苏教版数学高二必修五导学案2.2 等差数列(第2课时)11
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第二章 数列
2．2 等差数列（第2课时）11 **学习目标**
1．了解等差数列的性质，会用性质解决等差数列的简单问题； 2．能进一步根据等差数列的定义判断或证明一个数列为等差数列． **要点精讲**
1．等差数列的性质
（1）在等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+(,,,)m n p q N *
∈．
（2）在等差数列{}n a 中，12n n n a a a ++=；2n k n k n a a a +-+=(,,)n k n n k N *
-+∈． （3）在等差数列{}n a 中，2,,,,,m m k m k m nk a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅也成等差数列． 2．数列{}n a 为等差数列的证明方法．
（1）若1n n a a --=常数对任意的整数1n >成立，则数列{}n a 为等差数列． （2）若112n n n a a a +-+=对任意的整数1n >成立，则数列{}n a 为等差数列． **范例分析**
例1．在等差数列{}n a 中，
（1）若3456450a a a a +++=，则18a a += ；
（2）若1235a a a ++=，45610a a a ++=，则789a a a ++= ．
例2．（1）已知三个数成等差数列，其和为15，首末两数的积为9，求此数列； （2）成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求此数列． （3）一个直角三角形三边的长组成等差数列，求这个直角三角形三边长的比．
例3．已知数列{}2log (1)()n a n N *-∈为等差数列，且133,9a a ==．求数列{}n a 的通项
公式．
例4．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足()1202,n n n a S S n n N -+=≥∈，112
a =
， （Ⅰ）求证：1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列； （Ⅱ）求n a 的通项表达式．
**规律总结**
1．利用等差数列的性质解题能够简化运算；
2．在等差数列{}n a 中，序号成等差数列的项构成一个新的等差数列；
3．判定或证明一个数列{()}n f a 成等差数列，要把()n f a 看成一个整体，()n f a 为第n 项，第1n +项为1()n f a +． **基础训练** 一、选择题
1．在等差数列{n a }中,若1201210864=++++a a a a a ,则12102a a -的值为 （ ） A 、20 B 、22 C 、24 D 、28 2．关于等差数列，有下列四个命题：
①若有两项是有理数，则其余各项都是有理数； ②若有两项是无理数，则其余各项都是无理数；
③若数列{n a }是等差数列，则数列{}n ka 也是等差数列；
④若数列{}n a 是等差数列，则数列2
{}n a 也是等差数列．
其中是真命题的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 3．已知数列{}n a 中32a =，71a =，又数列11n a ⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
为等差数列，则11a 等于（
）
A 、0
B 、
21 C 、3
7
D 、1- 4．若,,a b c 成等差数列，则二次函数2
()2f x ax bx c =++的零点个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．不确定
5．已知方程()()22220x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为1
4
的等差数列，则
m n -等于（ ） A 、1 B 、34 C 、12 D 、3
8
二、填空题
6．在ABC ∆中，三个内角,,A B C 成等差数列， 则tan
tan 3tan tan 2222
A C A C
++= ． 7．在等差数列}{n a 中，475a a +=，566a a =，则通项公式n a = ． 8．如图（1）是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成4个三角形（如图（2）），再分别连结图（2）中间的小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形（如图（3））．依此类推，第n 个图中原三角形被剖分为n a 个三角形．则数列{}n a 的通项公式是 ；第100个图中原三角形被剖分为 个三角形？
三、解答题
9．已知数列{}n a 中，91
7
a =
，131n n n a a a +=+
（1）求证：数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列；（2）求n a 。
10．如图，三个正方形的边,,AB BC CD 的长组成等差数列，且21AD =cm ，这三个正方形的面积之和是1792
cm ． （1）求,,AB BC CD 的长；
（2）以,,AB BC CD 的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？
**能力提高**
11．若{}n a 是等差数列，则123a a a ++，456a a a ++，789a a a ++，…，32313n n n
a a a --++（ ）
A 、一定不是等差数列
B 、一定是递增数列
C 、一定是等差数列
D 、一定是递减数列
12．已知数列{}n a 满足递推关系式11a =，1221()n n n a a n N *
+=+-∈，
（1）求证：数列1
{}2
n n a -为等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式．