教案5-定积分及应用讲解

第五章 定积分及其应用 §5.1定积分概念与性质

定积分的概念是从自然科学和大量实际问题中抽象出来的，比如求变速直线运动的路程问题、平面图形的面积等等。虽然他们的实际意义各不相同，但求解的思路和方法却是类似的。

我们从求曲边梯形的面积谈起。

一、 引例

求曲边梯形的面积：

曲边梯形——是指在直角坐标系下，由闭区间],[b a 上的连续曲线()0y f x =≥，与三条直

线a x =，b x =与0=y （x 轴）所围成的平面图形AabB 叫曲边梯形。（如图5-1所示）

图5-1 图5-2

下面讨论如何计算曲边梯形的面积：

解决这个问题的困难之处在于曲边梯形的上部边界是一条曲线，而在初等数学中，我们只会求如矩形面积、三角形面积、梯形面积等。如图5-2所示。

若把曲边梯形分割成许多细小的曲边梯形，然后用我们易求的矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，则大曲边梯形的面积的近似值就是所有小矩形的面积之和。显然，若分割的越细，小曲边梯形的宽度越小，小矩形和小曲边梯形的近似程度就越高，误差就越小。当所有的小曲边梯形的宽度都趋于零时，则所有小矩形面积之和的极限值就是这个大曲边梯形面积的精确值了。

按照上述思路，计算曲边梯形的面积一般要经过“分割——取近似；求和——取极限”这四个步骤来完成。

第一步：分割（如下图）

在区间[,]a b 内任意插入1n -个分点：

b

x x x x x x x x a n n-i i i =<<<<<<<<<=+-111210ΛΛ即把区间[,]a b 分成n 个小区间：

1[, ]i-i x x （1,2,,i n =L ），

每个小区间的长度记为：1i-i i

x x x -=∆

（1,2,,i

n =L ），

过每个分点作平行y 轴的直线，则把整个曲边梯形分成了n 个小曲边梯形， 第i 个小曲边梯形面积为： i A ∆（1,2,,i n =L ），

则大曲边梯形的面积为：

n A A A A ∆++∆+∆=Λ21；

第二步：取近似（用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积。）

在每个小区间上任取一点1[, ]i i-i x x ξ∈ ，

小矩形面积：以1i-i i x x x -=∆为底，以()i f ξ为

高就可以近似的代替小曲边梯形的面积i A ∆， 即 ()i i i A f ξx ∆≈∆ （1,2,,i n =L ）；

第三步：求和（用小矩形面积的和近似代替大曲边梯形的面积）

n 个小矩形面积的和：

12n A A A A ≈∆+∆++∆L

1122()()()n n f ξx f ξx f ξx ≈∆+∆++∆L 1()n

i i i f ξx ==∆∑

即：

1

()n

i i

i A f x ξ=≈∆∑

第四步：取极限（求出曲边梯形面积的精确值）

当分割越来越细的时候，每个小曲边梯形的宽度都趋近于0。为了便于描述，取小区间宽度的最大值1max{}i i n

λx ≤≤=∆趋于0时，和式

1

()n

i

i

i f ξx =∆∑的极限值就是曲边梯形面积的精确值，

1

lim ()n

i i

λi A f ξx →==∆∑ ——此为曲边梯形的面积

按照上述思路，计算曲边梯形的面积一般要经过“分割——取近似；求和——取极限”这四个步骤来完成。

归纳求曲边梯形面积求法：

曲边梯形面积是用一个和式极限0

1

lim ()n

i

i

λi f ξx →=∆∑表达的。

计算方法归纳为四步： ⑴ 分割——任取分点； ⑵ 取近似——以直代曲； ⑶ 求和——求近似值；

⑷ 取极限——由近似过渡到精确值。

抛开问题的具体意义，只考虑定义在区间[,]a b 的函数()f x ，就可以抽象出定积分的定义。

二、 定积分概念

1、 定积分定义

定义：设函数()f x 在[,]a b 上连续，任取分点

b x x x x x x x x a n n-i i i =<<<<<<<<<=+-111210ΛΛ，

把区间[,]a b 分割成n 个小区间1[, ]i-i x x （1,2,,i n =L ），

其长度记为： （1,2,,i n =L ）

并记：

1max{}i i n

x λ≤≤=∆，

在每个小区间1[, ]i-i x x 上任取一点i ξ（i i i x ξx ≤≤-1），做乘积的和式

（1,2,,i n =L ），

若0λ→时，若上和式极限0

1

lim

()n

i

i

i f x λξ→=∆∑存在，则称函数)(x f 在区间],[b a 上可积，

并称此极限值为)(x f 在],[b a 上的定积分，记作：

()d b

a

f x x ⎰

，

即：

其中：

⎰

——为积分号，

)(x f ——为被积函数， ()d f x x ——为被积表达式， x ——为积分变量，

],[b a ——为积分区间，

b a ,——分别称为积分下限和积分上限。

由定积分的定义，上面引例可表示为定积分：由闭区间],[b a 上的连续曲线()0y f x =≥，与

直线a x =，b x =与x 轴所围成的曲边梯形的面积为：b

a

A f x x =

⎰

()d