矩阵分析2010-11-10 答案[1]

北京交通大学
2010-2011学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A) 专业 班级 学号 姓名
一、（10分）实数域R 上的线性空间22⨯R 中的向量组⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡00
01，⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡00
11，⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡01
11，
⎥⎦⎤⎢⎣⎡11
11与向量组⎥⎦⎤
⎢⎣⎡11
01，⎥⎦⎤⎢⎣⎡1110，⎥⎦⎤⎢⎣⎡0111，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡1011都是22⨯R 的基，
（1）（7分）求前一组到后一组的过渡矩阵；
（2）（3分）说明是否存在非零矩阵22⨯∈R A 使得A 在这两组基下的坐标相同. 解：（1）设22⨯R 的一组基 ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡00
01，⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡0010，⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡0100，⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡1000，（2分）
它到第一组基的过渡矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡=111
1
11
1111
1C ；它到第二组基的过渡矩阵为⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10
1
1
0111111011012
C ，（2分）所求过渡矩阵⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=
=-10
1
1
11001
0010011211C C C . （1+2分）
（2）存在.（1+2分）（ 理由2分）
二、（8分）设V 是数域K 上的3维线性空间，f 是V 上的一个线性变换，f 在V
的基321,,ααα下的矩阵是⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=14
2
412222
A ，求f 的全部特征值与特征向量.
解：A 的特征多项式为
2
2
221
4
2
4
1
λλλλ---=
+---+I A 2
(3)(6)λλ=-+
所以A 的特征值是3（二重）与-6. （3分）
对于特征值3，解齐次线性方程组 (3)0-=I A X 得到一个基础解系：
[][]
2
1
0,2
1-T
T
（2分）
从而f 的属于3的极大线性无关特征向量组是
1122132,2ξααξαα=-+=+ （1分）
于是f 的属于3的全部特征向量是
112212,
,ξξ+∈k k k k K
这里21,K K 为数域K 中不全为零的数对. 对于特征值-6，解齐次线性方程组
(6)0--=I A X
得到一个基础解系：
[]1
2
2-T
（1分）
从而f 的属于-6的极大线性无关特征向量组是
312322ξααα=+-
于是f 的属于-6的全部特征向量
3,
ξ∈k k K （1分）
这里k 为数域K 中任意非零数 三、（14分）矩阵分解：
（1）（6分）求矩阵⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=735
7
1
12
6
272204236
24163
1011021
A 的满秩分解BC A =. 解：对矩阵A 只作初等行变换
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=735
7
1
12
6
272204236241631011021A →⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-00
1000000
11100011021 （4分） 变换结果错，最多两分。

取
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=731
6
270236
131001B ，⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10
011100
011021C （2分） （2）（8分）求矩阵⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡-=21
2
240
130
A 的正交三角分解UR A =，其中U 是酉矩阵，R
是正线上三角矩阵.
解：
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=21
2
240
130A ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎣⎡-⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=215
21200
1
535
45
453
U 对了5分，后面3分
正交化错了4分，如果没给公式和下面的具体过程，最多3分。

四、（10分）设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=01
1
1021i
i A ，求矩阵范数1
A ，∞
A
，2A ，F
A
.（这
里12-=i ）.
解：{}1max 2,3,1,13A ==，（2分）
{}max 3,44A
∞
== ，（2分）
1
2
42
211F
A
ij j i a ===⎛⎫∑∑
⎪⎝⎭
()12
1141113=+++++= （2分）
1120110H
i i
A
⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭
， 6113H
A A
-⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
（2分）
2
6
1
917
1
3
H
E AA
λλλλ
λ-=
=
-+--
1,2
992
2
λ
±±
=
=
2
A
⇒
=
（2分）
五、（15分）设3R 中的线性变换A 满足T T y x z y z y x z y x A ]2,,[],,[++-+= （1）（7分）求A 的值域)(A R 的维数及一组基；
（2）（8分）求A 的核)(A N 的维数及一组基. 解：（1）取R 3的自然基
[][][]T
3T
2T
11,0,0,0,1,0,0,0,1===εεε （2分）
由题意知
A （ε1）=[1，0，1]T ，A （ε2）=[1，1，2]T ，A （ε3）=[-1，1，0]T 于是
A [ε1, ε2, ε3]=[]⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-02
1
110111
,,321εεε 故A 在ε1, ε2, ε3下的矩阵表示为
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=02
1
110
111
A （2分） 矩阵A 的列空间为
[][][]
{
}[]
[]
{}T
T
T
T
T
2,1,1,1,0,1span 0,1,1,2,1,1,1,0,1span )A (R =-=
线性变换A 的值域为
A （V ）= {}[][]
{}T
T
321312,1,1,1,0,1span 2,span =+++εεεεε
所以A （V ）的维数为2，（1分） 基为[][]T
T
2,1,1,1,0,1。

（2分）
（2）矩阵A 的核实AX=0的解空间。

不难求得AX=0的基础解系是[2, -1, 1]T ,
（5分）
因此A -1（0）的维数为1， （1分） 基为[]T
3211,1,22-=+-εεε. （2分）
注意： 如果A 写错，把x,y,z 当成基，最多给3分。

六、（共23分，前三小题每题5分，第四小题每题8分）证明题：
1.证明：两矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣
⎡111
11和⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣
⎡1101
101
相似. 2.设A 是n 阶Hermite 矩阵，证明：对于任意n C X ∈，AX X H 是实数. 3．设A 是n 阶可逆正规矩阵，且03=-A A ，证明：存在酉矩阵U ，使得
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=-r
n r
H
E E AU U
0.（r n r E E -,为单位矩阵）. 4.设n
n n
C A ⨯∈，n
n C B ⨯∈，若对某矩阵范数∙有1
1-<
A
B ，证明：B
A +可逆.
七、（共20分每小题5分）设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛---=31
5111
001
A ， （1） 求A E -λ的Smith 标准形（写出具体步骤）；
（2） 写出A 的初等因子和A 的Jordan 标准形J ；
（3） 是否存在一个次数低于3次的多项式)(x g 满足0)(=A g ，为什么？ （4） 求矩阵函数tJ e ，并计算矩阵函数tA e 的行列式tA e . 解：
（1）⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-+→⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛----+=-2
)2)(1(1
131
5111
1λλλλλλA E (2) 初等因子 1λ+，()2
2λ-
1000
2100
2J -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
(3)不存在，因为()()()2
12A
λλλψ=+-
(4) =⎥⎦
⎤⎢
⎣
⎡==)()
()(21J f J f J f e tJ
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡'-)2()2()
2()1(f f f f =⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡-t t t
t e e e
e 2222； tA e =t tJ e e 3=
第一问错了，按错误都给对了最多给4分
第3问单独考虑。

如果第一问错了，第3问最多4分。