苏教版数学高二必修五导学案2.2 等差数列(第2课时)11

第二章 数列

2．2 等差数列（第2课时）11 **学习目标**

1．了解等差数列的性质，会用性质解决等差数列的简单问题； 2．能进一步根据等差数列的定义判断或证明一个数列为等差数列． **要点精讲**

1．等差数列的性质

（1）在等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+(,,,)m n p q N *

∈．

（2）在等差数列{}n a 中，12n n n a a a ++=；2n k n k n a a a +-+=(,,)n k n n k N *

-+∈． （3）在等差数列{}n a 中，2,,,,,m m k m k m nk a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅也成等差数列． 2．数列{}n a 为等差数列的证明方法．

（1）若1n n a a --=常数对任意的整数1n >成立，则数列{}n a 为等差数列． （2）若112n n n a a a +-+=对任意的整数1n >成立，则数列{}n a 为等差数列． **范例分析**

例1．在等差数列{}n a 中，

（1）若3456450a a a a +++=，则18a a += ；

（2）若1235a a a ++=，45610a a a ++=，则789a a a ++= ．

例2．（1）已知三个数成等差数列，其和为15，首末两数的积为9，求此数列； （2）成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求此数列． （3）一个直角三角形三边的长组成等差数列，求这个直角三角形三边长的比．

例3．已知数列{}2log (1)()n a n N *-∈为等差数列，且133,9a a ==．求数列{}n a 的通项

公式．

例4．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足()1202,n n n a S S n n N -+=≥∈，112

a =

， （Ⅰ）求证：1n S ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

是等差数列； （Ⅱ）求n a 的通项表达式．

**规律总结**

1．利用等差数列的性质解题能够简化运算；

2．在等差数列{}n a 中，序号成等差数列的项构成一个新的等差数列；

3．判定或证明一个数列{()}n f a 成等差数列，要把()n f a 看成一个整体，()n f a 为第n 项，第1n +项为1()n f a +． **基础训练** 一、选择题

1．在等差数列{n a }中,若1201210864=++++a a a a a ,则12102a a -的值为 （ ） A 、20 B 、22 C 、24 D 、28 2．关于等差数列，有下列四个命题：

①若有两项是有理数，则其余各项都是有理数； ②若有两项是无理数，则其余各项都是无理数；

③若数列{n a }是等差数列，则数列{}n ka 也是等差数列；

④若数列{}n a 是等差数列，则数列2

{}n a 也是等差数列．

其中是真命题的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 3．已知数列{}n a 中32a =，71a =，又数列11n a ⎧⎫

⎨

⎬+⎩⎭

为等差数列，则11a 等于（

）

A 、0

B 、

21 C 、3

7

D 、1- 4．若,,a b c 成等差数列，则二次函数2

()2f x ax bx c =++的零点个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．不确定

5．已知方程()()22220x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为1

4

的等差数列，则

m n -等于（ ） A 、1 B 、34 C 、12 D 、3

8

二、填空题

6．在ABC ∆中，三个内角,,A B C 成等差数列， 则tan

tan 3tan tan 2222

A C A C

++= ． 7．在等差数列}{n a 中，475a a +=，566a a =，则通项公式n a = ． 8．如图（1）是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成4个三角形（如图（2）），再分别连结图（2）中间的小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形（如图（3））．依此类推，第n 个图中原三角形被剖分为n a 个三角形．则数列{}n a 的通项公式是 ；第100个图中原三角形被剖分为 个三角形？

三、解答题

9．已知数列{}n a 中，91

7

a =

，131n n n a a a +=+

（1）求证：数列1n a ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

为等差数列；（2）求n a 。

10．如图，三个正方形的边,,AB BC CD 的长组成等差数列，且21AD =cm ，这三个正方形的面积之和是1792

cm ． （1）求,,AB BC CD 的长；

（2）以,,AB BC CD 的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？

**能力提高**

11．若{}n a 是等差数列，则123a a a ++，456a a a ++，789a a a ++，…，32313n n n

a a a --++（ ）

A 、一定不是等差数列

B 、一定是递增数列

C 、一定是等差数列

D 、一定是递减数列

12．已知数列{}n a 满足递推关系式11a =，1221()n n n a a n N *

+=+-∈，

（1）求证：数列1

{}2

n n a -为等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式．