2017-2019三年高考真题理科数学试题分类汇编：专题20不等式选讲

3 (2 ab ) (2 bc ) (2 ac )
=24 ．
所以 (a b)3 (b c) 3 (c a)3 24 ．
【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用 能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立．
2．【 2019 年高考全国Ⅱ卷理数】已知 f (x) | x a | x | x 2 | ( x a). （ 1）当 a 1 时，求不等式 f ( x) 0 的解集； （ 2）若 x ( ,1) 时， f ( x) 0 ，求 a 的取值范围．
专题 20 不等式选讲
1．【 2019 年高考全国Ⅰ卷理数】已知 a， b， c 为正数，且满足 abc=1．证明：
（1） 1 1 1 a2 b2 c2； abc
（2） (a
3
b)
(b
3
c)
(c
3
a)
24 ．
【答案】（ 1）见解 +析；（ 2）见解 +析．
（ 1）因为 a 2 b 2 2ab, b2 c2 2bc ,c2 a 2 2ac ，又 abc 1，故有
5．【 2018 年高考全国Ⅰ卷理数】已知 f (x) | x 1百度文库 | ax 1| ．
（ 1）当 a 1 时，求不等式 f (x) 1 的解集；
（ 2）若 x (0,1) 时不等式 f ( x) x 成立，求 a 的取值范围．
【答案】（ 1） { x | x 1} ；（ 2） (0, 2] ． 2
【答案】（ 1） ( ,1) ；（ 2） [1, ) （ 1）当 a=1 时， f (x)=| x 1| x+|x 2|(x 1) ． 当 x 1时， f ( x) 2( x 1)2 0 ；当 x 1时， f (x) 0． 所以，不等式 f ( x) 0的解集为 ( ,1) ．
1
（ 2）因为 f ( a)=0 ，所以 a 1 ．
（ 1）当 a 1 时， f ( x) | x 1| | x 1| ，即 f ( x)
2, x 1, 2x, 1 x 1, 2, x 1.
故不等式 f (x) 1 的解集为 { x | x
1 }．
2
（ 2）当 x (0,1) 时 | x 1| | ax 1| x 成立等价于当 x (0,1) 时 | ax 1| 1成立．
1 或 x 1} ． 3
当 x<0时，原不等式可化为
1 x 1 2x 2 ，解得 x< ；
3
1
当 0≤x≤ 时，原不等式可化为 x+1–2x>2，即 x<–1，无解；
2
1
当 x> 时，原不等式可化为 x+2 x–1>2 ，解得 x>1．
2
综上，原不等式的解集为 { x | x
1或 x 1} ． 3
【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．
（ 1）求 ( x 1)2 ( y 1)2 ( z 1)2 的最小值；
（ 2）若 ( x 2)2 ( y 1)2 ( z a) 2
1 成立，证明： a
3或 a
1．
3
【答案】（ 1） 4 ；（ 2）见详解． 3
（ 1）由于 [( x 1) ( y 1) ( z 1)]2
( x 1)2 ( y 1)2 ( z 1)2 2[( x 1)( y 1) ( y 1)(z 1) ( z 1)(x 1)]
（ 2） f ( x) 1等价于 | x a | | x 2 | 4 ．
而 | x a | | x 2 | | a 2 |，且当 x 2 时等号成立．故 f ( x) 1等价于 | a 2 | 4 ． 由 | a 2 | 4 可得 a 6 或 a 2 ，所以 a 的取值范围是 ( , 6] [2, ) ．
若 a 0 ，则当 x (0,1) 时 | ax 1| 1 ；
若a
0 ， | ax 1| 1的解集为 0
x
2
2
，所以
1，故 0 a
2．
a
a
综上， a 的取值范围为 (0, 2] ．
6．【 2018 年高考全国Ⅱ卷理数】设函数 f (x) 5 | x a | | x 2| ． （ 1）当 a 1 时，求不等式 f (x) 0 的解集；
a2 b2 c2
ab bc ca
ab bc ca
1
11
．
abc
abc
所以 1 1 1 a 2 b 2 c2 ． abc
（ 2）因为 a, b, c 为正数且 abc 1，故有
( a b)3 (b c) 3 ( c a) 3 33 (a b)3(b c)3 (a c)3 =3( a+b)(b+c)(a+c)
3
3
3
因此 (x 2)2 ( y 1)2 ( z a)2 的最小值为 (2 a)2 ． 3
由题设知 (2 a)2
1
，解得
a
3或 a
1．
33
2
【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型．
4．【 2019年高考江苏卷数学】设 x R ，解不等式 |x|+|2 x 1|>2 ．
【答案】 { x | x
3 ( x 1)2 ( y 1)2 ( z 1)2 ，
故由已知得 ( x 1)2
( y 1)2
( z 1)2
4
，
3
当且仅当 x= 5 ， y=–1 ， z
3
3
1
时等号成立．
3
所以 (x 1)2 ( y 1)2 ( z 1) 2 的最小值为 4 ． 3
（ 2）由于 [( x 2) ( y 1) (z a)]2
当 a 1 ， x ( ,1) 时， f ( x)=( a x) x+(2 x)(x a)=2( a x)(x 1)<0 ．
所以， a 的取值范围是 [1, ) ．
【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型．
3．【 2019 年高考全国Ⅲ卷理数】设 x, y, z R ，且 x y z 1．
3
（ 2）若 f ( x) 1 ，求 a 的取值范围． 【答案】（ 1） { x | 2 x 3} ；（ 2） ( , 6] [2, ) ．
（ 1）当 a 1 时， f ( x)
2 x 4, x 1, 2, 1 x 2,
2x 6, x 2.
可得 f ( x) 0的解集为 { x | 2 x 3} ．
( x 2) 2 ( y 1)2 ( z a) 2 2[( x 2)( y 1) ( y 1)( z a) ( z a)( x 2)]
3 ( x 2)2 ( y 1)2 (z a)2 ，
故由已知 ( x 2)2
( y 1)2
(z a)2
(2 a) 2
，
3
当且仅当 x
4 a，y
1 a，z
2a 2
时等号成立．