第三章机构的运动分析

P12 P23
ω1
P13 P14
ω3 P34
例2：如图3-3所示的凸轮机构，已知各构件的尺寸，凸轮 2的角速度为ω2，试求在图示位置时从动件3的移动 速度V3。 解：作机构运动简图并找出机构的全部速度瞬心 P12、 P13、 P23 P23
位于K点的公法线上；
位于P12 、 P13直线上；
P23
利用P23求



各杆以 L1 L2 L3
（1）位移分析：
L1 + L2





L4


矢量形式表示，标出各矢量的θ。
求 θ2 、 θ3
= L3 + L 4
用复数表示为：L1 e iθ 1 + L2 e iθ 2 = L3 e iθ 3 + L4 （3-7） 按欧拉公式展开：
L1 (cosθ1+isinθ1)+ L (cos θ2+isinθ2) = 2
(re
) = -( r
θ 2)

iθ iθ r e θ e + ( r θ )i + r e + (2 )i e
iθ iθ



* 用解析法作机构运动分析的 关键是位置方程的建立和求解， 速度和加速度分析只是其位置方
程对时间t求一次、二次导数。
3-14 在图示的机构中，已知原动件1以等速度ω1=10rad/s逆时针方 向转动，lAB=100mm，lBC=300mm，e=30mm。当θ1=60°时， 试用复数法求构件2的角位移θ2、角速度ω2及构件3的速度V3。
四、利用速度瞬心法进行机构的速度分析 例1：已知图所示机构（μL）各构件的尺寸，原动件1的角 速度为ω1，试求在图示位置时从动件3的ω3。 P24 解： 首先作机构运动简图并 找出机构的全部速度瞬心
利用P13求 ∵ P13为构件1、3的同速点 ∴ V1 P13 = V3 P13 即：ω1 P13 P14μL= ω3 P13 P34μL 则：ω3= ω1 P13 P14 / P13 P34 或 ω1 /ω3= P13 P34/ P13P14 ——机构的传动比。
2
* 如图示的四杆机构： K= 4×(4-1)/2 =6 P23、 P24、 P34 P12、 P13、 P14、 即是：
三、各瞬心位置的确定 瞬心位置可用直接观察法、三心定理等方法来确定
1、直接观察法 ——直接成副的两构件 1）两构件组成转动副时，则转动副的 回转中心即为 其瞬心（图3-1a）；
1、构件（或原动件）—— 同一构件上点的运动分析 已知该构件上一点的运动（位置、速度、加速 度），构件的运动（角位置、角速度、角加速度）， 及已知点到所求点的距离。求同一构件上其它点的 运动（位置、速度、加速度）。 如图 b-1 所示的构件 AB ，已知：
运动副A的（xA、yA、x 、yA、x 、y A）和
L1 e iθ 1 + L2 e iθ 2 = L3 e iθ 3
+ L4
（3-7）

2、速度分析：求
θ2


θ3
iθ 1

( re ) = ( r θ )i e + re iθ
+ ( L2 θ 2 ) i e

iθ
iθ

( L1 θ 1 ) i e 对（3-7）式求导：
iθ 2
3 (**) =( L3θ 3 ) i eiθ
第三章 平面机构的运动分析
§3—1 机构运动分析的目的及方法 §3—2 用速度瞬心法作机构的速度分析 §3—3 用解析法作机构的运动分析
§3—1 机构运动分析的目的及方法
机构的运动分析，就是根据原动件给定的运动规律， 来分析这个机构其它构件上某些点的位移、轨迹、速度、 加速度，以及构件的角位移、角速度、角加速度。 一、运动分析的目的 1、进行机构的位移或轨迹分析 1）确定某些构件在运动时所需的 空间、执行构件的行程； 2）判断机构运动时各构件之间是 否会发生互相干涉； 3）考察某构件或构件上某些点能 否实现预定的位置或轨迹要求。
yC 、 、y C），导杆上E点的运 xC、 yC、 xC



动（xE、yEx 、 、 、 、 ），导杆Lj y y x E E E E 的运动（ 、 ）。 ψ j ψ、 j ψ j
图b-3




4、RRPⅡ级杆组：由1个外转动副、1个内转动副、
1个外移动副和2个构件组成 如图b-4，已知杆长Li、Lj（Lj杆垂直导路），外转动副B 的运动（xB、yB、 xB 、 yB 、 y B ），滑块导路方向角和计算位 x、
L3 θ3+isinθ3) + (cos
L4
(cos θ2+isinθ2) = L1 (cosθ1+isinθ1)+ L 2
L3 θ3+isinθ3) + (cos
L4
L 3 θ3 + cosθ2 = cos 分离虚、实部：L1 cosθ1 + L2 L1 sinθ1 + L2sinθ2 = L sin 3 θ3
* 三心定理： 三个彼此作平面平行运动的构件的 三个瞬心必位于同一直线上。
VC2C1 VC3C1 3 2 A ( P12 ) 1 ) B(P 13 A ( P12 ) 2 1 ) B(P 13 C 3
（设构件1固定）
例：确定图所示的平面铰链四杆机构在 图示位置的所有瞬心。
P24
解：K= 4 ×(4-1)/2 =6 ，即：
§3—2 用速度瞬心法作机构的速度分析
一、速度瞬心的概念 相对运动的两构件上没有 相对速度的重合点。
速度瞬心的性质：
1）是两构件的共点（重合点）； 2）是两构件的同速点； 3）是一个构件绕另一个构件的相对转动回转中心点.
二、（机构中）瞬心的数目
机构中每两个构件之间就有一个瞬心，记为Pij（或Pji） 如果一个机构由N个构件（包括机架）所组成， 则瞬心总数为： K= c N = N（N-1）/2 （3-1）
P12 、 P23、 P34 、 P14 、P13、 P24 * P12 、 P23、 P34 、 P14的位置 由直接观察法确定，
P13
P23
P12 ω1 P14 ω3 P34
* P13 、 P24由“三心定理”来确定：
P13 P24
对于构件1、2、3，位于P12 、 P23直线上；
对于构件1、4、3，位于P14 、 P34直线上； 对于构件2、1、4，位于P12 、 P14直线上； 对于构件2、3、4，位于P23、 P34直线上。

欧拉公式展开：
L1 θ 1i (cosθ1+isinθ1)+

i(cosθ L2 θ 2+isinθ2) = 2
L2θ 2 sinθ2 + L3 θ sin 3 θ3 =


i(cosθ L 3 θ 3 3+isinθ3)
θ 1 θ1 L1sin


分离虚、实部：-


L2 θ 2 cosθ2 - L3θ 3 cosθ3 = -
a）
图3-1
b）
2）两构件组成移动副时，则瞬心位于导路垂线的无 穷远处（图3-1b）；
3） 两构件组成纯滚动的高副时，则接触点即为 瞬心（图3-1 c）；
c）
图3-1
d）
4）两构件组成滚动兼滑动的高副时，其瞬心应位 于过接触点的公法线上，具体位置尚需根据其 它条件才能确定（图3-1 d）。
2、用“三心定理”——不直接成副的两构件
L4
（3-8）
令a= L4－ L1 cosθ1，b= Lsin 1 θ1，则：
L2cosθ2=
L2 sinθ2=
θ3 + Lcos 3
a
(1) (2)
2 a)2+( Lsin θ － b) 3 3
L3 sinθ3－b
2=( 2 2 L (1) +(2) 得： 2 L3cosθ3 +
整理得方程：A sinθ3+B cosθ3+C=0
B



移s时参考点K的位置（xK、yK），若导路运动（如导杆）， 还须给出K点和导路的运动 （xK、yK、 ψ j、 xK 、 yK、 y K、 ψ j ）。 ψ j、 x、
∵ P23为2、3两构件的同速点，
V3 =V3 P23 = V2 P23 = ω2 P12 P23μL （方向垂直向上）
P13
∞
P12
图3-3
§3—3 用解析法作机构的运动分析
常用的解析法有： 矢量方程解析法、矩阵法、 复数矢量法、杆组法。
一、复数矢量法 复数矢量法是先写出机构位置的封闭矢量方 程式，然后将它对时间求一次和二次导数即得 速度和加速度矢量方程式，最后用复数矢量运 算法求出所需的运动参数。 机构位置的封闭矢量方程式
L1 θ cos 1 θ1

解得： θ 2 (3-12)、

θ 3 (3-13)

( L1 θ 1 ) i e

iθ 1
+ ( L2 θ 2 ) i e

iθ 2
3 (**) =( L3θ 3 ) i eiθ

3、加速度分析： 对（**）式再求导，可解得:
θ2
iθ

（3-15） （3-16） θ3
代入(3-9)式，整理得：(C－B) t2+2A t+(B+C)=0 t1、2=
A A2 B2 C2 BC
A A 2 B2 C2 ∴ θ3=2arctg t1、2 =2arctg BC
（3-10）
θ3 + a θ2可代入式(1) ( L2 cosθ2= Lcos 3
)
求得 θ2
θ1
L2 ， e 分别表示各杆的向量，则向量方程式为： s3 ， 解：以 L1 ，
L1 + L2 = s 3 + e








用复数表示为： L1 e
iθ 1
+
L2 e
iθ 2
= s3 e
i0
+e e
i 2
(*)
二、杆组法
只将单个构件及Ⅱ 级杆组 作为数学模型进行运动分析 。
弄清各数学模型的形态、进行运动分析必须具备 的已知条件、 经过运动分析后能求出的运动参数。
2、进行速度分析 1）了解某个构件上某些点的速度 变化规律能否满足工作要求。 2）为加速度分析打下基础。 3、进行加速度分析 确定机构的惯性力，分析机器的动力性能。 二、方法 速度瞬心法 1、图解法： 矢量方程图解法
特点：形象直观，容易掌握。精度不高，作图繁琐。 矢量方程解析法 2、解析法： 矩阵法 复数矢量法 杆组法 特点：精度较高, 便于将机构分析和机构综合结合。没有图 解法形象直观，计算工作量大。
L1 + L2



= L3 + L 4
任一平面向量可以用复数表示
OP = r e = r(cosθ+isinθ) （欧拉公式）
iθ
* 举例：机构的运动分析 已知：杆长L1，L2，L3，L4， 及θ1，ω1。
求：θ2，θ 2， θ 2，θ3 ， θ， 3 θ3 解：建立如图所示直角坐标系，并将
(3-9)
其中：A=2b L3 ，B=－2a L3 ，
C= L2 2－L12 － L32 － L42 +2 L1L4cosθ1
A sinθ3+B cosθ3+C=0
(3-9)
2 2 令：t=tg θ 3 ， 则： cosθ3=（1－t ）/ (1+ t ) 2 sinθ3 = 2t / (1+ t2)
3、RPRⅡ级杆组：由2个外转动副、1个内移动副和2个
构件组成 如图b-3，已知各杆长Li、Lj、Lk（Li、Lk杆垂直导路），
外转动副B、D的运动（xB、yB、 xB、 y B、 y B 、xD、 xB 、
yD、xD 、 yD 、 y D ）。 xD、





求：内副C的运动（xC、
yB 、 y D ）。 加速度（ xB、 xD 、








求：内运动副C的运动，即位置（xC、 yC）、速度（ xC 、 yC ）、加速度（ xC 、y ）
C



以及两杆运动，即角位置（ ψ j ）、 ψi 、
角速度（ 、 ψ j ）、角加速度 ψi


图b-2
（ψ 、 ）。 ψj i
θ3=2arctg t1、2 =2arctg
A A 2 B2 C2 BC
说明：
1）“±”——取决于机构的初始安装模式： “+”号适用于图示机构ABCD位置的安装方案；
“-”号适用于机构ABC′D位置的安装方案。 2）θ31、θ32——取决于从动件运动的连续性：
若|θ31－θ3 | < |θ32－θ3 | 则取当前的θ3=θ31，否则取θ3=θ32。 3）若A2+B2-C2<0，即没有θ3，说 机构不能运动到此位置 ——可用来判断机构的可动范围。
构件AB的（ AB 的长度 Li。 ψ i、 ψ i、 ψ ）及 i


A



A
求B点的（xB、yB、xB、 yB 、 yB ） 。 xB、


百度文库

图b-1
2、RRRⅡ级杆组：由2个外转动副、 1个内转动副和 2个杆组成 如图b-2，已知两杆长Li、Lj，两个外运动副B、D的运
动，即位置（xB、yB、xD、yD），速度（ xB 、yB、xD、yD）和