正弦交流电路
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F1 + F2 = ( 3 - j 4 ) + ( -7.07 + j 7.07 )
= - 4.07 + j3.07 = 5.1 /143°
F1 F2
=
3-j4 10 /135°
= 5 /-53.1 ° 10 /135°
= 0.5 /-188.1 °
= 0.5 /171.9 ° 辐角应在主值范围内
F1 F2
| F1 | 1 | F2 | 2
F1 F2
/1 2
三、旋转因子
e j 1/
是一个模等于1，辐角为θ的复数。
任意复数A乘以e jθ
等于把复数A逆时针旋转一个角度θ， 而A的模值不变。
j
e2j
j
e 2 -j
e j -1
因此，“±j”和“-1”都可以看成旋转因子。
例如
一个复数乘以j， 等于把该复数逆时针旋转π/2，
求电压和电流的相位差。
30 (150) 180
i = 10 sin(314t+30°) = 10 cos(314t+30°-90°) = 10 cos(314t-60°)
60 (150) 90
正弦量相应符号的正确表示
瞬时值表达式 i = 10 cos(314 t + 30°)A 变量，小写字母
1、基尔霍夫电流定律
对电路中任一点，根据KCL有 Σ i = 0
其相量形式为
•
I 0
2、基尔霍夫电压定律
对电路任一回路，根据KVL有 Σ u = 0
其相量形式为
•
U 0
二、电阻、电感和电容元件的VCR相量形式
1、电阻元件 瞬时值表达式 iR R
+ uR -
uR RiR
+j
•
相量形式
•
IR R
•
最大值 Im= 10A 有效值 I = 10 A
2
常数，大写字母加下标m 常数，大写字母
最大值相量
•
Im
10
/30
A
有效值相量
•
I
10
/ 30
2
常数，大写字母加 下标m再加点
常数，大写字母加点
5 2 / 30 A
电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律
正弦电流电路中的各支路电流和支路电压都
是同频正弦量，所以可以用相量法将KCL和KVL 转换为相量形式。
F1 F2 (a1 jb1) (a2 jb2 )
几何意义 +j (a1 a2 ) j(b1 b2 )
F1 F2
F1
F2
O
F2
F1 F2
+1
3、乘法
用极坐标形式比较方便
设
F1 | F1 | 1
F2 | F2 | 2
F1F2 F1 1 F2 2 F1 F2 /1 2
4、除法
3、正弦交流电路
考试点一
• 1、掌握正弦量的三要素和有效值 • 2、掌握电感、电容元件电流电压关系的
相量形式及基尔霍夫定律的相量形式 • 3、掌握阻抗、导纳、有功功率、无功功
率、视在功率和功率因数的概念 • 4、熟练掌握正弦电路分析的相量方法 • 5、了解频率特性的概念
预备知识——复数
一、复数的形式
O
π
2π
ωt
i
(t i ) 称为正弦量的相位，或称相角。
三、正弦量的有效值
def
I
1 T i2dt T0
def
I
1 T
T 0
Im 2
cos2
(t
i
)dt
c os2
(t
i
)
源自文库
1
c os [2(t
2
i
)]
I Im / 2 0.707Im
I Im 2
U Um 2
E Em 2
四、同频率正弦量相位的比较
=8.66+j5
二、复数的运算
1、加法
用代数形式进行，
设
F1 a1 jb1
F2 a2 jb2
F1 F2 (a1 jb1) (a2 jb2 )
(a1 a2 ) j(b1 b2 )
几何意义 +j F1 F2
F2
F1
O
+1
2、减法
用代数形式进行，
设
F1 a1 jb1
F2 a2 jb2
正弦量的概念
一、正弦量
电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正 弦量。
对正弦量的描述，可以用sine，也可以用cosine。 用相量法分析时，不要两者同时混用。本讲采用 cosine。
二、正弦量的三要素
i
+
u-
瞬时值表达式： i I m cos(t i )
1、振幅（最大值） Im
正弦量在整个振荡过程中达到的最大值。
一个复数除以j， 等于把该复数乘以-j， 等于把它顺时针旋转π/2 。
虚轴等于把实轴+1乘以j而得到的。
例：设F1=3-j4，F2=10 /135° 求 : F1+ F2 和 F1/ F2 。
解：求复数的代数和用代数形式：
F2 = 10 /135°
=10（cos135°+jsin135°) = -7.07 + j7.07
辐角 arctan b
a
3、指数形式 根据欧拉公式
e j cos j sin
F F (cos j sin )
F F e j
4、极坐标形式
F =|F| /θ
3+j4= 5 /53.1°
× -3+j4= 5 /-53.1 °
10 /30 ° =10(cos30 °+ jsin30 °)
=5 /126.9 °
UR
IR
+
•-
UR
i u
•
•
UR RIR
O
+1
相量图
2、电感元件
瞬时值表达式 iL L
+
uL
-
uL
L
di dt
•
+j
相量形式
•
IL
L
+
•
UL
•
•
UL
-
•
u I L
i
O 相量图
+1
U L jL IL
3、电容元件
i Im cos(t i )
u U m cos(t u ) 相位差 u i
相位差也是在主值范围内取值。 φ > 0，称u超前i； φ < 0，称u落后i； φ = 0，称u,i 同相；
φ = π/2，称u，i 正交； φ = π ，称u，i 反相。
例：i = 10 sin(314t+30°) A u= 5 cos(314t-150°) V
1、代数形式
F = a + jb
j 1 为虚单位 复数F 的实部 Re[F ] = a
+j b
复数F 的虚部 Im[F ] = b
复数 F 在复平面上可以用一条从 O 原点O 指向F 对应坐标点的有向 线段表示。
F a +1
2、三角形式
+j
b
O
F a +1
F F (cos j sin )
模
F a2 b2
2、角频率ω
i
反映正弦量变化的快慢
Im
单位 rad/s ωT=2π ω=2πf
2π O
π 2π ωt
i
f=1/T
频率f 的单位为赫兹（Hz）
周期T的单位为秒（s）
工频，即电力标准频率：f =50Hz,
T = 0.02s
ω =314 rad/s
3、初相位（角） i
主值范围内取值 i 180
i
Im 2π
= - 4.07 + j3.07 = 5.1 /143°
F1 F2
=
3-j4 10 /135°
= 5 /-53.1 ° 10 /135°
= 0.5 /-188.1 °
= 0.5 /171.9 ° 辐角应在主值范围内
F1 F2
| F1 | 1 | F2 | 2
F1 F2
/1 2
三、旋转因子
e j 1/
是一个模等于1，辐角为θ的复数。
任意复数A乘以e jθ
等于把复数A逆时针旋转一个角度θ， 而A的模值不变。
j
e2j
j
e 2 -j
e j -1
因此，“±j”和“-1”都可以看成旋转因子。
例如
一个复数乘以j， 等于把该复数逆时针旋转π/2，
求电压和电流的相位差。
30 (150) 180
i = 10 sin(314t+30°) = 10 cos(314t+30°-90°) = 10 cos(314t-60°)
60 (150) 90
正弦量相应符号的正确表示
瞬时值表达式 i = 10 cos(314 t + 30°)A 变量，小写字母
1、基尔霍夫电流定律
对电路中任一点，根据KCL有 Σ i = 0
其相量形式为
•
I 0
2、基尔霍夫电压定律
对电路任一回路，根据KVL有 Σ u = 0
其相量形式为
•
U 0
二、电阻、电感和电容元件的VCR相量形式
1、电阻元件 瞬时值表达式 iR R
+ uR -
uR RiR
+j
•
相量形式
•
IR R
•
最大值 Im= 10A 有效值 I = 10 A
2
常数，大写字母加下标m 常数，大写字母
最大值相量
•
Im
10
/30
A
有效值相量
•
I
10
/ 30
2
常数，大写字母加 下标m再加点
常数，大写字母加点
5 2 / 30 A
电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律
正弦电流电路中的各支路电流和支路电压都
是同频正弦量，所以可以用相量法将KCL和KVL 转换为相量形式。
F1 F2 (a1 jb1) (a2 jb2 )
几何意义 +j (a1 a2 ) j(b1 b2 )
F1 F2
F1
F2
O
F2
F1 F2
+1
3、乘法
用极坐标形式比较方便
设
F1 | F1 | 1
F2 | F2 | 2
F1F2 F1 1 F2 2 F1 F2 /1 2
4、除法
3、正弦交流电路
考试点一
• 1、掌握正弦量的三要素和有效值 • 2、掌握电感、电容元件电流电压关系的
相量形式及基尔霍夫定律的相量形式 • 3、掌握阻抗、导纳、有功功率、无功功
率、视在功率和功率因数的概念 • 4、熟练掌握正弦电路分析的相量方法 • 5、了解频率特性的概念
预备知识——复数
一、复数的形式
O
π
2π
ωt
i
(t i ) 称为正弦量的相位，或称相角。
三、正弦量的有效值
def
I
1 T i2dt T0
def
I
1 T
T 0
Im 2
cos2
(t
i
)dt
c os2
(t
i
)
源自文库
1
c os [2(t
2
i
)]
I Im / 2 0.707Im
I Im 2
U Um 2
E Em 2
四、同频率正弦量相位的比较
=8.66+j5
二、复数的运算
1、加法
用代数形式进行，
设
F1 a1 jb1
F2 a2 jb2
F1 F2 (a1 jb1) (a2 jb2 )
(a1 a2 ) j(b1 b2 )
几何意义 +j F1 F2
F2
F1
O
+1
2、减法
用代数形式进行，
设
F1 a1 jb1
F2 a2 jb2
正弦量的概念
一、正弦量
电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正 弦量。
对正弦量的描述，可以用sine，也可以用cosine。 用相量法分析时，不要两者同时混用。本讲采用 cosine。
二、正弦量的三要素
i
+
u-
瞬时值表达式： i I m cos(t i )
1、振幅（最大值） Im
正弦量在整个振荡过程中达到的最大值。
一个复数除以j， 等于把该复数乘以-j， 等于把它顺时针旋转π/2 。
虚轴等于把实轴+1乘以j而得到的。
例：设F1=3-j4，F2=10 /135° 求 : F1+ F2 和 F1/ F2 。
解：求复数的代数和用代数形式：
F2 = 10 /135°
=10（cos135°+jsin135°) = -7.07 + j7.07
辐角 arctan b
a
3、指数形式 根据欧拉公式
e j cos j sin
F F (cos j sin )
F F e j
4、极坐标形式
F =|F| /θ
3+j4= 5 /53.1°
× -3+j4= 5 /-53.1 °
10 /30 ° =10(cos30 °+ jsin30 °)
=5 /126.9 °
UR
IR
+
•-
UR
i u
•
•
UR RIR
O
+1
相量图
2、电感元件
瞬时值表达式 iL L
+
uL
-
uL
L
di dt
•
+j
相量形式
•
IL
L
+
•
UL
•
•
UL
-
•
u I L
i
O 相量图
+1
U L jL IL
3、电容元件
i Im cos(t i )
u U m cos(t u ) 相位差 u i
相位差也是在主值范围内取值。 φ > 0，称u超前i； φ < 0，称u落后i； φ = 0，称u,i 同相；
φ = π/2，称u，i 正交； φ = π ，称u，i 反相。
例：i = 10 sin(314t+30°) A u= 5 cos(314t-150°) V
1、代数形式
F = a + jb
j 1 为虚单位 复数F 的实部 Re[F ] = a
+j b
复数F 的虚部 Im[F ] = b
复数 F 在复平面上可以用一条从 O 原点O 指向F 对应坐标点的有向 线段表示。
F a +1
2、三角形式
+j
b
O
F a +1
F F (cos j sin )
模
F a2 b2
2、角频率ω
i
反映正弦量变化的快慢
Im
单位 rad/s ωT=2π ω=2πf
2π O
π 2π ωt
i
f=1/T
频率f 的单位为赫兹（Hz）
周期T的单位为秒（s）
工频，即电力标准频率：f =50Hz,
T = 0.02s
ω =314 rad/s
3、初相位（角） i
主值范围内取值 i 180
i
Im 2π