第三章机构的运动分析

1、构件（或原动件）—— 同一构件上点的运动分析 已知该构件上一点的运动（位置、速度、加速 度），构件的运动（角位置、角速度、角加速度）， 及已知点到所求点的距离。求同一构件上其它点的 运动（位置、速度、加速度）。 如图 b-1 所示的构件 AB ，已知：
运动副A的（xA、yA、x 、yA、x 、y A）和
∵ P23为2、3两构件的同速点，
V3 =V3 P23 = V2 P23 = ω2 P12 P23μL （方向垂直向上）
P13
∞
P12
图3-3
§3—3 用解析法作机构的运动分析
常用的解析法有： 矢量方程解析法、矩阵法、 复数矢量法、杆组法。
一、复数矢量法 复数矢量法是先写出机构位置的封闭矢量方 程式，然后将它对时间求一次和二次导数即得 速度和加速度矢量方程式，最后用复数矢量运 算法求出所需的运动参数。 机构位置的封闭矢量方程式
第三章 平面机构的运动分析
§3—1 机构运动分析的目的及方法 §3—2 用速度瞬心法作机构的速度分析 §3—3 用解析法作机构的运动分析
§3—1 机构运动分析的目的及方法
机构的运动分析，就是根据原动件给定的运动规律， 来分析这个机构其它构件上某些点的位移、轨迹、速度、 加速度，以及构件的角位移、角速度、角加速度。 一、运动分析的目的 1、进行机构的位移或轨迹分析 1）确定某些构件在运动时所需的 空间、执行构件的行程； 2）判断机构运动时各构件之间是 否会发生互相干涉； 3）考察某构件或构件上某些点能 否实现预定的位置或轨迹要求。
L3 θ3+isinθ3) + (cos
L4
(cos θ2+isinθ2) = L1 (cosθ1+isinθ1)+ L 2
L3 θ3+isinθ3) + (cos
L4
L 3 θ3 + cosθ2 = cos 分离虚、实部：L1 cosθ1 + L2 L1 sinθ1 + L2sinθ2 = L sin 3 θ3



各杆以 L1 L2 L3
（1）位移分析：
L1 + L2





L4


矢量形式表示，标出各矢量的θ。
求 θ2 、 θ3
= L3 + L 4
用复数表示为：L1 e iθ 1 + L2 e iθ 2 = L3 e iθ 3 + L4 （3-7） 按欧拉公式展开：
L1 (cosθ1+isinθ1)+ L (cos θ2+isinθ2) = 2
3、RPRⅡ级杆组：由2个外转动副、1个内移动副和2个
构件组成 如图b-3，已知各杆长Li、Lj、Lk（Li、Lk杆垂直导路），
外转动副B、D的运动（xB、yB、 xB、 y B、 y B 、xD、 xB 、
yD、xD 、 yD 、 y D ）。 xD、





求：内副C的运动（xC、

欧拉公式展开：
L1 θ 1i (cosθ1+isinθ1)+

i(cosθ L2 θ 2+isinθ2) = 2
L2θ 2 sinθ2 + L3 θ sin 3 θ3 =


i(cosθ L 3 θ 3 3+isinθ3)
θ 1 θ1 L1sin


分离虚、实部：-


L2 θ 2 cosθ2 - L3θ 3 cosθ3 = -
a）
图3-1
b）
2）两构件组成移动副时，则瞬心位于导路垂线的无 穷远处（图3-1b）；
3） 两构件组成纯滚动的高副时，则接触点即为 瞬心（图3-1 c）；
c）
图3-1
d）
4）两构件组成滚动兼滑动的高副时，其瞬心应位 于过接触点的公法线上，具体位置尚需根据其 它条件才能确定（图3-1 d）。
2、用“三心定理”——不直接成副的两构件
P12 P23
ω1
P13 P14
ω3 P34
例2：如图3-3所示的凸轮机构，已知各构件的尺寸，凸轮 2的角速度为ω2，试求在图示位置时从动件3的移动 速度V3。 解：作机构运动简图并找出机构的全部速度瞬心 P12、 P13、 P23 P23
位于K点的公法线上；
位于P12 、 P13直线上；
P23
利用P23求
L1 e iθ 1 + L2 e iθ 2 = L3 e iθ 3
+ L4
（3-7）

2、速度分析：求
θ2


θ3
iθ 1

( re ) = ( r θ )i e + re iθ
+ ( L2 θ 2 ) i e

iθ
iθ

( L1 θ 1 ) i e 对（3-7）式求导：
iθ 2
3 (**) =( L3θ 3 ) i eiθ
L1 θ cos 1 θ1

解得： θ 2 (3-12)、

θ 3 (3-13)

( L1 θ 1 ) i e

iθ 1
+ ( L2 θ 2 ) i e

iθ 2
3 (**) =( L3θ 3 ) i eiθ

3、加速度分析： 对（**）式再求导，可解得:
θ2
iθ

（3-15） （3-16） θ3
§3—2 用速度瞬心法作机构的速度分析
一、速度瞬心的概念 相对运动的两构件上没有 相对速度的重合点。
速度瞬心的性质：
1）是两构件的共点（重合点）； 2）是两构件的同速点； 3）是一个构件绕另一个构件的相对转动回转中心点.
二、（机构中）瞬心的数目
机构中每两个构件之间就有一个瞬心，记为Pij（或Pji） 如果一个机构由N个构件（包括机架）所组成， 则瞬心总数为： K= c N = N（N-1）/2 （3-1）
L1 + L2



= L3 + L 4
任一平面向量可以用复数表示
OP = r e = r(cosθ+isinθ) （欧拉公式）
iθ
* 举例：机构的运动分析 已知：杆长L1，L2，L3，L4， 及θ1，ω1。
求：θ2，θ 2， θ 2，θ3 ， θ， 3 θ3 解：建立如图所示直角坐标系，并将
2
* 如图示的四杆机构： K= 4×(4-1)/2 =6 P23、 P24、 P34 P12、 P13、 P14、 即是：
三、各瞬心位置的确定 瞬心位置可用直接观察法、三心定理等方法来确定
1、直接观察法 ——直接成副的两构件 1）两构件组成转动副时，则转动副的 回转中心即为 其瞬心（图3-1a）；
代入(3-9)式，整理得：(C－B) t2+2A t+(B+C)=0 t1、2=
A A2 B2 C2 BC
A A 2 B2 C2 ∴ θ3=2arctg t1、2 =2arctg BC
（3-10）
θ3 + a θ2可代入式(1) ( L2 cosθ2= Lcos 3
)
求得 θ2
(3-9)
其中：A=2b L3 ，B=－2a L3 ，
C= L2 2－L12 － L32 － L42 +2 L1L4cosθ1
A sinθ3+B cosθ3+C=0
(3-9)
2 2 令：t=tg θ 3 ， 则： cosθ3=（1－t ）/ (1+ t ) 2 sinθ3 = 2t / (1+ t2)
L4
（3-8）
令a= L4－ L1 cosθ1，b= Lsin 1 θ1，则：
L2cosθ2=
L2 sinθ2=
θ3 + Lcos 3
a
(1) (2)
2 a)2+( Lsin θ － b) 3 3
L3 sinθ3－b
2=( 2 2 L (1) +(2) 得： 2 L3cosθ3 +
整理得方程：A sinθ3+B cosθ3+C=0
yC 、 、y C），导杆上E点的运 xC、 yC、 xC



动（xE、yEx 、 、 、 、 ），导杆Lj y y x E E E E 的运动（ 、 ）。 ψ j ψ、 j ψ j
图b-3




4、RRPⅡ级杆组：由1个外转动副、1个内转动副、
1个外移动副和2个构件组成 如图b-4，已知杆长Li、Lj（Lj杆垂直导路），外转动副B 的运动（xB、yB、 xB 、 yB 、 y B ），滑块导路方向角和计算位 x、
yB 、 y D ）。 加速度（ xB、 xD 、








求：内运动副C的运动，即位置（xC、 yC）、速度（ xC 、 yC ）、加速度（ xC 、y ）
C



以及两杆运动，即角位置（ ψ j ）、 ψi 、
角速度（ 、 ψ j ）、角加速度 ψi


图b-2
（ψ 、 ）。 ψj i
* 三心定理： 三个彼此作平面平行运动的构件的 三个瞬心必位于同一直线上。
VC2C1 VC3C1 3 2 A ( P12 ) 1 ) B(P 13 A ( P12 ) 2 1 ) B(P 13 C 3
（设构件1固定）
例：确定图所示的平面铰链四杆机构在 图示位置的所有瞬心。
P24
解：K= 4 ×(4-1)/2 =6 ，即：
(re
) = -( r