第4,5章习题课1概率统计

第四、五章习题

1、 已知连续型随机变量X 的概率密度为

1221

)(---=x x e x f π

试求X 的数学期望和方差。

2. 设随机变量X 与Y 相互独立，且X ~N (1,2)，Y ~N (0,1)，求Z =2X -Y +3的概率密度。

3. 已知随机变量X 的概率密度为

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>+=--⨯-0

202)(8222

22x e a x ae e a x f x x x

ππ

λ 其中常数a >0，λ>0未知，且知E (X )=1。求常数a ，λ。

4. 设X ，Y 是两个互相独立且均服从正态分布))21

(,0(2N 的随机变量，求E (|X -Y |)，D (|X -Y |)。

5. 现有n 个袋子，每袋装有a 只白球和b 只黑球(a >0，b >0)，先从第一个袋中摸出一球，记下颜色后就把它放入第二个袋中，照这种办法依次摸下去，最后从第n 个袋中摸出一球，并记下颜色。若在这n 次摸球中所得的白球总数为S n ，求E (S n )。

6．袋中有N 个球，其中白球数X 是随机变量，且知其数学期望E (X)=n ，(n ≤N )。今从袋中随机摸一球，求获得

白球的概率。

7．设随机变量X 在[0,2]上服从均匀分布，Y 服从参数为1的指数分布，且X 与Y 相互独立，试求E (XY )，D (XY )。

8. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，求E (X +e -2X )

9. 设随机变量X 在[-1,2]上服从均匀分布, 随机变量

⎪⎩

⎪⎨⎧<-=>=01000,1X X X Y 求D ( Y ).

10．已知随机变量

⎩

⎨⎧>>=+-其他 000, y x e )y ,x (f ~)Y ,X ()y x ( 求：E (X )，E (XY )，P (X

11. 设二维随机变量（X ，Y ）的密度函数为

)],(),([2

1),(21y x y x y x p ϕϕ+= 其中),(1y x ϕ，),(2y x ϕ都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为1/3和-1/3，它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是0，方差都是1。

（1）求随机变量X 和Y 的密度函数，及X 与Y 的相关系数；

（2）问X 与Y 是否独立，为什么？

12．已知随机变量X 与Y 分别服从N (1,32)和N (0,42),且X 与Y 的相关系数ρXY =-1/2，设2

3Y X Z -= (1) 求Z 的数学期望E （Z ）和方差D （Z ）；

(2) 求X 与Z 的相关系数；

(3) 问X 与Z 是否相互独立？为什么？

13．设随机变量X 1，X 2相互独立，且都服从区间[0,1]上的均匀分布，令Y = min(X 1，X 2)，Z = max (X 1，X 2)，

求EY ，EZ ，ρYZ 。

14 随机变量X 在[0,2π]上服从均匀分布, 又随机变量Y =cos X , Z =cos(X +a ), 其中a ∈[0,2π]为常数，试求Y 与Z

的相关系数；并讨论Y 与Z 的相关性和独立性。

15 二维随机变量（X ，Y ）在矩形G={(x , y ):0< x <2, 0< y <1}上服从均匀分布，记

Y X Y X U >≤=1,0{ Y X Y X V 212,0{>≤=

求U 和V 的相关系数。

16．设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从标准正态分布，Y 服从参数λ=3的泊松分布。令U =X ，V =(1/2)X +bY ，

求常数b 使D （V ）=1，且在这种情况下，计算U 和V 的相关系数ρ。

17．设X ~N (0,4),Y ~π（2）,ρXY =1/2,求E (X +Y )2

18．设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2和-2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5。试根据切比雪夫不等

式估计P (|X +Y |≥6)之值。

19．假设X 1,…,X n 是来自总体X 的样本，已知E (X k )=a k ,(k =1, 2, 3, 4)，证明当n 充分大时，随机变量

∑==n i i n X n Z 1

21近似服从正态分布，并指出其分布参数。

20. 假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为50克，标准差为5克。求

（1） 100个螺丝钉一袋的重量超过5.1千克的概率；

（2） 每箱螺丝钉装有500袋，500袋中最多有4%的重量超过5.1千克的概率。

21、某厂家的自动生产线，生产一件正品的概率为p (0

本为c 元，正品的价格为s 元，次品不能出售。这样，厂家生产一件正品获利s －c 元，生产一件次品亏损c 元（假定每个产品的生产过程是相互独立的）。若生产了N 件产品，问厂家所获利润的期望值是多少？