专题07 数列-领军高考数学(理)十年真题(2010-2019)深度思考(新课标Ⅰ卷)

专题07数列

历年考题细目表

题型年份考点试题位置

单选题2019 等差数列2019年新课标1理科09 单选题2018 等差数列2018年新课标1理科04 单选题2017 等差数列2017年新课标1理科04 单选题2017 数列综合题2017年新课标1理科12 单选题2016 等差数列2016年新课标1理科03

单选题2013 数列的定义与通项公

式2013年新课标1理科07

单选题2013 数列应用题2013年新课标1理科12 单选题2012 等比数列2012年新课标1理科05 填空题2019 等比数列2019年新课标1理科14

填空题2018 数列的定义与递推公

式2018年新课标1理科14

填空题2016 等比数列2016年新课标1理科15

填空题2013 数列的定义与通项公

式2013年新课标1理科14

填空题2012 数列的定义与通项公

式2012年新课标1理科16

解答题2015 数列综合题2015年新课标1理科17

解答题2014 数列综合题2014年新课标1理科17

解答题2011 数列综合题2011年新课标1理科17

解答题2010 数列综合题2010年新课标1理科17

历年高考真题汇编

1．【2019年新课标1理科09】记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5 B．a n＝3n﹣10 C．S n＝2n2﹣8n D．S n n2﹣2n

【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，

由S4＝0，a5＝5，得

，∴，

∴a n＝2n﹣5，，

故选：A．

2．【2018年新课标1理科04】记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12

【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3＝S2+S4，a1＝2，

∴a1+a1+d+4a1d，

把a1＝2，代入得d＝﹣3

∴a5＝2+4×（﹣3）＝﹣10．

故选：B．

3．【2017年新课标1理科04】记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）

A．1 B．2 C．4 D．8

【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，

∴，

解得a1＝﹣2，d＝4，

∴{a n}的公差为4．

故选：C．

4．【2017年新课标1理科12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的★答案★：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）

A．440 B．330 C．220 D．110

【解答】解：设该数列为{a n}，设b n2n+1﹣1，（n∈N+），则a i，

由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n＝21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1＝2n+1﹣n﹣2，

可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，

容易得到N＞100时，n≥14，

A项，由435，440＝435+5，可知S440＝T29+b5＝230﹣29﹣2+25﹣1＝230，故A项符合题意．B项，仿上可知325，可知S330＝T25+b5＝226﹣25﹣2+25﹣1＝226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．

C项，仿上可知210，可知S220＝T20+b10＝221﹣20﹣2+210﹣1＝221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．

D项，仿上可知105，可知S110＝T14+b5＝215﹣14﹣2+25﹣1＝215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．

故选A．

方法二：由题意可知：，，，，

根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，

每项含有的项数为：1，2，3，…，n，

总共的项数为N＝1+2+3+…+n，

所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1＝（21+22+23+…+2n）﹣n n＝2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，

则①1+2+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝1，总共有2＝3，不满足N＞100，

②1+2+4+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝5，总共有3＝18，不满足N＞100，

③1+2+4+8+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝13，总共有4＝95，不满足N＞100，

④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝29，总共有5＝440，满足N＞100，

∴该款软件的激活码440．

故选：A．

5．【2016年新课标1理科03】已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝（）

A．100 B．99 C．98 D．97

【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，S99a5．

∴9a5＝27，a5＝3，

又∵a10＝8，

∴d＝1，

∴a100＝a5+95d＝98，

故选：C．

6．【2013年新课标1理科07】设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1＝﹣2，S m＝0，S m+1＝3，则m＝（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【解答】解：a m＝S m﹣S m﹣1＝2，a m+1＝S m+1﹣S m＝3，

所以公差d＝a m+1﹣a m＝1，

S m0，

m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，

得a1＝﹣2，

所以a m＝﹣2+（m﹣1）•1＝2，解得m＝5，

另解：等差数列{a n}的前n项和为S n，即有数列{}成等差数列，

则，，成等差数列，

可得2•，

即有0，

解得m＝5．

又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+a m﹣1）＝﹣2，

m（a1+a m）＝0，（m+1）（a1+a m+1）＝3，

可得a1＝﹣a m，﹣2a m+a m+1+a m+10，

解得m＝5．

故选：C．