对数求导法

y 1 1 1 1 y = ( + − − ) 2 x −1 x − 2 x − 3 x − 4
'
即
1 ( x − 1)( x − 2) 1 1 1 1 y = ( + − − ) 2 ( x − 3)( x − 4) x − 1 x − 2 x − 3 x − 4
'
练习题求y =
5 5
x−5 x +2
x
的怎样进行求导呢？
这里我们介绍一种新的求导方法—对 数求导法，即利用对数进行求导．在 这我们有两个问题． （１）怎么利用对数进行求导？ （２）对数求导法有哪些简便之处？ .
对数求导法的步骤
1.对y = f ( x)两边同时取对数.
2.两边同时关于x求导数.
3.移项，移成y ' = y ' ( x )的形式
x ln 1+ x
x =e
x ln
x 1+ x
=e
x (ln x − ln(1+ x ))
对 y关于 x求导数
x (ln x − ln(1 + x ))
x (ln x − ln(1 + x ) + 1 − ) 1+ x
x 1 x x = + ) (ln 1+ x 1+ x 1+ x
2
的导数.
小结：对数求导法可以把乘积的函数转化成 加减的函数，把函数的幂运算转化成 函数的相乘运算，这会简化我们的求 导运算。
谢谢！ 谢谢！
1 y y
'
'
= c o s x ln x +
x
s in x x
sin x 于是y = x (cos x ln x + ) x
对于一般形式的幂指函数
y = u v , (u > 0)
（1）
如果u = u ( x ), v = v ( x ) 都可导，我们可以像例1一样利用 对数求导法，求出（1）的导数，也可以把幂指函数化为
y=e
ln u v
=e
v ln u
（2）
这样就可以直接求导了
vu ' y ' = u v ( v ' ln u + ) u
（3）
下面我们利用（2）（3）的步骤，求下面的例子 x x 例2 求 y = , ( x > 0)的 导 数 . 1+ x 解 原函数可化为
y=e
y =e
'
一、幂指函数的对数求导法
例1 求 y = x sin x , ( x > 0 ) 的导数. 注 这种类型的函数，我们称它为幂指函数。 （如果说我看得远，那是因为我站在巨人们的肩上.）
解:两边同时取对数，得
ln y = ln xsin x = sin x ln x
上式两边对x求导，注意到y = y ( x )，得
§4.4 对数求导法
我们学过导数公式，导数四则运算， 我们学过导数公式，导数四则运算， 高阶导数及隐含数求导， 高阶导数及隐含数求导，这使我们能够对 很多类型的函数进行求导函数， 很多类型的函数进行求导函数，但对下列 函数
( x −1)( x − 2) y = x ,( x > 0)以及y = ( x − 3)( x − 4)
解 先在两边取对数，得
ln y = ln ( x − 1)( x − 2) ( x − 3)( x − 4)
两边同时对x求导数，注意到y = y( x)，得
1 = (ln( x − 1) + ln( x − 2) − ln( x − 3) − ln( x − 4)) 2
1 ' 1 1 1 1 1 y = ( + − − ) y 2 x −1 x − 2 x − 3 x − 4
思Biblioteka Baidu题 求
x x , ( x > 0) y=x
的导数.
小结：对于幂指函数求导，我们利用对数把指数 从底数的“肩膀”上拉下来，幂指函数就转化成相 乘的函数，进而简化求导运算.
二、乘积形式的函数的对数求导法 例3 求 y =
( x − 1)( x − 2) , ( x > 4) 的导数. ( x − 3)( x − 4)