工业机器人技术第5讲.

P mgL C sin
1 2 L I mgL C sin 2
由于
L I
（4－8）
L mgL C cos
16
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4.3
拉格朗日运动方程式
（4－9）
所以用置换式（4－6）的广义坐标后得到下式：
mgL cos I C
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第四章 机器人动力学
机器人动力学方程可以确定机器人的运动，但实际上除最简单的 情况外，求解机器人的全部动力学方程几乎是不可能的。
作用： 1 确定力和力矩，以便在机器人连杆和关节上产生期望的加速度；
2 考察不同负载对机器人的影响及根据期望的加速度来考察某些负载的重要性；
方法： 1 牛顿—欧拉法； 2 拉格朗日方法。
d dL L q dt dq
（4－6）
式中， q 是广义坐标， 是广义力，当为直线运动时， 为力的 单位，当为转动时，它为力矩的单位。拉格朗日运动方程式也可 表示为： （4－7） LK P 这里，L是拉格朗日算子；K是动能；P是势能。
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M12 m2 (L L1LC 2C2 ) I C 2
M 21 M 12
M 22 m L I C 2
2 2 C2
2 ) c1 m2 L1LC 2 S2 (2 2 1 2
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（4－37）
22
4.3
拉格朗日运动方程式
2 c2 m2 L1 LC 2 S2 1
33
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10
4.2 牛顿、欧拉运动方程式
mgL cos I C
式中：
2 I I C mL C
（4－5）
对于一般形式的连杆，由于I除第三分量以外，其它分量皆不 为零，所以×I不是零向量。×I的第1，2分量成了改变轴 方向的力矩，但在固定轴的场合，与这个力矩平衡的约束力生成 式N的第1，2分量，不产生运动。 由于机器人是具有分布质量的三维、多自由度机构，利用牛顿 力学建模非常困难，拉格朗日力学成为主要的动力学分析方法。
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4.2 牛顿、欧拉运动方程式
下面我们来求图4－4所示1自由度机械 手的运动方程式。这种场合，由于关节轴 制约连杆的运动，所以可以把式（4－4） 的运动方程式看作是绕固定轴的运动。假 定绕关节轴的惯性矩为I，取垂直纸面的 方向为Z轴，则得到：
0 0 I I
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4.3
拉格朗日运动方程式
L mx x
拉格朗日函数的导数为：
d ) m (mx x dt
L kx x
因此小车系统的运动方程为：
kx F m x
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4.3
拉格朗日运动方程式
1 2 K I 2
现就前面讲的1自由度机械手来具体求解。假定为广义坐标， 则有：
解：微小物体的质量用线密度 （＝M/L）表示，所以其惯性矩 为 x 2 dx。因此将dI在长度方向积 分，即可得到：
I
L 0 3 M x 1 2 2 x dx ML L 3 0 3 L
例4－2 试求上例的杆绕重心回转时的惯性矩IC。 解：由于该杆是重心位于中心的匀质杆，因此，可先就杆的一半 来求解，然后再加倍即可。假定x为离杆中心的距离，则得到： L 3 2 L M x 1 2 2 2 I C 2 x dx 2 ML 0 L 3 12 0 2018/10/7 7
4.1 惯性矩
dm dV
那么，它的惯性矩为：
dI dmr r dV
2 2
整个物体的惯性矩可用下式表示：
I dI r 2 dV
（4－2）
例4.1 求图4－2所示质量为M，长度为L的匀质杆（粗细忽略）， 绕其一端回转时的惯性矩I。
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4.1 惯性矩
g1 m1 gLC1C1 m2 g ( L1C1 LC 2C12 )
g 2 m2 gLC 2C12
) 是离心力； 是惯性力； g () 表示加在机械手上的重力 c(, M () 项，g是重力加速度常数。 对于多于3个自由度的机械手，也可用同样的方法推导出运动方 程式，但随自由度的增多演算量将急剧增加。
4.3
拉格朗日运动方程式
例：用拉格朗日运动方程式推导下图所示的单自由 度系统力和加速度的关系，车轮的质量忽略不计： 小车的动能为： K 1 mv 2 1 mx 2 2 2 小车系统的势能为：
1 2 P kx 2
拉格朗日算子为： 1 2 1 2 kx L K P mx 2 2
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4.4 机械手动力学方程



在分析了二连杆机械手的基础上，我们分析由一组 A 变换描述的任何机械手，求其动力学方程。分以 下5步进行推导： （1） 计算任一连杆上任一点的速度； （2） 计算各连杆的动能和机械手的总动能； （3） 计算各连杆的位能和机械手的总位能； （4） 建立机械手系统的拉格朗日函数； （5） 对拉格朗日函数求导，以得到动力学方程。
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4.3
拉格朗日运动方程式
拉格朗日运动方程式仅仅包涵能量 项对系统变量和时间的微分，结构简单， 因此多数教科书利用该方程进行动力学 推导。 拉格朗日力学以两个方程为基础： 一个是直线运动，另一个针对旋转运动。
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Fra Baidu bibliotek
4.3
拉格朗日运动方程式
拉格朗日运动方程式可表示为：
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4.3
拉格朗日运动方程式
L K1 K 2 P 1 P 2
可求出拉格朗日算子L，把它代入式（4－6）的拉格朗日运动 方程式，整理后可得：
c(, ) g () M ()
式中：
M 11 M ( ) M 21
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pC1x LC1C1
pC1 y LC1S1
pC 2 x L1C1 LC 2C12
pC 2 y L1S1 LC 2 S12
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（4－11）
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4.3
拉格朗日运动方程式
应该注意到各连杆的动能可用质量中心平移运动的动能和绕 质量中心回转运动的动能之和来表示。 由式（4－11），得到式（4－10）中的质量中心速度平方和 为：
r x
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F
N r
4
4.1 惯性矩
和N是绕轴回转的角加速度和惯性力矩，将 和F代入上 x 式中， 式得：
N mr
2
令 I m r2 ，上式可以变为：
N I
（4－1）
式（4－1）是质点绕固定轴进行回转运动时的运动方程式，I相 当于平动时的质量，称为惯性矩。 求质量连续分布物体的惯性矩时，可以将其分割成假想的微小物 体，然后将微小物体的惯性矩加在一起，这时，微小物体的质量 dm及其微小物体体积 dV的关系可用密度表示为： 2018/10/7 5
M 12 M 22
c1 c(, ) c 2
g1 g ( ) g2
21
4.3
2 C2
拉格朗日运动方程式
2 2 M11 m1L2 I m ( L L 2 L L C ) I C 1 2 1 C 2 1 C 2 2 C2 C1
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4.4 机械手动力学方程

下图表示一个四连杆机械手的结构。我们先从 这个例子出发，求得此机械手某个连杆（例如 连杆3）上某一点（P）的速度、质点和机械手 的动能与位能、拉格朗日算子，求系统的动力 学方程。然后，由特殊到一般，导出任何机械 手的速度、动能、位能和动力学方程的一般表 达式。
第四章 机器人动力学
机器人是主动机械装置，原则上，它的每个自由度都具有单独传 动。从控制的观点来看，机械手系统是冗余、多变量和本质非线性 的自动控制系统，也是复杂的动力学耦合系统。每个控制任务本身 就是一个动力学任务。因此研究机器人的动力学问题就是为了进一 步讨论控制问题。
为使机器人连杆加速，驱动器必须有足够大的力和力 矩来驱动机器人连杆和关节，以使他们能以期望的加 速度和速度运动，否则连杆将因运动迟缓而损失机器 人的位置精度。因此必须建立决定机器人运动的动力 学关系方程，用来计算每个驱动器所需的驱动力。
4.2 牛顿、欧拉运动方程式
图4－3所示的单一刚体的运动方程式可用下式来表示：
C FC mv
（4－3）
( I C ) N （4－4） IC
式中，m（标量）是刚体的质量； I C R 33 是绕重心C的惯性矩阵；FC 是作用于重心的平动力；N是惯性力 矩；Vc是重心的平移速度；为角速 度。式（4－3）及式（4－4）分别被称为牛顿运动方程式及欧拉 运动方程式。Ic的各元素表示对应的力矩元素和角加速度元素间的 惯性矩。
它与前面的结果完全一致。 下面推导图4－5所示的2自由度 机械手的运动方程式。 在推导时，把1，2当作广义 坐标，1，2当作广义力求拉格 朗日算子，代入式（4－6）即可 得到。
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4.3
拉格朗日运动方程式
第1个连杆的动能K1、势能P1可分别表示为：
1 1 2 T K1 m1 pC1 pC1 I C11 2 2
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4.4 机械手动力学方程
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图中连杆3上点P的位置为：
0
4.4.1 速度的计算
rp T3 rp
3
式中， rp 为基坐标系中的位置矢量；
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0 0 0 I 0 0 0 0 I
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4.2 牛顿、欧拉运动方程式
0 N 0 C cos m gL
式中：g为重力常数；I R 是在第三行第三列上 具有绕关节轴的惯性矩阵，把这些公式代入（4－4）， 提取只有z分量的回转则得到：
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第四章 机器人动力学
牛顿欧拉法从运动学出发求得加速度，并消去各内作用力。拉格 朗日方法，它只需要速度而不必求内作用力，是比较直接的方法。 对于动力学，有两个相反的问题：一是动力学的正问题：已知机 械手各关节的作用力或力矩，求各关节的位移、速度和加速度。主 要应用于仿真研究；二是动力学的逆问题：已知机械手的运动轨迹， 即各关节的位移、速度、加速度求各关节所需要的驱动力或力矩。 主要是实时控制的需要 一般机器人的动态方程由6个非线性微分方程联立表示，实际上 除了一些简单的情况外，不可能求得方程的一般解。在实际控 制时往往对动态方程作出某些假设，进行简化处理。
T 2 2 PC1 PC1 LC11
（4－12）
p C2 p
T C2
2 2 2 ) L LC 2 (1 2 ) 2L1LC 2C2 (1 1 2 2 2 1 1
（4－13）
利用式（4－10）和式（4－12），（4－13），通过下式
P 1 m1 gL C1 S1
1 1 T )2 C2 p C 2 I C 2 ( K 2 m2 p 1 2 2 2
P2 m2 g ( L1S1 LC 2 S12 )
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（4－10）
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4.3
拉格朗日运动方程式
是第i个连杆质量中心的位置向量。
T 式中， PCi [ pCix , pCiy ]
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4.1 惯性矩
首先，在图4－1里通过把质点的平移运动改作回转运动的分析， 来了解惯性矩的物理意义。 若将力F作用到质量为m 的质点时的平移运动，看 作是运动方向的标量，则 可以表示为：
F m x
式中： 表示加速度。若把这一运动看作是质量可以忽略的棒长为 x r的回转运动，则得到加速度和力的关系式为：