数值计算方法_正交多项式讲解

(3) Hermite多项式Hn(x)
定义8 [-∞,+∞)上权函数 ( x) e的x2正交多项式序列
显式表达:
Hn ( x)
(1)n e x2
d n (e x2 ) dxn
(Hm , Hn )

e

x
2
H
m
(
x)
H
n
(
x)dx

2n
0 n!

mn mn
Tn(tk ) (1)k || Tn ( x) ||
记
T* n
(
x
)

Tn ( x) 2n1
显然
T* n
(
x)
是首项系数为1的n次Chebyshev多项式
记
P* n
[1,1]
为一切定义在[－1,1]上首项系数为1
的n次多项式的集合
性质11
在
Pn*[1,1] 中，Tn* ( x)
的无穷模
b
(1) a (x)q(x)gk (x)dx 0 k=n+1,n+2,…
(2)
b a

(
x)
gn
(
x)
x
i
dx

0
i=0,1,…,n-1
记
(
f
,
g)

b
a

(
x
)
f
(
x)
g
(
x)dx
性质3 [a,b]上带权函数(x)的正交多项式序列
{gk ( x)}k0 相邻三项的递推关系为
gn1( x) (n n ( x)) gn ( x) n1gn1( x)
||
T* n
(
x)
||
最小
即
||
T* n
(
x)
|| ||
p* n
(
x)
||
,
pn*
(
x)

Pn*[1,1]
这个性质，称为Chebyshev多项式最小模性质.
(3)Chebyshev 多项式的应用
—— 多项式降次( reduce the degree of polynomial
with a minimal loss of accuracy)
§4 正交多项式
一、正交多项式
定义1
(1)
b
a f (x)g(x)dx 0
,则称函数f(x)和g(x)在
区间[a,b]上正交.
(2)
b
a

(
x)
f
(
x)
g(
x)dx

0
,则称函数f(x)和g(x)
在区间[a,b]上带权(x)正交.
(3) 代数多项式序列 {gk ( x)}k0 (下标k为多项式
的次数, gk(x)表示k次多项式),在区间[a,b]上满足
b a
( x) gn
( x) gm
( x)dx


b a
0
(x)(gn (x))2
dx

当m≠n
0 当m=n
则称多项式序列{gk ( x)}k0 为区间[a,b]上带权(x)
的正交多项式序列
定义2 若n次多项式gn(x)中含xn项的系数为dn,则称dn
(α2 ,β1) (β1 , β1 )
β1
…
βn

αn

(αn ,β1) (β1 , β1 )
β1

(αn ,βn1) (β n1 , β n1 )
βn1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三、Legendre多项式Pn(x)
(1)多项式定义
定义3 [-1,1]上由{1,x,…,xn,…}带权ρ(x)≡1正交化
得到的多项式序列.
为gn(x) 的首次系数; dn≠0时,称
gn* ( x)

gn (为x)首 dn
次系数为1的n次多项式.
二、正交多项式性质
性质1 若 {gk ( x)}nk0是区间[a,b]上带权(x)的正交多
项式序列,则它们线性无关.
证明 对任意的x[a,b]
n
若 ck gk (x) 0 k 0
P0 ( x) 1
P1( x) x
Pn1 ( x)

x
2n 1 n 1
Pn
(
x)

n n 1 Pn1 ( x)
n=1,2,…
⑤ 在所有最高项系数为1的n次多项式中,最高项系数 为1的Legendre多项式 Pn(x)在[-1,1]上与零的平方 误差最小.
四、Chebyshev多项式Tn(x)
|
R4 ( x) |
e| 5!
x5
|
0.023
请将其降为2阶多项式。
解
取
P4

1 24

1 23
T4 (
x)

1 24
(
x4

x2

1) 8
（查表知 T4 8 x4 8 x2 1）
P4

P4
1
x

x2 2

x3 6

1 (x2 24

1) 8

191 192

x

13 24
x2
|
f
(
x)

Pn
(
x
)
|

max
[ 1,1]
|
Pn
(
x)
|
设 Pn 的首项系数为an，则取 精度尽可能少损失。
Pn
(
x)

an

Tn ( x) 2n1
因降次而增的误差
可使
例1 f (x) = ex 在[1, 1]上的4 阶 Taylor 展开为
P4
1
x

x2 2

x3 6

x4 24
，此时误差
其中
an

d n 1 dn
n


d n 1 dn

(gn , xgn ) (gn, gn)
i=1,2,…
n1


dn1dn1 dn2

(gn, ( g n 1 ,
gn ) g n 1 )
,
dn1, dn , dn1 为 gn1(x), gn (x), gn1(x) 的首项系数
当
xk

cos

2k 1
2n

(k 1, ... , n) 时，Tn(xk ) 0
即 {x1, …, xn } 为Tn(x)的n个零点。
性质1当0
tk

cos
k
n

(k 0, 1, ... , n) 时，Tn (tk )交错
取到极大值 1 和极小值1，即
(2)区间[a,b]上带权函数(x)首项系数为1的正交
多项式序列
{g
* n
(
x)}n0
唯一.
常见的正交多项式有Legendre(勒让德)多项式、 Hermite多项式、Chebyshev多项式以及Jacobi多 项式。
施密特正交化公式
α1,α2 ,,αn 线性无关
β1 α1
β2

α2

显式表达: Un (x)
1 x2
1
(Um ,Un )
U
1
m
(
x
)U
n
(
x)
1 x2 dx 0
2
mn mn
相邻三项的递推关系为
U0(x)=1, U1(x)=2x
Un1(x) 2xUn (x) Un1(x) n=1,2,…
(2) 拉盖尔Laguerre多项式Ln(x)
相邻三项的递推关系为
H0(x)=1, H1(x)=2x Hn1(x) 2xHn (x) 2nHn1(x) n=1,2,…
(4) Jacobi多项式
定义9 [-1,1]上权函数为 (x) (1 x) (1 x) 的正
交多项式,其中>-1, >-1
记为
J
( n
,
)
(
x)
…
(2)多项式的主要性质
① n次Legendre多项式 Pn(x)的首项系数
dn ( x)

(2n)! 2n (n!)2
②
Pn
( 1)

1 (1)n
当x=1, 当x=-1
③
(Pm , Pn )
1 1
Pm
(
x
)
Pn
(
x)dx


0 2
2n
1
当mn 当m=n
④ Legendre多项式相邻三项的递推关系为
注：对一般区间[a, b]，先将 x 换为 t ，考虑 f (t)在[1, 1]上 的逼近Pn(t)，再将 t 换回x，最后得到Pn(x)。
五、其它正交多项式
(1) 第二类Chebyshev 多项式Un(x)
定义6 (-1,+1)上权函数 ( x) 1 x2的正交多项式
序列
sin[(n 1)arccosx]
显式表达:
J
( n
,
)
(x)

Kn (1 x) (1 x)
dn dxn
[(1 x) n (1 x) n ]
其中
Kn

1 (2n)!
2n 1 2
或
Kn

(1)n 2 nn!
隐式表达式 显式表达式
P0

Pn
(x) (x)

1 1
2n n!

d
n ( x 2 1)n dxn
,
n 1,2,
P0
Pn
( (
x) x)

1 1 2n
N
(1) j
j0
(2n 2 j)
x , n2 j
j!(n j)!(n 2 j)!
n 1,2,
性质4 [a,b]上带权函数(x) 的正交多项式序列{gk (x)}k0 中任意相邻两个正交多项式gn(x)和gn+1(x)的根相 间.
若记 gn(x), gn+1(x)的根分别为
{x } , (n) n i i1
{x } (n1) n1
j
j1
则所谓 gn (x) 与 gn1(x) 的根相间,即是指这两个正
两边同乘(x)gl(x)(l=0,1,..n),并从a到b积分,由
{gk
(
x
)}n k 0
的正交性定义中的(3)可知必有cl=0
故正交多项式序列 {gk ( x)线}nk性0 无关.
性质2
若{gk
(
x
)} k 0
为[a,b]上带权(x)的正交多项式
序列,且 q(x) Pn[a,b] ,则
定义7 [0,+∞)上权函数 ( x) e的x 正交多项式序列
显式表达:
Ln ( x)

en
d n (xnex ) dxn
(Lm , Ln )

e


x
Lm
(
x)
Ln
(
x
)dx

0 (n!)2
mn mn
相邻三项的递推关系为
L0(x)=1, L1(x)=1-x
Ln1( x) 2xLn ( x) Ln1( x) n=1,2,…
(1) 多项式定义
定义4 [-1,1]上由{1,x,…,xn,…}带权 (x)
正交化得到的多项式序列.
1 1 x2
显式表达为: Tn(x)=cos(n arccosx), |x|≤1
(2)Chebyshev多项式的性质
性质6 n次Chebyshev多项式Tn(x)的首项系数为2n-1
性质7 n次Chebyshev多项式相邻三项有递推关系 ：
其中
N

n/2 (n 1) /
2
当n为偶数时 当n为奇数时
例 在[-1,1]上带权ρ(x)≡1正交化{1,x,…,xn,…}
解 P0 (x) 1
1
P1(x)
x (x,1) 1 (1,1)

x
x 1dx 1 1
11dx 1
1

x
0 1 2

x
P2
(
x)

x2

( x2, P0 ( x)) (P0 ( x), P0 ( x))

P0
(
x)

( x2, P1( x)) (P1( x), P1( x))

P1 (
x)
x2
1 x2 1dx
1 1
1
11dx
1 x2 xdx
1 1
x
x xdx
x2 1 3
1
1
性质8
T0(x)=1,T1(x)=x, Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x), n=1,2,…. Chebyshev多项式序列{Tk (x)}k0 在[-1,1]上满足

1 Tm ( x)Tn ( x) dx 0
1 1 x2

2
mn mn0
mn0
性质9

1 6
x3
取
P3

11 6 22
T3( x)
1 (x3 6

3 4
x)
（查表知 T3 4 x3 3 x ）
P~3

P3

13 24
x2

9 8
x

191 192
|| ex P2 (x) || 0.047
若简单取 P2( x)

1
x

x2 2
，则误差

e 0.45 3!
交多项式的根有如下的关系.
x x x x x (n1)
(n)
( n1)
(n)
( n1)
i
i
i1
i1
i2
i=1,…,n-1
性质5 (1) 区间[a,b]上带权函数(x)的正交多项式 序列 { fn (x)}n0 与 {gn (x)}n0 对应元素之间只
相差一个比例常数.
设 f (x) Pn(x)。在降低 Pn(x) 次数的同时, 使 因此增加的误差尽可能小, 也叫 economization of power series。
从 Pn中去掉一个含有其最高次项的 Pn , 结果降
次为 P~n1, 则：
max |
[1,1]
f
(
x
)

P~n1
(
x
)
|

max
[ 1,1]