可化为一元二次方程的方程

九年级数学竞赛培优讲义

第 讲 可化为一元二次方程的方程

知识精讲

在中学里，对于次数超过2的整式方程（称为高次方程），通常运用因式分解或换元法，把它转化为一元二次方程或一元一次方程去求解。

例题精析

例1、解方程：()()21320x x x -++=

例2、求方程033)132(323=+++--x x x 的3个根

例3、已知实数x 、y 满足42423x x

-=，423y y +=，求444y x +的值。

例4、若关于x 的方程22x x k x -=恰有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围。

例5、已知a 、b 都是负实数，且1110a b a b

+-=-，求b a 的值。

例6、已知三个关于x 的一元二次方程,0,0,0222=++=++=++b ax cx a cx bx c bx ax 恰有一个公共实数根，求ab

c ca b bc a 2

22++的值。

例7、设抛物线4

52)12(2+

+++=a x a x y 的图象与x 轴只有一个交点，求618323-+a a 的值。

例8、设b a ,是方程0142=+-x x 的两个根，d c ,是方程0252=+-x x 的两个根。记

c

b a d d b a

c

d c a b d c b a t +++++++++++=，用t 表示c b a d d b a c d c a b d c b a +++++++++++2222。

习题精练

1、解方程：()()22340x x x ---=

2、解方程：2211231x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

3、解方程：2

22171406x x x x ⎛⎫⎛⎫----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

4、解关于x 的方程：52a x b x b x a x +++=++

5、解方程：2214x x ++

6、解方程：022058=++-+x x

7、解方程：322520x x x +-+=

8

21031x x =--

9、如果b a ,是质数，且,013,01322=+-=+-m b b m a a 求

b

a a

b +的值。

10、已知),12)(23(),12)(23(++-=--=b a 在实数范围内，方程222222121212121212b

b a a x x b b a a x x -⋅-⋅-=-+-+-的解x =__________________。

11、若两方程0122=-+ax x a 和022=--a ax x 有公共根，求a 的值。

12、已知c b a ,,三数满足方程组⎩⎨⎧=+-=+48

2882c c ab b a ，试求方程02=-+a cx bx 的根。

13、已知c b a ,,都是整数，且01,422=-+=-c ab b a ，求c b a ++的值。

14、实数c b a ,,满足c b a >>，且1,1222=++=++c b a c b a 。求证：341<+

15、已知实数b a ≠，且满足22)1(3)1(3),1(33)1(+-=++-=+b b a a 。求b

a a a

b b +的值。

16、已知方程0132=+-x x 的两个根βα,也是方程026=+-q px x 的根，求q p ,的值。