相轨迹

例2 X i 0 e m 1
-
K s2
Xo s
e a时, K合上方，接e； e a时, K合下方，接地； 画e e相轨迹图，
解：
X o s M s

1 s2
则： s2 Xos Ms 即： xo t mt
分析系统运动。
由图：et xo t 则： et xo t 有： et mt
x
-2 0
x
本章要求了解，非线性系统不能运 用叠加原理，有异常特性，尚没有统一 的分析方法。
对于描述函数法，只要求掌握描述 函数的定义及用 1 曲线分析系统稳定 性的大概方法。 N
本章的重点是相平面法，要明了相 平面法的基本概念，掌握解析法，了解 奇点的分类及极限环，会用相平面法分 析简单的二阶非线性系统。
xo f xo , xo 0
xo
2
05
3
xo
14
同样很直观地表示了系 统的运动特性，从某种意义 上说，甚至比x-t曲线更形 象，可获得更多信息。
显然，如把 x f x, x 0看作一个质
点的运动方程，用x表示质点的位置，x则 表示质点的运动速度。
用x与x描述方程的解，也就是用质点 的“状态”来表示该质点的运动。
定义地面为x原点, x方向向上为正
x g



dx x dt dx x
g
相除得：dx dx
g x
dt
xdx gdx
积分得： x2 2gx c
相平面为一族抛物线 上半平面，x为正， x ，箭头向右； 下半平面，x为负， x ，箭头向左；
ede e de
ede ede
e2 e2 c22
相轨迹由两部分组成： 当: e a时, et c1
当: e a时, e2 e2 c22
e
c1
c2
a 0
a
e
作业：9-10，9-17
相轨迹
相轨迹的概念
设二阶系统可用下列常微分方程描述
••
x
f

x
,
•
x


0
•
x和 x的线性或非线性函数

该系统的时域解，可用x与t的关系曲线表示，
•
也可把t作为参变量，用x与 x 之间的关系曲线来表示。
例 X i s
-
xo
3
12
4 5
0
xo
2
0
35
4
K
sTs 1
t t
Xo s
取不同的K值，画不同的等倾线，则可得到相轨 迹的切线方向场。我们从初始点的短倾线顺序画， 连接临近的短倾线，即组成相轨迹图。显然，等倾 线越密集，相轨迹越精确。
等倾线方程 x n2 x K 2n
设： 0.5, n 1
则有： x 1 x K 1
代入不同K值，在x x平面便画出一 族直线，直线上相轨迹切线的斜率为K。
能用解析法作相平面图的系统只局限于比 较简单的系统，对于大多数非线性系统很难用 解析法求出解。
从另一角度考虑，如果能够求出系统的解 析解，系统的运动特性也已经清楚了，也就不 必要用相平面法分析系统了。
因此，对于分析非线性系统更实用的是图 解法，例如“等倾线法”等。
2、等倾线法
例 x 2n x n2 x 0 画相轨迹
奇点位置： xx
0 0
奇点的性质，与有关
P236，图9 36
有了奇点的一些概念，便可以利用对 奇点的认识较快的画出相轨迹的草图， 其步骤为：
1、求出奇点；
2、在奇点附近通过线性化判断奇点类 型（性质），并在奇点附近画出相应的 相轨迹线；
3、在远离奇点处，用x x



dx dt dx
f
x
x,
x
dt
两式相除得：
dx f x, x
dx
x
该方程为相轨迹的斜率方程，根据该方程，可作出相轨迹。
一、相轨迹作图法 当方程不显含x时，可以采用分离变
1、解析法
量法积分，求得相轨迹方程并作图。
例 4 单位质量m 1的自由落体运动
x
0.2
x 1 x2
K
x
0.2
x 1 x2
K
K 0
x
0.2
x 1
x2
•
x
K=0
K 1
x
0.2
x 1 x2
1
K=1
K 1
x
x 0.2 1 x2
1
-2 -1
0
1
2x
画相轨迹时，先找到初
始点，然后，根据斜率的分 K=-1 布场，连接相邻的短倾线， 画出近似的相轨迹。
点。
例7. 二阶线性系统为 T 2 x 2Tx x 0
即 T 2 xdx 2Tx x 0
dx
则：dx dx

2Tx
T 2 x
x
系统奇点需满足：dx 0 dx 0
奇点一定在x
轴上，即速度为
零，加速度也一 定为零。
2Tx x 0

T 2 x 0
例 8 x 0.5x 2x x2 0
即： xdx 0.5x 2x x2 0 dx
则：
dx 0.5x 2x x2 0


dx
x
0
0.5x 2x x2 0

x 0
-2
奇点：
x x
0 0
x 2

x 0
对于二阶系统，其状态变量只有两 个，故可在相平面上表示出来。对于三 阶以上系统，它有三个以上状态变量， 必须用三维以上空间来描述其相迹，这 就比较困难了。然而，原则上可以将二 维空间中表示点运动的概念扩展到 n 维 空间。
相平面是一种用图解法求下列两个联立一 阶微分方程组的方法。
把 x f x, x 0 改写成两个联立一阶微分方程组
Xi 0
由题：e a时, K接e；
-
e a时, K接地；
em1
K s2
Xo s
当: e a时, mt 0 et mt 则：et 0
et c1
当: e a时, mt et 则：et et
x
0x
原式 x 0.5x 2x x2 0
在0，0附近，x 和 x很小，系统可近似为
x 0.5x 2x 0
其中：2nn2

0.5 2
x
解得： 0 1 稳定焦点 -2 0 x
原式 x 0.5x 2x x2 0
在- 2，0附近，令：x x 2
x2 2gx c
x
A
上抛
B
0
x
C 自由落体
D
例 5 质量 - 弹簧系统的运动阻尼f 0
mx Kx 0
x
x dx dxdx xdx dt dx dt dx
0
x
mxdx Kx 0 dx
一族椭圆，自持振荡，
mxdx Kxdx
初始条件不同，椭圆大 小也随之变化
二、奇点
由于在相平面上对应每一个给定的初
始条件，根据解析函数的微分方程解的唯
一定理，可以证明通过由初始条件确定的
点的相轨迹只有一条。因此，由所有可能
初始条件确定的相轨迹不会相交。只有在
平衡点上，由于
•
d x dx 0 0
为不定，可以有
无穷多个相轨迹逼近或离开它，可见这种
点相应之下有点“不平常”，因此称为奇
积分并整理得：x2
K m
x 2

C2
相平面图的一些性质：
1、以x为横坐标，x为纵坐标，在上半平面，相轨 迹向右运动；在下半平面，相轨迹向左运动；
2、相轨迹的各条曲线均不相交，过相平面的每 一点只有一条相轨迹；
3、自持振荡为封闭曲线；
4、相轨迹若穿过x轴，必然垂直穿过。作图时考 虑对称性，往往使作图简化。



dx
dt

dx dt
2n
x x
n2
x
相除得：dx 2n x n2 x
dx
x
显然，上式为相轨迹的斜率方程，令dx K dx
则有
x n2 x K 2n
即等斜率线方程 （等倾线方程）
由等倾线方程 x n2 x K 2n
x 1 x K 1
当等倾线为直线时，应用等 倾线 画相平面图是很方便的。
x
K 0
K 1 K K 1 K -2
K -3
x x
x x
K=0
x 1 x 2
x 0
x 1 x K=1 2
K
x0
x x
x 1Kx=-3
x 1 x
在物理学中，这种不直接用时间变量 而用状态变量来描述运动的方法，称为状 态空间法，又称相空间法。
在自动控制理论中，把具有直角坐标
x x的平面称为相平面。相平面是二 维的状态空间，相平面上的每一点对应 着系统的一个运动状态，这个点称“相 点”。相点随时间 t 的变化在x x 平面上描绘出的轨迹线，表征了系统运 动状态的演变过程，这种轨迹称为相轨 迹。
••
•
x 0.5 x 2 x 2 x 2 2 0
•
x 和 x 很小
忽略
••
•
x 0.5 x 2x 4 x2 4 x 4 0
••
•
系统可近似为：x 0.5 x 2x 0