刚体绕定轴的转动(一)

J 环 m i R 2 R 2 m i mR 2
m 1 dx mR 2 2 R 2
3、在总质量一定且质量分布也一定的情况下，转动惯量与 所给定轴的位置有关。
o

1 J o mL2 3
m,L
o’


J o'
1 mL2 12
4、 转动惯量的可加性
一个具有复杂形状的刚体，如果可以分割成若干个简单部分， 则整个刚体对某一轴的转动惯量等于各个组成部分对同一轴转动惯 量之和。
2）定轴转动的刚体，如同时受几个外力共同作用，合 外力矩的量值等于这几个力各自力矩的代数和。
2、转动定律 类比：
刚体动力学的基本方程
F可改变平动物体的运动状态
质点动力学： F ma m描述平动物体平动惯性大小 a是平动物体的加速度 M可改变刚体的转动状态 刚体定轴转动： J描述转动刚体的转动惯性的大小 与a相当的物理量是角加速度α
（a）图中，重力所作的功，一部分转化为滑轮的 转动动能，一部分转化为重物的的平动动能。 （b）图中，P所作的功，全部转化为滑轮的转动动 能。
P
(a) (b)
P
答案：（C）变大
例6：如图所示，质量均为m的两物体A、B，A放在倾角为α的
光滑斜面上，通过定滑轮由不可伸长的轻绳与B相连。定滑轮是半径 为R的圆盘，其质量也为m，物体运动时，绳与滑轮无相对滑动，求 绳中张力及物体的加速度。
i 1
n
转动惯量
2
i i
J （1）
在SI单位制中，J的单位为kg㎡
定轴转动刚体的转动动能
1 E k转＝ J 2 2
（2）
两点说明：
J m i ri2 （1）
i 1 n
1）对转轴固定的刚体来说，J是个定值。 2）对于质量离散的转动系统，可直接用定义式 来计算转动惯量；对质量连续分布的刚体，（1） 式中的求和号应以定积分来代替：
2
L 2
2、转动惯量的物理意义
1 2 物体的平动动能： E k mv 2
刚体绕定轴的转动动能：
类比：
v
1 E k转＝ J 2 2
～

m～ J
m为描述物体平动惯性大小的物理量 J为描述刚体定轴转动惯性大小的物理量
3、决定转动惯量大小的三个因素
1)转动惯量与刚体的总质量有关
J m i ri2
初态
0
解：细杆和小球组成一个新的刚体。刚体在重力场中运 动时，位置发生变化，所以取刚体、地球为系统。 刚体下摆过程中，对刚体与地球系统，不存在外力 和非保内力，机械能守恒

末态
----零重力势能点
mgL cos mg
J总
L 1 cos J 总 2 2 2
1 4 mL2 mL2 mL2 3 3
M J
d dt
（ 4）
刚体绕定轴转动的转动定律
MJ
对转动定律的讨论：
1）转动定律定量地给出了刚体转动的规律性： 2） M、J、α都是对同一转轴而言。
d
M J
o
如质量为m长为L的匀质细杆从水平位置由 静止释放，求杆与竖直方向成θ角时杆的角 加速度α0。 M 0 0 J0 mg L M 0 mg sin 2 M、J、α都是对同一转轴0而言 3 g sin 1 J 0 mL2 0 2L 3
i 1
n
（1）
2)在质量一定的情况下，转动惯量与质量的分布有关
m,R o o
m,R
J 环 mR
2
J
盘
1 mR 2 2
例2、求质量和半径均相同的细圆环和均匀圆盘绕通过圆心 且垂直于圆面的轴的转动惯量
m,R o o
∆mi
m,R x

m R 2
小圆环的面积 ds 2xdx （2）均匀圆盘：
m A B N 解：
TA
A
ma TA mg sin (1)

TB
mg

ma mg TB (2)
mg
N A B
Hale Waihona Puke Baidu
TA
o
mg

TB
1 (TB TA ) R mR 2 2
a R
( 4)
2 3 s i n mg 5 (3) 答案： 3 2 s i n TB mg 5 2(1 s i n ) a g 5 TA


vi ri
J mi ri2 J r 2 dm （1）’
dm为质量元 ,r为质量元到转轴的垂直距离 若刚体质量为线分布: 若刚体质量为面分布: 若刚体质量为体分布
dm dl dm ds
dm dv
dm dl dm ds dm dv

例1：求质量为m长为L的匀质细杆绕垂直于杆且通过端点的转
刚体上那条不动的直线——转轴
刚体绕定轴的转动的三个特点：
1）刚体上各质点都在各自的平面内作半径不同 的圆周运动。



vi ri
2）各质点作圆周运动的平面垂直于轴线，圆心 在轴线上。
3）尽管各质点线速度不同，但各质点绕轴运 动 的角速度是相同的，这就意味着角速度的时间变 化率也是相同的，即各质元的角加速度相同。
例3、一长为2L质量为3m的细棒的两端粘有质量分别为2m和m的小球， 如图所示，此杆可绕中心0在铅直平面内转动，求此刚体的转动惯量。
2m L 3m o L

m
J 2m L2 mL2
1 ( 3m )(2 L) 2 4mL2 12
例4：如图所示，长为L质量为m的匀质细杆，可绕通过杆的端点o 并与杆垂直的水平固定轴在铅直平面内转动，杆的另一端连接一质量 为m的小球。杆从水平位置由静止开始自由下摆，忽略轴处的摩擦， 当杆转至与竖直方向成θ角时，小球与杆的角速度是多少？
解：（1）圆环：
半径为x的圆环的质量 dm 2xdx
2 ∆mi绕0轴转动的转动惯量 J i m i R 半径为x的圆环绕0轴转动的转动惯量：
圆环绕0轴转动的转动惯量
dJ dmx 2 2x 3dx
整个圆盘绕0轴转动的转动惯量
J盘
3 dJ 2x 0 0 R R
3）转动定律是瞬时作用规律。
在转轴一定的情况下，J为定值，定轴转动的刚体所受的合外力矩 M与角加速度α是同时产生，同时变化，同时消失。
例5：一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，滑轮质量为m，绳下端挂一 物体，物体所受的重力为 P ，滑轮的角加速度为 ，若将物体去 掉而以与其相等的力 P 直接向下拉绳子，滑轮的角加速度将 （A）不变； （B）变小； （C）变大； （D）无法判断
0
P
二、转动惯量
m/2

o (a)
m/2
m o (b)

转动惯量—描述定轴转动刚体的转 动惯性大小的物理量
1、转动惯量的定义
1 1 2 n 2 2 2 Ek 转 mi ri m r i i 2 2 i 1 i 1
n


m r
1 1 E i m i v i2 mi 2 ri2 2 2
小结
1、转动惯量 2、力矩
J m i ri2 J r 2dm
i 1 n

M Fd
3、转动定律——绕定轴转动刚体的基本规律
M J
4、要求：理解力矩和转动惯量概念，掌握刚 体定轴转动时的动力学规律－转动定律并熟 练地应用
轴0的转动惯量。
o

m dm dr dr L
r
o' o
dm dr m dr L

r
dm绕0轴转动的转动惯量 dJ
dmr 2
m 2 r dr L
m 2 dJ dmr r dr L
2
m 1 J dJ r 2 dr mL2 L 3 0
L
J'

m 2 1 2 r dr mL L L 12
第三章 刚体力学基础
刚体绕定轴的转动（一）
主讲 刘果红
前言
v
v
B A



平动的汽车
高速运转的飞轮
一是主要研究对象变了，由质点变为刚体。 二是主要研究的问题也变了，由平动变为转动。
类比法：把物体的平动与刚体的定轴转动进行类比，其目的就 是使同学们能更好地理解刚体定轴转动中一些物理量的物理含 义。
若将刚体分成许多细微部分，并把每一细微部分看成一个质点， 那么刚体可以看成是有无数质点构成的质点组。
J代入解得

3 2
g cos L
三、刚体绕定轴转动的转动定律
1、力矩——力矩才能改变刚体的转动状态
F
M rF
r 是力的在用点相对于转轴0的位矢。
（3）
r
0 d
M Fr sin Fd
d—力臂(力的作用线到转轴的垂直距离） 两点说明：
1）在定轴转动中，刚体不是逆时针转动就是顺时针转 动，因此力矩可用正、负号表示。
这个质点组与前面质点力学所讨论的质点组是有区别的，刚体视 为质点组其特征是：构成刚体的任意二质点间的距离，在运动中恒定 不变。 A B



把刚体看成质点组的这种看法使我们有可能在质点动力学的基础 上来研究刚体情况。
一、刚体绕定轴转动的运动特征：


刚体中某一直线上的点保持不动（对固定参考系 而言），其它各点都以该直线上的相应点为圆心， 在垂直于该点的平面内作半径不同的圆周运动。 这种运动称刚体绕定轴的转动