最新向量的加法及其几何意义3
《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版
《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版第一章：向量的概念回顾1.1 向量的定义向量是从数学和物理学中引入的概念，具有大小和方向。
向量通常用字母表示，如\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 等，也可以用箭头表示。
1.2 向量的表示方法向量可以用坐标形式表示，如\(\vec{a} = (a_x, a_y)\)。
向量还可以用图形表示，在坐标系中表示向量的起点和终点。
第二章：向量的加法运算2.1 向量加法的定义向量加法是将两个向量相加得到一个新的向量。
如果\(\vec{a} = (a_x, a_y)\) 和\(\vec{b} = (b_x, b_y)\)，它们的和\(\vec{c}\) 可以表示为\(\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y)\)。
2.2 向量加法的几何意义向量加法可以直观地理解为在坐标系中将两个向量的终点相连，得到一个新的向量。
几何上，向量加法表示的是两个向量的位移合成。
第三章：平行向量的加法3.1 平行向量的定义平行向量是指方向相同或相反的向量。
如果两个向量平行，它们的坐标成比例。
3.2 平行向量的加法规则平行向量相加时，可以直接将它们的大小相加，方向不变。
如果\(\vec{a}\) 和\(\vec{b}\) 是平行向量，\(\vec{a} + \vec{b} = (a + b, c)\)，其中\(a\) 和\(b\) 是向量的大小，\(c\) 是它们的方向。
第四章：向量的减法运算4.1 向量减法的定义向量减法是将一个向量从另一个向量中减去。
如果\(\vec{a} = (a_x, a_y)\) 和\(\vec{b} = (b_x, b_y)\)，它们的差\(\vec{d}\) 可以表示为\(\vec{d} = \vec{a} \vec{b} = (a_x b_x, a_y b_y)\)。
4.2 向量减法的几何意义向量减法可以理解为从起点到终点的位移减去从起点到另一个终点的位移。
向量加法运算及其几何意义
向量模长关系
向量加法满足三角形不等式，即对于 任意三个向量$vec{A}$、$vec{B}$和 $vec{C}$，有$|vec{A} + vec{B}| leq |vec{A}| + |vec{B}|$。
解释
三角形不等式表明，任意三个向量的 和的模长不大于这三个向量模长的和， 这是向量加法的一个重要性质。
03
向量加法的运算律
交换律
总结词
向量加法的交换律是指向量加法满足可 交换性，即交换向量的顺序不影响向量 的和。
VS
详细描述
交换律意味着向量加法不依赖于向量的顺 序，即向量加法满足可交换性。这意味着 向量加法不具有方向性，只关注向量的起 点和终点。在几何上，这意味着无论向量 a和向量b的顺序如何，向量a加向量b的 结果都等于向量b加向量a的结果。
结合律
总结词
向量加法的结合律是指向量的加法满足结合性，即向量的加法运算不改变其结合方式。
详细描述
结合律意味着向量加法满足结合性，即向量的加法运算不改变其结合方式。这意味着无 论向量a、向量b和向量c的组合方式如何，(向量a加向量b)加向量c的结果都等于向量a 加(向量b加向量c)的结果。在几何上，这意味着向量的加法运算不依赖于其组合方式，
向量的表示方法
几何表示法
用有向线段表示向量，箭头指向表示方向，长度表示大小。
代数表示法
用有序实数对表示向量，第一个数表示横坐标，第二个数表 示纵坐标。
向量加法的定义及性质
定义：向量加法是指将两 个向量首尾相接，形成一
个新的向量。
向量加法满足结合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)。
向量加法的零元是零向量， 即a+0=0+a=a。
向量加法运算及其几何意义
向量加法运算及其几何意义向量加法是指将两个或多个向量相加的运算。
在数学中，向量加法遵循以下规则：1.向量加法是可交换的。
即，对于任意向量a和b，a+b=b+a。
2.向量加法是可结合的。
即，对于任意向量a、b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
3.零向量是向量加法的单位元素。
即，对于任意向量a，a+0=0+a=a。
几何意义方面，向量加法可以用于描述物体的位移、力的合成以及速度的合成等。
下面以位移和力的合成为例进行解释：1.位移的合成：假设有一辆汽车沿东西方向行驶了100米，然后又沿南北方向行驶了50米。
我们可以将汽车的东西方向的位移表示为向量a=100i，南北方向的位移表示为向量b=50j。
那么，汽车的总位移可以表示为向量c=a+b，即c=100i+50j。
这个向量c表示汽车最终的位置相对于起始位置的位移。
2.力的合成：假设有两个力F1和F2作用在一个物体上，F1的大小为10牛顿，方向为东，F2的大小为5牛顿，方向为北。
我们可以将力F1表示为向量a=10i，力F2表示为向量b=5j。
那么，两个力的合力可以表示为向量c=a+b，即c=10i+5j。
这个向量c表示两个力的合力的大小和方向。
在几何上，向量加法的结果可以通过平行四边形法则进行图示。
以位移为例，我们可以将向量a和向量b的起点放在同一位置，然后将向量a按照其方向和大小绘制出来，再将向量b按照其方向和大小绘制出来。
通过平行四边形法则，我们可以找到一个平行四边形，其两条对角线的交点即为向量a和向量b的和向量c的终点。
总结起来，向量加法是一种将多个向量相加的运算，它遵循可交换和可结合的规则，并且零向量是其单位元素。
在几何上，向量加法可以用于描述位移和力的合成等。
通过平行四边形法则，我们可以找到向量加法的结果的几何意义。
高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义课件3新人教A必修4
【即时小测】
1.思考下列问题.
(1)两个向量相加结果可能是一个数量吗？ 提示：不能，实数相加结果是数，而向量具有方向，所以相加的结果 是向量. (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加，这种说法对吗？ 提示：这种说法是不正确的.向量既有大小又有方向，在进行向量相 加时，不仅要确定长度还要确定向量的方向.
答案：CF
知识点1 向量的加法
【知识探究】
观察图形，回答下列问题：
问题1：三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？ 问题2：共线向量怎样进行求和？ 问题3：当涉及多个向量相加时，运用哪个法则求解？
【总结提升】 1.对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明 (1)两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于 两个不共线的向量求和. (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的. (3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法 则时需要注意两个向量的起点相同.
3.如图，在正六边形ABCDEF中BuuAur
uuur CD
uur EF
=______.
【解析】根据正六边形的性质，对边平行且相等，我们容易得到
uuur uuur uur uuur uuur uur uur uuur uur BA CD EF BA AF EF BF CB CF.
uur
【解题探究】典例图1中a与b有何关系，图2两向量相加可采用哪种方
法进行？图3三向量相加可采用哪种方法进行？ 提示：图1中向量a与向量b共线，图2中两向量相加可采用三角形法则 或平行四边形法则进行.图3中三向量相加可采用三角形法则或平行四 边形法则进行.
【解析】如图中(1)，(2)所示， 首先作OuuAu=r a，然后作 Auu=Burb，则 Ou=uBura+b.
向量加法运算及其几何意义sha
02
向量加法的几何意
义
向量加法的平行四边形法则
平行四边形法则描述了两个向量相加的几何意义，即以两个 向量为邻边作一个平行四边形，其第四个向量等于原两个向 量的和。
具体来说，设向量$overset{longrightarrow}{a}$和向量 $overset{longrightarrow}{b}$为平行四边形的两个邻边， 则它们的和向量$overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}$等于与这两个邻边不共线的对 角线向量。
向量加法的定义和性质
向量加法是一种二元运算，其定义是将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。
向量加法满足结合律和交换律，即(a+b)+c=a+(b+c)，a+b=b+a。
向量加法满足单位元和零元性质，即存在零向量，使得任何向量与零向量的加法结果仍为该向量本身， 同时存在单位向量，使得任何向量与单位向量的加法结果仍为该向量本身。
数学中的向量加法
向量空间
在数学中，向量空间是一个由向量构成 的集合，这些向量通过向量加法进行运 算。向量加法是向量空间中一个基本的 运算，它满足结合律、交换律和分配律 等基本性质。
VS
向量模的计算
向量模是向量的长度或大小。通过向量加 法，可以计算两个向量的和，进而计算出 它们的模。
工程中的向量加法
向量加法运算及其几 何意义
目录
CONTENTS
• 向量加法的定义 • 向量加法的几何意义 • 向量加法的应用 • 向量加法的扩展
01
向量加法的定义
向量的表示
向量可以用几何图形表示，如线段、 箭头等。
第二章向量的加法【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟 求和向量的方法
(1)利用三角形法则.在平面内任取一点,以该点为始点,将其中一向量的
起点平移至该点,之后再将其他向量平移并首尾相接,从一个向量的始
点到另外一个向量的终点的向量就是这两个向量的和.
(2)利用平行四边形法则.在平面内任取一点,从此点出发分别作两个向量
如今,两岸直航包机启航.若台北到香港的位移用向量a表示,香港到
上海的位移用向量b表示,台北到上海的位移用向量c表示.
想一想,向量a、b、c有何关系?
激趣诱思
知识点拨
一、向量的加法及其运算法则
1.向量加法的概念
求两个向量和的运算,称为向量的加法.
2.向量加法的平行四边形法则
已知两个不共线的向量 a,b,如图,在平面内任取一点 A,作有向线段
想一想,向量a、b、c有何关系?
以前台胞春节期间来大陆探亲,乘飞机先从台北到香港,再从香港到上海.
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.
变式训练2在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是(
)
实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
的结合律调整向量相加的顺序.
探究一
探究二
探究三
变式训练3下列等式错误的是(
A.a+0=0+a=a
B. + + =0
C. + =0
D. + = + +
答案B
探究四
)
当堂检测
探究一
探究二
向量的加法运算及其几何意义课件
向量加法在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，向量加法常用于表示力的合成与分解。通过向量加法，可以计算出多 个力的合力或分力。
速度和加速度的叠加
在运动学中，向量加法用于表示速度和加速度的叠加。例如，在平抛运动中，物 体的速度和加速度可以通过向量加法进行计算。
向量加法在解析几何中的应用
02
向量加法的几何意义
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法的平行四边形法则是向量加法的基本法则之一，它 表示两个向量相加时，可以将其视为沿平行四边形的对角线 进行矢量合成。
详细描述
根据平行四边形法则，设$vec{A}$和$vec{B}$为两个向量， 将它们首尾相接，然后作一个平行四边形，其对角线向量即 为$vec{A} + vec{B}$。
向量加法的性质
01 02
性质1
向量加法满足结合律，即$(overrightarrow{A} + overrightarrow{B}) + overrightarrow{C} = overrightarrow{A} + (overrightarrow{B} + overrightarrow{C})$。
中$overrightarrow{0}$表示零向量。
向量加法的坐标表示
• 坐标表示：在直角坐标系中，向量$\overrightarrow{A}$和 $\overrightarrow{B}$可以用坐标表示为$\overrightarrow{A} = (x_1, y_1)$和$\overrightarrow{B} = (x_2, y_2)$，则它们的 和$\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$的坐标为 $(x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
向量的加法运算及其几何意义
向量的加法运算及其几何意义引言向量是数学中一个重要的概念，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
向量的加法运算是向量计算中的基本操作之一，具有重要的几何意义。
本文将介绍向量的加法运算的定义、性质以及其在几何上的意义。
向量的加法定义向量是具有大小和方向的量，可以用有序数对表示。
向量的加法定义如下：设有两个向量a和a，表示为a = (a₁, a₂, …, aa)和a = (a₁, a₂, …, aa)，则两个向量的和记为a + a，它的每个分量等于对应分量之和，即(a₁ + a₁, a₂ + a₂, …, aa + aa)。
向量的加法性质向量的加法满足以下性质：1.交换律：a + a = a + a，即向量的加法是可交换的。
2.结合律：(a + a) + a = a + (a + a)，即向量的加法满足结合律。
3.零向量：对于任意向量a，存在一个称为零向量的特殊向量a，满足a + a = a。
4.相反向量：对于任意向量a，存在一个称为相反向量的特殊向量−a，满足a + (−a) = a。
这些性质使得向量的加法成为一个群运算，为后续的研究提供了基础。
向量加法与向量几何意义向量的加法在几何上有很重要的意义。
几何向量可以通过箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量的加法运算可以通过将两个向量的箭头连接起来得到。
当两个向量的方向相同且大小相等时，它们的加法运算结果是一个与它们方向相同且大小等于它们之和的向量。
这可以用以下图形表示：--------- --------------- --------- ----------------------------------当两个向量的方向相反且大小相等时，它们的加法运算结果是一个大小为零的向量。
这可以用以下图形表示：---------------------------------- --------- --------------- ---------当两个向量的方向不同且大小不等时，它们的加法运算结果是一个向量。
向量加法运算及其几何意义
向量加法运算及其几何意义向量加法是指将两个或多个向量相加的运算。
在向量加法中，将两个向量的对应分量相加，得到的结果向量被称为它们的和向量。
下面将从数学和几何的角度分别探讨向量加法的运算及其几何意义。
一、数学角度：1.向量的表示：向量通常用一个有向线段或箭头表示，箭头所指的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小或模。
一个向量通常用字母加上一个箭头上的向量符号表示，例如向量a可以表示为→a。
2.向量的分量表示：向量在坐标系中的表示通常采用分量表示法。
例如，向量a的表示可以表示为(a₁,a₂,a₃)。
这表示向量a在x、y、z轴上的分量分别为a₁、a₂、a₃。
3.向量的加法：给定两个向量a和b，其分量表示分别为(a₁,a₂,a₃)和(b₁,b₂,b₃)，那么它们的和向量c可以表示为(c₁,c₂,c₃)，其中c₁=a₁+b₁，c₂=a₂+b₂，c₃=a₃+b₃。
4.向量加法的性质：向量加法满足交换律和结合律，即a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。
这意味着可以按照任意顺序加法运算，并且可以同时对多个向量进行加法运算。
二、几何角度：1.平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，它们被称为平行向量。
对于平行向量a和b，它们的和向量c的方向与它们相同，并且大小是它们的大小之和。
2.共线向量：如果两个向量的方向相同或者它们的起点和终点相同，那么它们是共线向量。
对于共线向量a和b，它们的和向量c的起点和终点分别是a和b的起点和终点。
3.零向量：零向量是一个大小为0的向量，在坐标系中表示为(0,0,0)。
任何向量与零向量相加的结果都等于该向量本身。
4.平行四边形法则：根据平行四边形法则，可以通过将两个向量的起点放在一起，然后将它们的终点连接起来得到一个平行四边形。
两个向量的和向量等于对角线的向量。
5.三角形法则：根据三角形法则，如果两个向量的起点相同，那么可以通过将它们的终点连接起来得到一个三角形。
两个向量的和向量等于这个三角形的第三条边的向量。
向量的加法运算及其几何意义课件
在解析几何中，向量加法可以用于线性组合的计算。线性组 合是指一组向量的加权和，即$overset{longrightarrow}{D} = lambdaoverset{longrightarrow}{A} + muoverset{longrightarrow}{B}$，其中$lambda$和$mu$ 为实数。线性组合在解决实际问题中具有广泛的应用。
应用拓展
随着科技的进步，向量加法的应用领域将不断拓展，如人工智能、信号处理、图像处理等，为解 决实际问题提供更多有效的方法。
算法优化
随着计算技术的发展，向量加法的算法将不断优化，提高计算效率和精度，为相关领域的研究和 应用提供更好的支持。
THANKS
感谢观看
向量的加法运算及其几何意义
• 向量加法的定义与性质 • 向量加法的几何意义 • 向量加法的运算规则 • 向量加法的应用实例 • 总结与展望
01
向量加法的定义与性质
向量加法的定义
向量加法是由平行四边形法则或三角形法则定义的。在二维空间中，向量加法可以通过连接两个向量 的起点和终点，并绘制一个平行四边形来完成。在三维空间中，向量加法可以通过连接两个向量的起 点和终点，并绘制一个三角形来完成。
物理应用
向量加法在物理中有广泛的应用， 如速度、加速度、力的合成等， 通过向量加法可以更直观地理解 物理现象。
解析几何
向量加法在解析几何中也有重要 的意义，它可以用来描述平面或 空间中的点、线、面等几何对象 的位置和方向。
向量加法的未来发展
理论完善
随着数学和物理学等学科的发展，向量加法的理论体系将进一步完善，为相关领域的研究提供更 坚实的基础。
算。
03
向量加法的运算规则
3.向量加法运算及其几何意义最后一次更新
ab
a
（3）
ab
b a b
b
（2）
ab
a
b
b
（4 ） a b
a
b b
小结：向量加法的三角形法则(首尾相接连端点)
图示：
a a a a a a a a a a b
B
b b A
b
C
b
b a+b
b
b
b
三角形法则作法：
1在平面内任取一点A 2作AB a, BC b 3则向量AC a b
a， b反向且 a b a， b反向且 a b
向量加 法
结论： a b a b a b
14, 2 已知 a 8, b 6, 则 a b 的最大值和最小值是 ___
总结：用三角形法则和平行四边形法则求作两个
向量的和向量，其作图特点分别如何？
三角形法则：首尾相接连端点 平行四边形法则：起点相同连对角. 注意：准确理解向量加法的三角形法则和平
判断下列命题是否正确,若不正确,请简 述理由.
(1)两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同. (2) 若m = n, n = k, 则m = k ; (3)若非零向量 a与b 共线,则 a = b (4)四边形ABCD是平行四边形,则必有 AB = DC (5)向量 a与b 平行,则 a与b 的方向相同或相反
向量加法
向量加 法
学以致用
探究： AB BC CD DE JK ? AK
首尾相接的多个向 量加法，和向量由第一 K 个向量的起点指向最后 一个向量的终点.
J
F
E D B
C
AB BC CD DE
向量加法运算及其几何意义详解-PPT
思考1:位移得合成 如图,某人从点A到点B,再从点B改变方向 到点C,则两次位移得与可用什么来表示？ 由此可得什么结论？
C
AB BC AC
A
B
上述分析表明,位移得合成可瞧作就是向 量得加法。
思考2:力得合成
F1
G
E
O
C
它们之间有
什么关系？
G
E
F2
F为F1与 F2得合力 G
D
C
A
B
解 : (1)如图, AD表示船速, AB表示水速, 以AD, AB为邻边作平行四边形ABCD,
则AC表示船实际航行的速度.
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹
O
F1 A
F
E FC
O
F2 B
向量加法运算及其几何意义
向量得加法:
a
C
首指向尾为与 首尾顺次相接
ab
b
b
A
a
B
已知非零向量 a 、b , 在平面内任取一点A, 作 AB a, BC b,
则向量 AC叫做a与b的和，记作a b,即
a b AB BC AC 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.
a+b ____ a + b (<,>,≤,≥,≠)
非零向量a,b处于什么位置时？
探究 1 a+b < a + b a，b不共线或共线反向 2 a+b = a + b a，b共线且同向 3 a+b = a - b a，b反向且 a ≥ b
向量加减运算及几何意义
向量加减运算及几何意义一、向量加法的定义和运算规则向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有两个向量A和A，它们的加法可以表示为：A=A+A其中，A表示两个向量相加得到的新向量。
向量加法的运算规则如下：1.交换律：A+A=A+A2.结合律：(A+A)+A=A+(A+A)3.零向量：对于任意向量A，都有A+A=A，其中A表示零向量。
二、向量减法的定义和运算规则向量减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有两个向量A和A，它们的减法可以表示为：A=A-A其中，A表示将向量A从向量A中减去得到的新向量。
向量减法的运算规则如下：1.减法的定义：A-A=A+(-A)，其中-A表示向量A的负向量。
2.减法与加法的关系：A-A=A+(-A)=-(A-A)三、向量加减运算的几何意义1.位移：设有两个向量A和A，A表示物体的起始位置，A表示物体的终止位置。
向量加法A=A+A表示物体从起始位置到终止位置的位移向量。
2.速度：速度是位移随时间的变化率，可以用向量表示。
设有两个位移向量A和A，A表示物体在起始时刻的位置，A表示物体在终止时刻的位置。
则速度向量A=A-A表示物体在起始时刻到终止时刻的平均速度向量。
3.加速度：加速度是速度随时间的变化率，也可以用向量表示。
设有三个速度向量A、A和A，A表示物体在起始时刻的速度，A表示物体在中间时刻的速度，A表示物体在终止时刻的速度。
则加速度向量A=(A-A)/t表示物体在起始时刻到终止时刻的平均加速度向量，其中t表示时间间隔。
4.平行四边形法则：设有两个向量A和A，它们的和向量A=A+A可以用平行四边形法则来表示。
将向量A和A的起点放在一起，将它们的终点连接起来，得到一个平行四边形，那么向量A就是该平行四边形的对角线向量。
总结：向量加减运算的几何意义主要体现在描述物体的位移、速度和加速度等几何特征上。
它们可以帮助我们理解物体在空间中的运动规律，并且可以通过向量的加减运算得到物体的位移、速度和加速度等重要信息。
2.2.1向量的加法运算及其几何意义3
b a+b
b
B Aa
特点：（通过平移）
起点相同
不同法则，效果相同
教材84页1,2题
练习答案
1、（1）
ab
b
a
（3） a b b
a
b
2、（1）
b
b
ab a
（2）
b a ab b
（4） a b
b
a
b
（2） b
a
ab
a
向量加法的运算律
1、交换律 a b b a
a
B
C
oc b a
C
A
B
AB BC —A—CA—
已知向量a , b,求作向量a + b
b a
作法（1）在平面内任取一点O
(2)作 OA a, b
o·
(3)则OB a b
A 位移的合成可以看作向量加法 三角形法则的物理模型。
B
注意:首尾相连
思考:当向量a,b为共线向量时,a b如何作出来?
2.2.1向量加法运算 及其几何意义
由于大陆和台湾没有直航，因此2003年春节探亲，乘飞机要 先从台北到香港，再从香港到上海，2005年实行春节包机之 后可直接由台北飞往上海,说明什么?
位移是向量还是数量？
上海
台北 香港
向量的加法
飞机从A到B,再改变方向从B到C,则两次的位 移的和应该是: AC
教材91页第2,3,4题
D是ABC的边BC的中点，则 AD与AB，AC有怎样的关系？
AD 1 (AB AC) 2
E, F分别是梯形ABCD腰AB，CD的中点，
则EF与AD，BC有怎样的关系？
向量加法运算及其几何意义 课件
角的绳子的拉力是 150 N.
反思解决与向量有关的实际应用题,应按照如下步骤解题:
弄清实际问题→数学问题→正确画出图形→用向量表示实际量
→向量运算→回扣实际问题→作出解答
【变式训练3】 一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行
仍然是一个向量.
(2)三角形法则:如图甲所示,已知非零向量 a,b,在平面内任取一
点 A,作 =a, =b,则向量 叫做向量a 与 b 的和,记作 a+b.这种
求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则.
(3)平行四边形法则:已知两个不共线向量 a,b(如图乙所示),作
=a, =b,则 A,B,D 三点不共线,以,
驶,船实际航行方向与水流方向成30°角,求水流速度和船的实际
速度.
解:如图, 表示水流速度,
表示船垂直于对岸的方向行驶的速度,
表示船实际航行的速度,
∠AOC=30°,| | = 5 km/h.
∵四边形 OACB 为矩形,
||
||
∴|| = tan30°= 5 3(km/h), | | = sin30°= 10(km/h),
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图时要求两个
向量的起点重合.
(3)当两个向量不共线时,两个法则实质上是一致的,三角形法则
作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半,在多个向量的加
法中,利用三角形法则更为简便.
(4)当两个向量共线时,利用三角形法则,即两个向量首尾相接,以
第一个向量的起点为起点,以第二个向量的终点为终点的向量就是
(a+b)+c=a+(b+c)
向量加法运算及其几何意义教学课件
向量加法的向量场意义
总结词
向量加法的向量场意义是指向量加法运算在物理或工程领域中的实际应用，通过向量场来描述物体运动或力的作 用。
详细描述
在物理或工程领域中，向量场是由一系列向量构成的场，用来描述物体运动或力的作用。向量加法的向量场意义 在于，当物体在力场中运动时，其位移或速度的变化可以通过向量的加法运算来描述。例如，物体在力的作用下 产生的位移可以看作是初始位置的向量与力的向量的和。
详细描述
在物理中，当存在多个力作用在一个物体上时，需要使用向量加法来计算这些力的合力。同样地，当 需要将一个力分解为多个分力时，也可以通过向量加法来实现。通过力的合成与分解，可以更深入地 理解力的作用效果和物体运动状态的变化。
速度与加速度的合成
总结词
速度和加速度是描述物体运动状态的物理量，它们的合成也是向量加法在物理 中的重要应用。
解析
根据向量加法的定义， $vec{a} + vec{b} = (1+3, 2+1) = (4, 3)$。
题目2
已知$vec{a} = (-2, -3)$， $vec{b} = (4, 6)$ ，求 $vec{a} + vec{b}$。
解析
根据向量加法的定义， $vec{a} + vec{b} = (2+4, -3+6) = (2, 3)$。
进阶练习题
题目3
解析
题目4பைடு நூலகம்
解析
已知 $vec{a} = (x, y)$ ， $vec{b} = (2, 3)$ ，且 $vec{a} + vec{b} = (4, 5)$，求$x$和$y$的值。
根据向量加法的定义和已
已知$vec{a} = (1, -2)$，
向量的加法运算及其几何意义 课件
法 图形 则
规定 零向量与任一向量 a 的和都有 a＋0＝ 0＋a ＝ a .
2．向量加法的运算律
运算律
交换律 结合律
a＋b＝ b＋a (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)
向量加法及其几何意义 [典例] 如图1，图2，图3所示，求作向量和．
[解] 如图中①，②所示，
首先作OA＝a，然后作 AB＝b，则OB＝a＋b. 如图③所示，作 AB＝a，BC ＝b，则 AC ＝ a＋b，再作CD＝c，则 AD＝ AC ＋CD＝(a＋b) ＋c，即 AD＝a＋b＋c.
三 角 法则 形 法
作法 结论
在平面内任取一点A，作 AB ＝a， BC ＝b，再作向量 AC 向量 AC 叫做a与b的和，记作a＋b，即 a＋b＝ AB＋BC ＝ AC
则 图形
平 前提
已知不共线的两个向量 a，b
法 则
行 四 边 形
作法 结论
在平面内任取一点 O，以同一点 O 为起点的两个 已知向量 a，b 为邻边作 OACB 对角线OC 就是 a 与 b 的和
应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题 (1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求 “首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第 一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量． (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图 时要求两个向量的起点重合． (3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更 简单．
？ (2)在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？ (3)向量加法的运算律有哪两条？ (4)|a＋b|，|a|＋|b|，|a|－|b|三者之间的大小有何关系？
1．向量加法的定义及运算法则
定义
求 两个向量和 的运算，叫做向量的加法
向量的加法运算及其几何意义
向量的加法运算及其几何意义一、向量加法的两个法则： （1）“三角形法则” （2）“平行四边形法则”向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
2、化简：AB DF CD BC FA ++++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r向量减法——三角形法则例．在平行四边形ABCD 中，AB =u u u r a ，AD =u u u r b ，用a 、b 表示向量AC u u u r 、DB u u ur 。
共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线时即a ∥b ，充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .1.平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|4.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos__θ 叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos__θ的乘积. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角.1. 两个向量的数量积：. cos |||| θb a b a =⋅2. 平面两向量数量积的坐标表示: .2121y y x x b a +=⋅3. 向量平行与垂直的判定:.0//1221=-⇔y x y x .02121=+⇔⊥y y x x4. 平面内两点间的距离公式： 221221)()(||y y x x AB -+-=5. 求模：=22y x +=221221)()(y y x x -+-=6，夹角：cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 熟练运算1.已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b |＝2.已知|→a |=2，|→b |=1，→a 与→b 之间的夹角为3π，那么向量→m =→a －4→b 的模为（ ）A.2 B .23 C.6 D.123.已知→a ⊥→b 、→c 与→a 、→b 的夹角均为60°，且|→a |=1，|→b |=2，|→c |=3，则(→a +2→b －→c )２＝______. 4.若→a =(0,1), →b =(1,1) ，且(→a +x →b )⊥→a ，则x 的值是 ( ) A.0 B.1 C. -1 D.25.设单位向量→m =(x, y), →b =(2,1)，若→m ⊥→b 则 |x+2y|=____ ____.6.已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________. 7，已知向量a ，b 满足a ·(a －2b )＝3，且|a |＝1，b ＝(1，1)，则a 与b 的夹角为( ) A.π4B.π3C.3π4D.2π38.向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，(a ＋b )⊥(2a －b )，则向量a 与b 的夹角为( )9.已知A (－1，cos θ)，B (sin θ，1)，若|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|(O 为坐标原点)，则锐角θ＝________.10．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16,0D ．4,011．已知)1,2(=a ρ与)2,1(=b ρ，要使b t a ρρ+最小，则实数t 的值为___________。
向量加法运算及几何意义
详细描述
在向量场中，向量表示空间中某点的方向和大小。通过向量的加法运算，可以描述物体在空间中的运动和相互作用。例如，力场中的合力、速度场中的合速度等都可以通过向量的加法运算得到。
向量加法的向量场意义
03
向量加法的性质
VS
向量加法的交换律是指两个向量相加时，交换两个向量的位置，其和向量不变。
详细描述
04
向量加法在实际问题中的应用
力的合成
当一个力产生的效果与多个力共同作用产生的效果相同时，可以将这些力合成为一个力。力的合成可以通过向量加法实现，即平行四边形法则或三角形法则。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分力，这些分力共同作用产生与原力相同的效果。力的分解是力的合成的逆运算，同样可以通过向量加法实现。
几何表示法
字母表示法
向量的表示方法
用有向线段表示向量，线段的长度表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。
用黑体字母或加下划线的字母表示向量，如$overset{longrightarrow}{AB}$表示向量AB。
定义：将两个向量首尾相接，形成一个新的向量，称为这两个向量的和，记作$\overset{\longrightarrow}{AB} + \overset{\longrightarrow}{CD}$。
向量加法的结合律
向量加法与数乘的结合律
数乘与向量加法的结合律是指数乘向量与另一个向量相加时，改变相加的顺序，其和向量不变。
总结词
数乘与向量加法的结合律也是基本的数学性质之一，表示数乘与向量加法不满足结合律。即，对于任意实数$k$、向量$overset{longrightarrow}{a}$和$overset{longrightarrow}{b}$，有$(koverset{longrightarrow}{a}) + overset{longrightarrow}{b} = k(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b})$。
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向量的加法及其几何意义3课题：向量的加法运算及其几何意义陵水中学数学组李顺美授课类型：新授课课时安排：1课时教材分析：本节课取自普通高中课程标准实验教科书数学4（必修•人民教育出版社A版）第二章2.2.1，向量是近代数学中重要和基本的数学概念，它既是代数的对象，又是几何的对象。
向量作为代数对象，可以像数一样进行运算。
作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线，平面，切线等几何对象；向量有长度，可以解决有关几何对象得长度，面积，体积等几何度量问题。
向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，因此，向量是集数，形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。
同时也是重要的物理模型，平面力场，平面位移以及二者混合产生的做功问题，都可以用向量空间来刻画和描述。
向量不仅沟通了代数与几何的联系，而且体现了近现代数学的思想，它在高中数学中的重要地位是不言而喻的。
学生情况：学生已经通过2.1的学习，掌握了向量的概念、几何表示，理解了什么是相等向量和共线向量，在学习物理的过程中，已经知道位移，速度和力这些物理量都是向量，可以合成，而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则。
为本课题的引入提供了较好的条件。
三维教学目标:一、教学知识目标:⑴掌握向量加法的定义⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量⑶理解向量加法的运算律二、教学能力目标：让学生了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言与方法表述和解决数学和物理中的一些问题，培养类比、迁移、分类、归纳等能力。
发展运算能力和解决实际问题的能力。
三、情感态度：理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学应用意识。
教学重点、难点教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.教学难点：向量的运算律的理解教学过程：一、回顾旧知：1、什么叫向量？如何表示向量？既有大小，又有方向的量叫做向量。
向量可用有向线段来表示。
2、什么叫相等向量？方向相同，长度相等的两个向量叫做相等向量。
3、什么叫平行向量？方向相同或相反的两个非零向量，叫做平行向量，平行向量也叫共线向量？二、创设问题情景，引入新课【设计思路】：学生虽然具备一定的物理知识，不过对于合力的定义，同样是高一才开始接触，有必要安排实验让学生再次认识合力的大小和方向，学生经过直观实验的观察和分析，很自然地认识三角形法则和平行四边形法则，为向量的加法定义做铺垫。
准备适当的器材，让学生分组实验讨论：问题（1）用二个互相垂直的力F1=3，F2=4把橡皮条拉长一定的距离OE，再撤去F1，F2，用一个力F作用在橡皮条上，使橡皮沿着相同的方向伸长相同的长度，记录F的大小和方向问题（2）改变F1，F2的大小和方向，重复以上实验，探究F与F1，F2的关系（学生代表发言）结论：排除误差，合力F的方向在以F1，F2的为邻边的平行四边形的对角线上，且大小等于平行四边形的对角线的长。
问题（3）飞机从点A经过点B到C，两次位移«Skip Record If...»的结果与位移«Skip Record If...»比较？结论：«Skip Record If...»的结果为«Skip Record If...»，与从A点直接到C点的位移«Skip Record If...»相同结论：位移和力都可以看成向量，从物理的角度，力F和位移«Skip Record If...»都得到相同的效果，我们把它们称为合力和合位移，从数学的角度可以把它们看成是二个向量相加。
那么根据以上实验结果，我们如何定义二个向量的加法呢？ 三、 向量加法定义的探究【设计思路】：对于此环节，比较常见的处理方式是直接给出定义，事实上，学生通过引入环节的活动可以初步认识四边形法则和三角形法则，让学生通过讨论探究选择合适的方式作为定义，能调动学生的积极性，激发学生的思维，同时也让学生在比较讨论中进一步掌握二种方式的特点。
1、关于加法定义的探讨让学生讨论，怎么定义任意二个向量的和？（教师在黑板上画出二个自由向量），学生讨论以后可能会出现以下二个定义方式：（1）在平面内过同一点O 作«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则以OE 、EB 为邻边构造平行四边形OEBA ，则以O 为起点的对角线向量«Skip Record If...»即«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的和 «Skip Record If...»（2）已知向量«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，在平面内任取一点«Skip Record If...»，作«Skip Record If...»，则向量«Skip Record If...»叫做向量«Skip Record If...»的和．记作：«Skip Record If...»，即B«OEA«S«S«Skip Record If...»．«Skip Record If...»«Skip Record If...»学生发言完成后，教师针对方式一提问： 把二个向量平移到什么位置即可做平行四边形？-----共起点教师针对方式二提问： 把二个向量平移到什么位置------首尾连接 二个向量的和起点是哪个？终点是哪个？ 针对二种方式让学生思考那种定义更加严密？仍然分小组讨论后发言，根据学生的回答，教师适当提示，启发学生注意到第一种定义方式对于二个向量不能构成平行四边形时要增加补充说明，即二向量共线时的向量和如何？教师提示学生考虑：某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和为什么？学生可以很快得出二个向量共线时； (1) 同向： （2）反向： «Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»同样也满足第二种定义方式，因此用方式2给出出二向量和定义： 2、向量加法定义：已知向量«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，在平面内任取一点«Skip Record If...»，作«Skip Record If...»，则向量«Skip Record If...»叫做向量«Skip Record If...»的A «SB «S«S kip C和．记作：«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»．求两向量和的运算，叫向量的加法．«Skip Record If...» C«Skip Record If...»«Skip Record If...»问题；当二向量中有一个向量为«Skip Record If...»时，它们的和为？ 学生根据生活经验马上可以得出： «Skip Record If...»， 教师从零向量的几何意义说明此结果也同样符合向量的加法定义。
3、向量加法的二个运算法则【设计思路】：此环节目的为强化巩固以上二个环节，学生通过前面学习探究，已经掌握二个运算法则的关键所在，即三角形法则的“首尾连接”和四边形法则中的“起点相同”，本环节系统概括、适当拓展并且利用适当的练习，帮助学生找出易错点，进一步突出重点。
（1）、向量加法的三角形法则：在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则例题1：如图，已知向量«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，用三角形法则求作向量«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»教师提示注意点A CB «S «S kipA要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。
B 二个向量共线时向量和也满足三角形法则练习1：如图：已知向量«Skip Record If...»，用向量加法的三角形法则作出«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«S«Skip Record If...»«SkipRecord If...»«SkipRecord If...»练习2：下列各式中正确的有 ( )（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...»（4）«Skip Record If...»A．1个 B．2个 C．3个 D．4个C 三角形法则可以推广到n个向量相加的情况：«Skip Record If...»（注意字母必须首尾顺次连接首尾）练习3：根据图示填空：（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...»（4）«Skip Record If...»D 位移的合成可以看成是向量加法三角形法则的物理模型（2）向量加法的四边形法则：例题2：如图，已知向量«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，用平行四边形法则求作向量«Skip Record If...»教师通过例题2示范平行四边形的作图过程，并提示注意点：A 从两个向量的公共始点出发作和向量．即三个向量都共起点B 力的合成可以看成是向量加法的平行四边形法则的物理模型四、向量加法定义的运算律abdA BCEcfegA BCDAB BC CA++=【设计思路】： 本环节为本节课的难点，采用启发讨论式教学，让学生分组讨论，教师巡堂指导，学生在尝试证明和对比分析讨论的过程理解二个运算律教师：向量的加法既然是一种运算，它应该具有一些运算律？请同学们类比实数加法运算律，猜测一下是什么？学生：交换律：+ = +结合律：(+ ) += + (+)师：这仅是猜测，是否正确，请同学们利用下图讨论如何验证？请同学协作讨论以后写出证明过程，教师投影学生习作，并根据情况进行归纳点评。