系统进入“细搜索”阶段，这时的自反馈权值对系统的影 响变得很小，这时的神经网络类似于以粗搜索得到的解为初始点，根据_梯度下降机制在小范围进行搜索，并 收敛到一个平衡点，最终T C N N会收敛到一个全局最优解.TCNN提出后，不少学者对此展开研究.文献[1〇，11]分 别将TCNN应用于解决组播路由和蜂窝信道分配等组合优收稿日期:2〇2〇>01-14收修改稿日期:202(M)3>09基金项目：国家自然科学基金项目（61862004)资助.作者简介：喻昕，男，1973年 生，博士，教授,CCF会员，研究方向为神经网络、优化计算;汪炎林，男，1995年生，硕士，研究方向为神经网络;徐柳明，男，1994年生，硕士，研究 方向为神经网络;伍灵贞，女，1995年生，硕士，研究方向为神经网络.喻昕等:一种解决非光滑非凸优化问题的暂态混沌神经网络2523 12期化问题;Zhang等人0]利用小波函数作为激活函数的T C N N 来解决函数优化问题;Babak等人[|3]利用T C N N改进了反应 曲面法在函数优化问题中应用的性能.借助脑电波的生物机制，分析不同频率的正弦信号叠加 形成的脑电波模型，H u等人[14]用变频正弦（Frequency Conv e r s i o n Sinusoidal,F C S)函数与 Sigmoid 函数加权和作为混纯 神经元的激励函数，建立了一个新的神经网络模型一变频正 弦混沛神经网络（Frequency Conversion S i n u s o i d a l Chaotic Neural Network,F C S C N N)模型，并在文献[15,16]进一步分 析和优化了这种新的模型.综上，为了解决非凸非光滑优化问题，本文提出一个能收 敛到优化问题关键点集的递归神经网络，并在此基础上构建 了一个暂态混沌神经网络，用于实现非凸优化问题的全局寻优.2预备知识考虑如下问题：min f(x)s.t.g(x)^0A x-b(1)当j c= U,;c2,T e R",/:R”—R，目标函数是正则 的，但可以是非凸的和非光滑的,= (A U) ,g2(x)，…，SPU))T:1R R P 是 P-维向量值函数U= 1，2,…，P)是凸的，但可能是非光滑的，A e R是满行秩矩阵，而且办=(办1，2,"-九）^1?'我们假设优化问题（1)具有至少一个局部最小解.定义：\ = |x:衮U)矣0!S2 = \x：Ax= b\贝I J S= \n s2,S= U e R"j U)«0，/U= 是优化问题 (1)的可行域.为便于后续的证明，首先给出下面两个假设：假设1.存在一个点i e R",满足i e i n t(\)n\,使得 i>0.其中 min-gy+(i).假设2.存在义€11”，;*>0，使得;^池（451)门152,5(=5 (i,r).其中 5(i,r) = U e R n:||x- i|| 矣rl.在假设1和2成立的前提下，根据罚函数思想，对\引人罚函数=$111狀丨0,容;(文）丨，则U:Z)U)系0丨=5■卜因为以;〇〇1,2,:",/〇是凸的，那么1)(;〇为凸函数，且对任 意 a:e R n:0，x e i n t(5,)明u)=,;玉)[0，1]啤⑴，xebd(s')Z[0,l]^y(^)+I d g j(x)1X^S lVsJ〇(*);«■/+(*)这里：U) = U e 11,2,…，pi :g;(A：) >〇1,U) = b'e|l，2r__，p|:&(j c)=0|定义1.若对于集合£C R"上的任意点;c，都存在一个非 空集合R j c)C R",则；c—F(j c)是£—R"上的集值映射.若对 于任意的开集V3F(;c。
了解神经网络的优化算法
了解神经网络的优化算法神经网络的优化算法是深度学习中非常重要的一部分，它能够帮助网络提高准确性和性能。
本文将介绍神经网络的基本概念和常见的优化算法，包括梯度下降法、动量法、AdaGrad算法、RMSprop算法和Adam算法，以及它们的原理和应用场景。
一、神经网络的基本概念神经网络是一种模仿人类神经系统工作方式的计算模型，由大量的人工神经元相互连接而成。
它具有自适应学习能力，能够通过训练样本自动调整权值和偏置，从而实现对未知数据的识别和分类。
神经网络一般分为输入层、隐藏层和输出层，每个神经元都与上一层和下一层的神经元连接。
二、梯度下降法梯度下降法是最基本、最常用的神经网络优化算法之一。
其核心思想是根据损失函数对权值和偏置求导，沿着负梯度的方向迭代更新参数，使得损失函数逐步减小。
在梯度下降法中，学习率是一个重要的超参数，它控制了参数更新的步幅。
三、动量法动量法是在梯度下降法的基础上进行改进的一种优化算法。
它通过引入动量参数，累积之前的梯度信息，加速参数的更新过程。
动量法能够有效地避免梯度下降法中的震荡现象，加快模型的收敛速度。
四、AdaGrad算法AdaGrad算法是一种自适应学习率的优化算法，它对每个参数的学习率进行适应性调整。
AdaGrad通过累积之前的梯度平方和来动态地调整学习率，对于频繁出现的参数将适当降低学习率，从而加快收敛速度。
五、RMSprop算法RMSprop算法是对AdaGrad算法的改进，它引入了一个衰减因子，对之前各个参数的梯度平方进行衰减。
RMSprop能够在一定程度上缓解AdaGrad算法中学习率过快减小的问题，更好地适应不同参数的变化范围。
六、Adam算法Adam算法是结合了动量法和RMSprop算法的优化算法。
它不仅利用动量信息，还根据梯度的一阶矩估计和二阶矩估计来调整学习率，从而更平滑和准确地更新参数。
Adam算法在很多深度学习任务中都表现出良好的性能。
七、优化算法的选择和应用场景在实际应用中，选择合适的优化算法对神经网络的性能和收敛速度有着重要的影响。
如何利用反向传播算法解决非凸优化问题(十)
反向传播算法是一种用于训练神经网络的优化算法。
它通过计算误差梯度，然后根据这些梯度来更新网络的权重和偏差，从而使网络能够更好地拟合训练数据。
在深度学习中，反向传播算法是非常重要的，因为它可以让神经网络不断地逼近最优解。
非凸优化问题是指目标函数不是凸函数的优化问题。
通常情况下，非凸优化问题是比较困难的，因为它们可能有多个局部最优解，而且这些局部最优解之间可能存在很大的差异。
然而，利用反向传播算法可以在一定程度上解决非凸优化问题。
首先，我们来看一下传统的优化算法对非凸优化问题的表现。
传统的优化算法通常会陷入局部最优解，因为它们只能沿着负梯度方向进行更新，而无法跳出局部最优解。
相比之下，反向传播算法可以通过梯度反向传播的方式，让神经网络在更新参数的时候获得更多的信息，从而更有可能跳出局部最优解。
其次，反向传播算法可以通过随机初始化和多次迭代来逼近全局最优解。
虽然非凸优化问题可能有多个局部最优解，但是通过随机初始化和多次迭代，反向传播算法有更多的机会找到全局最优解。
而传统的优化算法可能因为初始点的选择而陷入局部最优解，无法获得全局最优解。
此外，反向传播算法还可以通过引入一些技巧来改进非凸优化问题的求解。
例如，可以使用学习率衰减、动量法、自适应学习率等技巧来加速收敛，减少震荡，提高收敛精度，从而更好地解决非凸优化问题。
总的来说，反向传播算法在解决非凸优化问题时是非常有效的。
它可以通过梯度反向传播的方式来获得更多的信息，从而更有可能跳出局部最优解。
同时，通过随机初始化和多次迭代，反向传播算法能够在一定程度上逼近全局最优解。
此外，还可以通过引入一些技巧来改进非凸优化问题的求解。
因此，在深度学习和神经网络训练中，反向传播算法是不可或缺的重要工具。
一类非凸全局最优化问题的新的凸凹化法
一类非凸全局最优化问题的新的凸凹化法李博;杜杰【期刊名称】《青岛科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(038)001【摘要】研究了一类非凸连续全局最优化问题的凸化、凹化方法.对于目标函数非凸、非凹的非线性规划,给出了一个新的凸、凹化法,通过含有参数的函数变换方法,对目标函数进行凸化或凹化,从而将原目标函数变换为相应的凸函数或凹函数,推广了凸化、凹化方法在求解非线性规划方面的应用.%The aim of the paper is to develop convexification and concavification methods for a general class of nonconvex global optimization problem.Transformations with parameter are proposed for solving the nonlinear programming problem in which the objective function is nonconvex,nonconcave.It is shown that the original objective function can be transformed into equivalent convex or concave function by using the proposed transformation method,which extends applications of convexification and concavification schems in solving nonlinear programming problems.【总页数】3页(P116-118)【作者】李博;杜杰【作者单位】青岛科技大学数理学院,山东青岛266061;青岛科技大学数理学院,山东青岛266061【正文语种】中文【中图分类】O221.2【相关文献】1.一类全局优化问题的新的凸化、凹化法 [J], 何颖2.全局最优化问题的凸凹化法 [J], 李博;周伊佳3.一类非凸全局最优化问题的最优性条件 [J], 李博;杜杰4.求全局最优化问题的一类单参数全局凸填充函数 [J], 蒋宏锋5.Banach空间上一类非凸向量最优化问题的全局最优性条件 [J], 杜廷松;张明望因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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计算机应用研究 ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎＲｅｓｅａｒｃｈｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒｓ
Ｖｏｌ．３６Ｎｏ．９ Ｓｅｐ．２０１９
ห้องสมุดไป่ตู้
一类非光滑非凸优化问题的神经网络方法
喻 昕，陈昭蓉
（广西大学 计算机与电子信息学院，南宁 ５３０００４）
摘 要：提出了解决一类带等式与不等式约束的非光滑非凸优化问题的神经网络模型。证明了当目标函数有 下界时，神经网络的解轨迹在有限时间收敛到可行域。同时，神经网络的平衡点集与优化问题的关键点集一致， 且神经网络最终收敛于优化问题的关键点集。与传统基于罚函数的神经网络模型不同，提出的模型无须计算罚 因子。最后，通过仿真实验验证了所提出模型的有效性。 关键词：神经网络；非凸非光滑优化；有限时间收敛 中图分类号：ＴＰ１８３ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００１３６９５（２０１９）０９００３２５７５０４ ｄｏｉ：１０．１９７３４／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１３６９５．２０１８．０３．０１５０
０ 引言
１９８６年，Ｔａｎｋ等人［１］介绍了模拟神经网络方法解决限制 性最优化问题，并在文献［２］中得到更进一步的阐述。其核心 思想是利用动力学神经网络同时模拟目标函数与约束函数，并 利用神经网络的模拟与并行处理能力计算问题的最优解。文 献［１］提出了 递 归 神 经 网 络 解 决 线 性 规 划 问 题，在 此 基 础 上， Ｋｅｎｎｅｄｙ等人［２］对文献［１］中的神经网络进行改进，通过构建 一个有限的惩罚参数的神经网络来解决非线性规划问 题。 Ｚｈａｎｇ等人［３］在早期惩罚参数研究的基础上，提出了一种基于 Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子法 的 递 归 神 经 网 络 以 解 决 非 线 性 凸 优 化 问 题。 Ｌａｇｒａｎｇｅ神经网络模型中有两种神经元，即变量神经元和 Ｌａ ｇｒａｎｇｅ神经元。其中，变量神经元负责寻找目标函数的最小点 以及提供解决问题的平衡点；而拉格朗日神经元负责将动态轨 迹快速地引入可行域。有关 Ｌａｇｒａｎｇｅ神经网络的详细研究请 参考文献［４～６］。在 最 优 化 问 题 的 研 究 发 展 中，早 期 的 神 经 网络模型均为光滑非线性规划问题而设计，为了解决非光滑非 线性规划问题，Ｆｏｒｔｉ等人［７］提出了一种 ＧＮＰＣ神经网络模型， ＧＮＰＣ是基于 ＮＰＣ的一个微分包含形式的梯度系统，其目标 函数和约束函数不需要是光滑的而仅仅是正则函数即可。为 了使非光滑规划更具普遍性，文献［８，９］提出了一些基于惩罚 函数和次梯度的递归神经网络解决非光滑凸与非光滑非凸规 划问题。神经网络的收敛行为，包括全局收敛和局部收敛。如 果规划问题的目标函数的定义域中任意的初始点的解轨迹收 敛于最优解（或近似最优解），则该神经网络模型是全局收敛
Ｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒｃｌａｓｓｏｆ ｎｏｎｃｏｎｖｅｘｎｏｎｓｍｏｏｔｈｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓ
ＹｕＸｉｎ，ＣｈｅｎＺｈａｏｒｏｎｇ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒ＆ ＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ＧｕａｎｇｘｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｎｉｎｇ５３０００４，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｏｐｏｓｅｄａｎｏｖｅｌｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｔｏｓｏｌｖｅｎｏｎｓｍｏｏｔｈｎｏｎｃｏｎｖｅｘｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓｗｉｔｈｅｑｕａｌｉｔｙａｎｄ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ．Ｉｔｐｒｏｖｅｄｔｈａｔｗｈｅｎｔｈｅｏｂｊｅｃｔｉｖｅｆｕｎｃｔｉｏｎｈａｄａｌｏｗｅｒｂｏｕｎｄ，ｔｈｅｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｃｏｎｖｅｒｇｅｄｔｏａｆｅａｓｉｂｌｅ ｄｏｍａｉｎｉｎａｆｉｎｉｔｅｔｉｍｅ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，ｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｔｒａｊｅｃｔｏｒｙｏｆｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｃｏｎｖｅｒｇｅｄｔｏｏｐｔｉｍａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓｅｔｏｆｔｈｅｃｏｒｒｅ ｓｐｏｎｄｉｎｇｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓ，ｗｈｉｃｈｆｉｎａｌｌｙｃｏｎｖｅｒｇｅｄｔｏｃｒｉｔｉｃａｌｐｏｉｎｔｓｅｔｏｆｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｃｏｍｐａｒｉｎｇｗｉｔｈｔｒａｄｉ ｔｉｏｎａｌｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｗｈｉｃｈｂａｓｅｄｏｎｐｅｎａｌｔｙｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｔｈｅｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｍｏｄｅｌｄｉｄｎｏｔｎｅｅｄｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅａｎｙｐｅｎａｌｔｙｐａｒａｍｅ ｔｅｒｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄｍｏｄｅｌｉｓｖｅｒｉｆｉｅｄｂｙｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋ；ｎｏｎｃｏｎｖｅｘｎｏｎｓｍｏｏｔｈｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ；ｌｉｍｉｔｅｄｔｉｍｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ
为了降低网络模 型 的 复 杂 度，文 献 ［１２～１６］提 出 了 一 些 一层递归神经网络。Ｇｏｕ等人 提 ［１４］ 出了一种解决线性等式约 束的伪凸优化的一层递归神经网络，并证明了在等式约束条件 下，解轨迹能 在 有 限 时 间 收 敛 到 可 行 域 中。基 于 惩 罚 函 数 方 法，Ｌｉｕ等人［１５］提出了一种新的一层递归神经网络来解决线性 等式约束 的 伪 凸 最 优 化 问 题。 为 解 决 线 性 规 划 问 题，Ｌｉｕ等 人［１６］早期同样提出一种基于次梯度的神经网络，证明了该神 经网络定义域内是全局收敛的。国内有关神经网络解决最优 化的研究可参考文献［１７～１９］。传统的神经网络模型解决工 程优问题大多要求求解适当的罚函数，而这个参数在某些目标 函数下是难以计算的，这为网络执行计算带来困难。本文结合 传统的递归神经网络模型，提出新的一种解决带等式约束和不
的，如文献［１０］的神经网络模型，在满足一些条件的情况下是 全局收敛。然而，如果限制条件是初始状态的解必须从可行域 中选取，则其收敛是局部的。基于惩罚参数和函数的神经网络 模型，其解集在很大程度上是非全局收敛的，因为此类神经网 络模型，其可行域上发现的一个内部点通常是一个特殊域包含 的可行域的中心，因此，为了保证收敛，初始解集必须在可行域 范围内部选取，并且惩罚参数必须保证足够大。再者，惩罚函 数神经网络模型的有效性依赖于确定的或非确定的惩罚参数， 而确定性惩罚参数在实际应用是很难估算的。为解决这个问 题，Ｃｈｅｎｇ等人 ［１１］提 出 了 一 种 新 的 解 决 非 光 滑 凸 优 化 的 递 归 神经网络，文献 ［１１］所 提 出 的 神 经 网 络 在 解 决 带 约 束 的 非 光 滑凸规划问题的同时，不需要任何的 惩 罚 参 数。然 而，文 献 ［１１］提出的神经网络的结构却异常复杂。