0-1规划介绍

2.5 0-1规划

在军队管理、作战指挥、计算机辅助决策中常常会碰到一类分配问题，又称指派问题。这是指有m 个单位或人去完成，条件是

（1）每项工作只能分配给一个单位或人去完成； （2）每个单位或人只能接受其中一项工作。

问题是怎样合理分配，才能使总的费用最小或总的效益最高？

例16

我军有1D 、2D 、3D 、4D 四个导弹阵地，同时射击地方1A 、2A 、3A 、4

A 四架敌机。根据敌机来袭方向和阵地位置等，算得每个导弹阵地对各架敌机的击毁概率如表2-21。试给每个导弹阵地分配一架敌机，给每架敌机分配一个导弹阵地，使得对敌机的击毁概率最大。

解：设ij x 为问题的决策变量，它只取0，1两种值。我们定义

⎪⎩⎪⎨⎧=时。

分配给目标当不把阵地时，分配给目标当把阵地j i j i ij A D A D x 01

i=1,2,3,4；

j=1,2,3,4。

得线性规划

44

434241343332312423222114

1212112.08.09.06.08.06.08.04.06.08.06.08.06.04.09.06.0max x x x x x x x x x x x x x x x x P +++++++++++++++=

表2-21 A 1

A 2

A 3

A 4

D 1

0.6 0.9 0.4 0.6 D 2

0.8 0.6 0.8 0.6 D 3

0.4 0.8 0.6 0.8 D 4

0.6

0.9

0.8

0.2

约束于

敌

机 击

毁

概

率 导 弹

阵

地

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎨⎧====+++=+++=++=+++=+++=+++=+++=+++4,3,2,1,4,3,2,1,,1,01

11

1

1111443424144333231342

322212

4131211144434241343332312423222114131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ij ＋ 由于这个规划的决策变量只能取0，1两个值，故这种规划我们也称之为0-1规划。一般来说，指派问题可以化成如下的0-1规划：

∑∑

===m

j ij ij

m

i X C

Z 1

1

min

（2-12）

约束于

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=======∑∑==m j m i X m

i X m j X ij m

j ij m

i ij ,,2,1,,,2,1,1,0,,2,1,1,,2,1,11

1 解决指派问题有一种有效的方法——匈牙利法。下面我们来介绍这种方法。

不难证明，指派问题（2-12）的最优解有这样的性质：若从系数（ij C ）的一行或一列

各元素中减（加）同一常数，那么该问题的最优解不变。

利用这一性质，我们可以从指派问题系数矩阵（ij C ）的每行和每列中分别减去该行该

列的最小元素，得到新矩阵（ij b ）。这样，新矩阵中将会出现很多零元素，而最优解不变。

在系数矩阵（ij b ）中，我们关心位于不同行且不同列的0元素，一下简称独立的0元

素。若能在系数矩阵（ij b ）中找出m 个独立的0元素，则令解矩阵(ij X )中对应于这m 个独立的0元素。若能在系数矩阵（ij b ）中着出m 个独立的0元素，则令解矩阵(ij X )中对应于这m 个独立的0元素的解取1，其他解元素取0。将这样的解代入其目标函数中得到b Z ＝0，又因为矩阵（ij b ）中没有负元素，故b Z =0是目标函数的最小值，这样就得到了以（ij b ）为系数矩阵的指派问题的最优解，它当然也是原指派问题的最优解。

库恩（W.W.Kuhn ）于1955年提出了指派问题的解法。他引用了匈牙利数学家康尼格

（D.Konig ）一个关于矩阵中“0”元素的定理：系数矩阵中独立“0”元素的最多个数等于能覆盖所有“0”元素的最少直线数。故这种方法得名为匈牙利法。也就是说，只要我们在指派问题的系数矩阵或其同解变形后的矩阵中能找到m 个独立的“0”元素，就得到了指派问题的解。

下面我们结合求解例16变成如（2-12）的0-1规划，需要把目标函数极小化，因此例16的系数矩阵相当于系数矩阵中所有元素加一负号，变为

⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------------2.08.09.06

.08.06.08.04.06.08.06.08.06.04.09.06.0 所有元素加0.9，得非负矩阵

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡7.01

.00

3.01.03.01.05.03.01.03.01.03.05.003.0 将上述矩阵中每行元素减去该行中最小值，再将每列元素减去该列中最小值得矩阵

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡7.01.003.002.004.02.002.003.05.003.0 这个矩阵中有不少“0”元素。我们发现，最少可用三条直线将矩阵中的全部“0”元素复盖，

故矩阵中的独立“0”元素只有三个，不足四个（矩阵的阶数），因此尚未得到最优解。

对上述矩阵中所有未被划去的数字分别减去它们的最小值0.1，相当于对矩阵的第1、3、4列各元素减去0.1，为使第2、3行多数元素不变，再对第2、3行各元素加上0.1。最后的效果是，对上矩阵中所有未被划去的数字分别减去0.1时，还要再复盖线交叉处的元素上加0.1，其余数字不变，得矩阵

⎥

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡6.000

2.002.01.04.02.00

3.002.0

4.002.0 我们发现，至少要用四条直线才能全部复盖上面的矩阵中的“0”元素，即上矩阵中独立的

“0”元素个数为四，等于矩阵的阶数，于是便可找到最优解了。

我们可以找到不同行、不同列的四个“0”元素，可令对应的决策变量为1，其余的决策变量为0。寻找的办法是先在有唯一零值的行或列开始寻找，凡找过的行和列中的零元素便不再考虑。于是可得

143342112====X X X X

其余0=ij X 。

即最优分配方案是指派第一个导弹阵地打第二架飞机，指派第二个导弹阵地打第一架飞