教案5-定积分及应用讲解

第五章 定积分及其应用 §5.1定积分概念与性质定积分的概念是从自然科学和大量实际问题中抽象出来的，比如求变速直线运动的路程问题、平面图形的面积等等。

虽然他们的实际意义各不相同，但求解的思路和方法却是类似的。

我们从求曲边梯形的面积谈起。

一、 引例求曲边梯形的面积：曲边梯形——是指在直角坐标系下，由闭区间],[b a 上的连续曲线()0y f x =≥，与三条直线a x =，b x =与0=y （x 轴）所围成的平面图形AabB 叫曲边梯形。

（如图5-1所示）图5-1 图5-2下面讨论如何计算曲边梯形的面积：解决这个问题的困难之处在于曲边梯形的上部边界是一条曲线，而在初等数学中，我们只会求如矩形面积、三角形面积、梯形面积等。

如图5-2所示。

若把曲边梯形分割成许多细小的曲边梯形，然后用我们易求的矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，则大曲边梯形的面积的近似值就是所有小矩形的面积之和。

显然，若分割的越细，小曲边梯形的宽度越小，小矩形和小曲边梯形的近似程度就越高，误差就越小。

当所有的小曲边梯形的宽度都趋于零时，则所有小矩形面积之和的极限值就是这个大曲边梯形面积的精确值了。

按照上述思路，计算曲边梯形的面积一般要经过“分割——取近似；求和——取极限”这四个步骤来完成。

第一步：分割（如下图）在区间[,]a b 内任意插入1n -个分点：bx x x x x x x x a n n-i i i =<<<<<<<<<=+-111210ΛΛ即把区间[,]a b 分成n 个小区间：1[, ]i-i x x （1,2,,i n =L ），每个小区间的长度记为：1i-i ix x x -=∆（1,2,,in =L ），过每个分点作平行y 轴的直线，则把整个曲边梯形分成了n 个小曲边梯形， 第i 个小曲边梯形面积为： i A ∆（1,2,,i n =L ），则大曲边梯形的面积为：n A A A A ∆++∆+∆=Λ21；第二步：取近似（用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积。

）在每个小区间上任取一点1[, ]i i-i x x ξ∈ ，小矩形面积：以1i-i i x x x -=∆为底，以()i f ξ为高就可以近似的代替小曲边梯形的面积i A ∆， 即 ()i i i A f ξx ∆≈∆ （1,2,,i n =L ）；第三步：求和（用小矩形面积的和近似代替大曲边梯形的面积）n 个小矩形面积的和：12n A A A A ≈∆+∆++∆L1122()()()n n f ξx f ξx f ξx ≈∆+∆++∆L 1()ni i i f ξx ==∆∑即：1()ni ii A f x ξ=≈∆∑第四步：取极限（求出曲边梯形面积的精确值）当分割越来越细的时候，每个小曲边梯形的宽度都趋近于0。

为了便于描述，取小区间宽度的最大值1max{}i i nλx ≤≤=∆趋于0时，和式1()niii f ξx =∆∑的极限值就是曲边梯形面积的精确值，1lim ()ni iλi A f ξx →==∆∑ ——此为曲边梯形的面积按照上述思路，计算曲边梯形的面积一般要经过“分割——取近似；求和——取极限”这四个步骤来完成。

归纳求曲边梯形面积求法：曲边梯形面积是用一个和式极限01lim ()niiλi f ξx →=∆∑表达的。

计算方法归纳为四步： ⑴ 分割——任取分点； ⑵ 取近似——以直代曲； ⑶ 求和——求近似值；⑷ 取极限——由近似过渡到精确值。

抛开问题的具体意义，只考虑定义在区间[,]a b 的函数()f x ，就可以抽象出定积分的定义。

二、 定积分概念1、 定积分定义定义：设函数()f x 在[,]a b 上连续，任取分点b x x x x x x x x a n n-i i i =<<<<<<<<<=+-111210ΛΛ，把区间[,]a b 分割成n 个小区间1[, ]i-i x x （1,2,,i n =L ），其长度记为： （1,2,,i n =L ）并记：1max{}i i nx λ≤≤=∆，在每个小区间1[, ]i-i x x 上任取一点i ξ（i i i x ξx ≤≤-1），做乘积的和式（1,2,,i n =L ），若0λ→时，若上和式极限01lim()niii f x λξ→=∆∑存在，则称函数)(x f 在区间],[b a 上可积，并称此极限值为)(x f 在],[b a 上的定积分，记作：()d baf x x ⎰，即：其中：⎰——为积分号，)(x f ——为被积函数， ()d f x x ——为被积表达式， x ——为积分变量，],[b a ——为积分区间，b a ,——分别称为积分下限和积分上限。

由定积分的定义，上面引例可表示为定积分：由闭区间],[b a 上的连续曲线()0y f x =≥，与直线a x =，b x =与x 轴所围成的曲边梯形的面积为：baA f x x =⎰()d注意：（1）定义中区间的分法和i ζ的取法是任意的，即对区间无限细分。

（2）定积分()ba f x dx ⎰是和式1()ni ii f x ξ=∆∑的极限值，是一个常量，这个常量仅与被积函数()f x 和积分区间[,]a b 有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即有：()d ()d ()d bb baaaf x x f t t f u u ==⎰⎰⎰。

（3）如果函数f (x )在[a , b ]上的定积分存在, 我们就说f (x )在区间[a , b ]上可积，否则称不可积。

2、 定积分存在条件（1）若()f x 在[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上可积。

（2）若()f x 在[],a b 上有界，且只有有限个第一类间断点，则()f x 在[],a b 上可积。

3、 定积分几何意义由定积分的定义以及引例1可知，曲边梯形的面积就是()f x 在区间的定积分，这就是定积分的几何意义。

（1）在闭区间[,]a b 上，若函数0)(≥x f ，则定积分()d baf x x ⎰在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,与x 轴所围成的曲边梯形的面积；A dx x f ba=⎰)(（2）在闭区间[,]a b 上，若函数0)(≤x f ，则定积分()d baf x x ⎰在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,与x 轴所围成的曲边梯形面积的负值；A dx x f ba-=⎰)(yy =f (x )baOxA 1 A 3A 2（3）若在],[b a 上)(x f 的值有正也有负，如图5-3所示，则定积分()d baf x x ⎰表示介于x 轴、曲线)(x f y =及直线b x a x ==、之间各部分面积的代数和。

即在x 轴上方的图形面积减去x 轴下方的图形面积：123 ()d baf x x A A A =-+⎰图5-3几何意义： 定积分在几何上表示为曲边梯形面积的代数和。

曲边梯形位于x 轴上方取正值，位于x 轴下方取负值。

∑⎰==ni i baA dx x f 1)( （1,2,,i n =L ）例1 利用定积分的几何意义求12 01d x x -⎰。

解 画出被积函数21y x =-在区间[0,1]上的图形， 由图5-4可看出，在区间[0,1]上， 由曲线21y x =-，x 轴、y 轴所围成的 曲边梯形是14单位圆，所以由定积分的几何意义可得 121d 4x x -=⎰π。

图5-4在引例1中求曲边梯形的面积是将区间[,]a b 无限细分，则相应地曲边梯形被分为无穷多个小竖条。

现考虑以任意一点[,]x a b ∈为左端点的小竖条，其底边为d x （d 0x >），如图5-5所示。

在无限细分的条件下，小竖条的面积就近似等于以()f x 为高，以d x 为底的小矩形的面积，记作d ()d A f x x =，称为面积微元（简称微元）。

将这无穷多个极其微小的面积由x a =到x b =“积累”起来，就成为总面积A ，也就是定积分 ()d baf x x ⎰， 即： ()d baA f x x =⎰。

三、 定积分实质由定积分定义可知，曲边梯形面积为：()b baaA dA f x dx ==⎰⎰定积分实质：定积分()baf x dx ⎰就是由无穷多个面积微元“()f x dx ”累加求和而得的。

xy )(x f y =a bx dxx +()dA f x dx=面积微元图5-5四、 定积分性质 1、 两点规定(1) 当a b =，0)(=⎰ba dx x f ，即 ()0aaf x dx =⎰(2) 当a b >时, ⎰⎰-=ab badx x f dx x f )()( （定积分上下限互换，定积分变号）2、 性质（1）代数和的积分等于积分的代数和[] ()()d ()d g()d bbbaaaf xg x x f x x x x +=+⎰⎰⎰（2）被积函数的常数因子可以提到积分号前()d ()d bbaakf x x k f x x =⎰⎰（k 为常数）；（3）定积分的可加性 设[],c a b ∈，则()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰定积分对积分可加性的几何意义： （如图）§5.2 微积分基本定理积分学要解决两个问题：第一：原函数的求法问题（上一章以经解决）； 第二：定积分的计算问题。

如果我们按照定积分定义计算定积分，那将是相当困难的。

因此寻找一种计算定积分的有效方法便成为积分学发展的关键所在。

不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分和的极限的概念是完全不相干的两个概念，而牛顿和莱布尼茨为我们揭示了这两个概念之间存在的深刻内在联系，即“微积分基本定理”，并由此开辟了求定积分的新途径——牛顿—莱布尼茨公式。

一、 牛顿——莱布尼兹公式1、定理： 若函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数，即)(x F'=)(x f ，则()d ()()()bba af x x F x F b F a ==-⎰。

上式称为牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式，也称为微积分基本公式。

这个公式表明一个连续函数在区间],[b a 上的定积分等于它的一个原函数在区间],[b a 上的增量，这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法。

使用公式注意事项：① 用牛顿-莱布尼兹公式求定积分时，只写出)(x f 的一个原函数)(x F ，不需加常数C ；()F b C '+⎡⎤⎣⎦()F a C '-+=⎡⎤⎣⎦()()F b F a - ② 牛顿-莱布尼兹公式成立条件是：被积函数在积分区间是连续的。