万有引力与航天 复习教案

第六章 万有引力与航天 复习教案

★新课标要求

1、理解万有引力定律的内容和公式。

2、掌握万有引力定律的适用条件。

3、了解万有引力的“三性”，即：①普遍性②相互性 ③宏观性

4、掌握对天体运动的分析。 ★复习重点

万有引力定律在天体运动问题中的应用 ★教学难点

宇宙速度、人造卫星的运动

★教学方法：复习提问、讲练结合。 ★教学过程

（一）投影全章知识脉络，构建知识体系

（二）本章要点综述 1、开普勒行星运动定律

第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。 第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。即：

3

2a k T

= 比值k 是一个与行星无关的常量。 2、万有引力定律

（1）开普勒对行星运动规律的描述（开普勒定律）为万有引力定律的发现奠定了基础。 （2）万有引力定律公式：

122

m m F G

r

=，1122

6.6710/G N m kg -=⨯⋅ （3）万有引力定律适用于一切物体，但用公式计算时，注意有一定的适用条件。 3、万有引力定律在天文学上的应用。 （1）基本方法：

周期定律

开普勒行星运动定律 轨道定律 面积定律 发现 万有引力定律 表述 G 的测定 天体质量的计算 发现未知天体

人造卫星、宇宙速度 应用 万有引力定律

①把天体的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供：2

22Mm v G m

m r r r

ω== ②在忽略天体自转影响时，天体表面的重力加速度：2M

g G R

=，R 为天体半径。

（2）天体质量，密度的估算。

测出环绕天体作匀速圆周运动的半径r ，周期为T ，由2

224Mm G m r r T

π=得被环绕天体的质量

为2324r M GT π=，密度为3

22

3M r V GT R πρ==，R 为被环绕天体的半径。

当环绕天体在被环绕天体的表面运行时，r ＝R ，则2

3GT π

ρ=。

（3）环绕天体的绕行速度，角速度、周期与半径的关系。

①由2

2Mm v G m r r

=得v =∴r 越大，v 越小

②由2

2

Mm G

m r

r ω=得ω=∴r 越大，ω越小

③由2224Mm G m r r T π=得T =∴r 越大，T 越大

（4）三种宇宙速度

①第一宇宙速度（地面附近的环绕速度）：v 1=s ，人造卫星在地面附近环绕地球作匀速圆周运动的速度。

②第二宇宙速度（地面附近的逃逸速度）：v 2=s ，使物体挣脱地球束缚，在地面附近的最小发射速度。

③第三宇宙速度：v 3=s ，使物体挣脱太阳引力束缚，在地面附近的最小发射速度。 （三）本章专题剖析

1、测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力）

由r T m r Mm G 2

22⎪⎭

⎫ ⎝⎛=π 得2

324GT r M π= 又ρπ⋅=3

34R M 得3

233R GT r πρ=

【例1】继神秘的火星之后，今年土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年亿公里在太空中

风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R 的土星上空离土星表面高h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n 周飞行时间为t 。试计算土星的质量和平均密度。

解析：设“卡西尼”号的质量为m ，土星的质量为M . “卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供.

22

)2)(()(T h R m h R Mm G

π+=+，其中n

t

T =， 所以：2

3

22)(4Gt

h R n M +=π． 又3

3

4R V π=， 3

232)(3R Gt h R n V M +⋅⋅==πρ 2、行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题：（重力近似等于万有引力）

表面重力加速度：2

002R GM

g mg R Mm G

=∴=Θ 轨道重力加速度：()()

2

2h R GM

g mg h R GMm h h +=∴=+Θ 【例2】一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g 0，行星的质量M 与

卫星的质量m 之比M /m=81，行星的半径R 0与卫星的半径R 之比R 0/R ＝，行星与卫星之间的距离r 与行星的半径R 0之比r /R 0＝60。设卫星表面的重力加速度为g ，则在卫星表面有

mg r

GMm =2

……

经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600。上述结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果。 解析：题中所列关于g 的表达式并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度。正确的解法是 卫星表面

2

R Gm ＝g 行星表面

2

R GM

=g 0 即20)(R R M m =0g g 即g =。 3、人造卫星、宇宙速度：

宇宙速度：（弄清第一宇宙速度与卫星发射速度的区别）

【例3】将卫星发射至近地圆轨道1（如图所示），然后再次点火，

将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q 点，2、3相切于P

点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是：

A ．卫星在轨道3上的速率大于轨道1上的速率。

B ．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度。

C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度。

D ．卫星在轨道2上经过P 点的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度。

解：由2

2Mm mv G r r

=

得v =

而v r ω=

= 轨道3的半径比1的大，故A 错B 对，

“相切”隐含着切点弯曲程度相同，即卫星在切点时两

P