关系映射反演原则

关
(RMI 原则)
1 RMI 原则的思想与含义
关系映射反演法(简记为RMI 原则)的基本思想是转换思想，即把一种待解决或未解决的问题,通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去,最终求得原问题的解答。

关系映射反演法是在这一转换思想指导下处理数学问题的一种具体手段与方式。

一般地可表述为：设S 为含有目标原像x 的、具有某种关系结构的集,若在S 中直接求x 有困难,可建立可逆映射φ，它满足：(1) S 在φ下的像φ(S)包含于另一个具有关系结构的集S*；且(2)S*中可以较容易地确定目标映像x*=φ(x) ，这样一来,就可以通过反演1-ϕ来确定x(即x=1-ϕ(x*))。

这个全过程可以概括为以下几个步骤:关系→映射→定映→反演→得解，并可用图表示如下：
2关系映射反演原则在概率逼近中的应用
用概率方法研究逼近中的问题，其关键是如何运用关系映射反演原则，即包括怎样把逼近中的有关问题适当地用概率语言描述，使其变成概率中的问题（此步即寻找关系映射φ）然后是如何应用概率论的方法把用概率语言描述的逼近问题进行处理,即求解（此步为映射功φ），最后是把定映后的概率语言翻译成我们所要
解决的逼近问题（此步为反演1
-φ）。

下面用图说明此过程。

由关系映射反演原则知：概率逼近的关键是如何通过原象关系，确定映射φ（用
概率语言描述） 确定定映ψ（怎样在概率论中求解）和反演1
-ϕ中（去掉概率语
言）。

下面通过例子来说明关系映反演原则在概率逼近中的重要作用及应用。

3用概率论方法weiesrtrass 逼近定理
定理：设)(x f 在b
a ,上连续，那么对任意0>ε，总存在多项式)(x φ，使得：
φ
-f =
ε
φ<-)()(sup x x f
b
a x ,∈
由数学分析教材只需考虑
1
,0,=b a 的情形即可,现在我们先应用概率知识来直
观地解释一下weiesrtrass 定理的概率证明的想法及Bernstein 多项式的由来和关系映射反演原则的作用
1设随机变量ξ的取值范围为{0,1}，对任意}1,0{∈x 它的分布律为
x P x -==1)0(ξ，x P x ==)1(ξ (1) （此处及今后与x 有关的概率记作(.)x P )
设1ξ，2ξ， n ξ总与ξ同分布，且相互独立。

对任意1,0∈x ，∑=n
k 1ξ，服从二项分布
)
(1L P n
k k x =∑=ξ L
n L L k L x x C P --=)1(
L=0，1， ，n (2)
2 对任意
1
,0∈x ，与x 有关的数学期望，方差分别记成
(.)
x E ，
(.)
x D ，
则在上述记号下，由概率论知
)
6()
1(1)1()
5()1()4(1)1()3(1)1(01
2
12
211n
x x D n
n D x x E E D x E n n E x x x E k n k k n k k x x x x k n
k k n k k x x -=
=-=-====⋅+-⋅=∑∑∑∑====ξξξξξξξξ
3切贝晓夫不等式：设随机变量η的方差存在，则对任意正数δ，有不等式
)
7((2
δ
η
δηηD E P ≤
≥-
由切贝晓夫不等式及（4），（6）知，对任何
1
,0∈x 及任何0>δ有
)
8(41)1()1(1
)|)1(1(|1(12
22111∑∑∑∑====≤-=≤≥-=≥-n k k x n
k k n k x k x n k k x n n x x n D n E n P x n P δδξδδξξδξ
这就是说，当n 充分大时，∑=n k k n 11ξ与x 的误差δ≥的“可能性”很小，即∑=n
k k n 1
1ξ与x 的误差δ<“可能性”很大。

而δ任意，所以可以认为：当n 充分大时，在
上述意义下∑=n k k n 11ξ可以任意“逼近”x ，于是在上述意义下(f ∑=n
k k n 11ξ) 可以任
意逼近)(x f ，由于随机变量η的数学期望的直观意义为η的按概率平均所得的
值，所以我们可以推测当n 充分大时，(f E x ∑=n
k k n 11ξ）逼近(f E x x ）=)(x f 而由
（2）及随机变量函数的数学期望的公式
)
9()1()()()1(0
01L
n L L n n
L L n L n k k x x x C n L
f P n L f n f E -===-==∑∑∑ξ
这就是Bernstein 多项式)(x B n 下面是这个近逼定理的概率证明 证：给定
1
,0∈x ，由（9）得
)
()1(1
x B n f E n n
k k x =∑=ξ
又有数学期望的性质，)()(x f x f E x =，η
ηE E ≥可得
)
10(21|)()(|)
(|)()(||)()(|)
(|)()(|)
(|)()(||
)()1(||)(1(|)
1(|)(1(|)
()(1
1
1
01
1
'1∑∑∑
∑∑
∑∑∑∑∑∑+≥-=-+
<-=-=
=-=-≤-=-=-=======εξεξξξξξx f n
L
f L P x f n L
f x f n L
f L P x f n L
f L P x f n L
f x f n f E x f n f E x f E n f E x f x B n k k x n
k k x n
k k x n
L n
k k x n
k k x
n
k x k x n
显然由（2）可得
)
11()(10
1
εξ
ε==≤∑∑∑==L P n L n
k k
x
这需要估计∑2
由于)(x f 在1,0连续，因在1,0上有界，设其界为M ，即对任何1
,0∈x ，
M
x f ≤)(于是
)
12()|)()1(1(2)()(|(221
1∑∑∑∑==≥-+=≥-=≤n
k k x n
k k x x f n MP x f n L
f L
P M
εξεξ
由于)(x f 在1,0连续因而一致连续，即对任何0>ε，存在1
,0∈x 无关的0>δ，使得对任何x ，
1
,0'∈x ，且当
δ
<-'x x 时，有
ε
<-)()('x f x f ，或当
ε
≥-)()('x f x f 时
δ
≥-'x x 成立，于是对任何
1
,0∈x ，
)
13(|1||)()11(|1
1δ
ξεξ≥-⇒≥--∑∑==x n x f n f n
k k n k k
故由于
k ξ是随机取值的，1ξ，2ξ，..........n ξ每次取值时，上述两个不等式可能成
立，也可能不成立，所以他们是随机事件，记作
⎭⎬
⎫
⎩⎨⎧≥-=∑=εξn i k x f n f A 1)()1( B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=∑=δξn k k x n A 11。

由（13）知；B A ⊂因而由概率的性质得
)
()(B P A P ≤，再由（8）得
2121141
)1(1)|1(|))()1((πδξδδξεξ≤
≤≥-≤≥-∑∑∑===n i k x n i k x n i k n n D x n P x f n f P （14） 故有（14) (12)得
)
15(241222
2δδn M
n M
≤
≤∑
由上述讨论知道，对任一0>α，去不等式（10）中2
α
ξ=，取δ为满足（13）
中的δ（由上面讨论知它是存在的）且取2
αδM
N >(与)1,0(∈α无关）， 于是由（10），（11），（15）知当N n >时，
αα
αδα
=+<+
<
-2222
)(2n M x f B n 对任何1,0∈x 都成立。

即)(x B n 在(0,1)上一致
收敛于)(x f ，故定理获证
明显的看出关系映射反演原则在处理间题过程中的重要作用
4 Kerovkin 定理的概率证明
Kerovkin 定理：设线性正算子序列);(x f L n 满足条件 )(1),1(x x L n n α+= )(),(x x x t L n n β+=
)(),(2
2x x x t L n n γ+= )(x n α，)(x n β，)(x n γ在这区间b a ,上一致收敛于零。

又设函数)(t f 有界且在区间
b
a ,上连续、于点a 为左连续，于点
b 为右连续。

则在区间
b
a ,上序列)
,(x f L n
一致收敛于函数)(x f 。

1证明不失一般性可设1),1(=x L n 2 由正线性算子⇒有界算子⇒连续算子 因为
b
a c f ,∈∀，
)
(max x f f =
b
a x ,∈
1)
(≤f
t f
b
a t ,∈
而1),1(=x L n ，固由
n
L 的正线性知
1),1(),)
((
=≤x L x f
t f L n n
即f
x t f L n ≤)),((
即
n
L 是有界算子，从而是连续算子
3 由Riesz 表示定理，知
⎰=b
a x n n t dg x f x f L )
()(),(,
其中
)
(,t g x n 是关于t 的
b a ,上的正规有界变差函数。

)(,=a g x n ，是正性算子但
由L 是正性算子，)
(,t g x n 是
b
a ,上的不减函数，又由1),1(=x L n 知
1
)(,=b g x n
⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤<≤=b t b
t a x g a t t G x n x n 1)(0
)(,,
4
)
(,t G x n 是概率分布函数，
)
(,t G x n 确定的概率测度设为P ，再设随机变量
P F b a ,,,∈ξ，服从此分布。

5
⎰=b a
x n n t dG t f x f L )
()(),(,
)
())(()()()()(),(,x f f E t dG x f t f x f x f L b a
x n n -=-=-⎰ξ
6 由f 的一直连续性，0>∀ε，0>∃δ当δ
≤-21t t 时2(21ε
≤
-t t f
记
)
(max x f M =
b
a x ,∈
x
x t x P M
x t t dG M t dG t dG x f t f x f x f L x n b
a x n x t x t x n
b a
n ≥-≥-+≤
≥-+≤+=-≤-⎰⎰⎰⎰⎰≥-<
-)(2
2
)(2)(2)()()()(),(,,,δξε
δ
εδ
δ
因为
n n n b
a
n x n x x x E x x x t L t tdG E βξβξξξβξ--≥--=-+===⎰)()
(),()(,
由概率的单调性及{}{}|)(||)(|||)(||x E w w x w w n βδξξδξ-≥-≤≥-知：
)
)(()(x E P x P n βδξξδξ-≥-≤≥-
由Tchcbycheff 不等式：
2))(()((x D t E P n n βδξ
βδξξ-≤-≥-
而)(2)()()
,(),(2
2
22
2x x x x x t L x t L E E D n n n n n γβγξ
ξξ--=-=-=
当∞→n 时，)(ξD 一致趋于0. 故)(),(x f x f L n →⇒ 定理证完。

可以看到关系映射反演原则在此处的作用不可忽视，在定理证明中，关键的一步，即用概率语言描述定理（即映射），是用了非常巧妙的手法，通过概率计算和估计（即定映），完美的解决了定理的证明。

5关系映射反演原则的关键在于定映
为了有效地采用RMI 原则的框架去解决问题，其难点在于怎样引入恰当的一个
映射；其关键在于完成‘定映’这一步骤，所谓‘定映’就是要从映像关系结构系统*
R 里确定出目标映像*
x 的属性。

为了能‘定映’，那么引入的映射必须是可定映映射。

于是该映射φ应具有三个特点：（1）映射φ必须是两类数学对象之间的一一对应关系。

（2)映射φ必须是可定映的。

即目标映象*
x 能通过确定的有限
多步数学手续从映象关系结构系统*
R 中寻找出来。

（3）逆映射1
-φ具有能行性。

既能将目标原象的某种需要的性态经有限步确定下来。

对于寻找具有上述三个特点的映射φ，大致分如下几个步骤：（1）对含有目标原象x 的关系结构R(或现实原型）要分析其对象与关系结构的本质属性，以便确定选择映射（或变换）的类别。

比如原象系统是代数结构系统，就可以选择线性变换，同解变形，矩阵变换等代数变换；如果原象系统是几何结构系统，就可以选择仿射变换，摄影变换，保角变换，拓扑变换等几何变换；如果原象系统是解析结构系统就可选择变数代换，函数变换，数列变换，积分变换等解析变换。

例如，设A 为n 阶是对称矩阵，
<A ，证明：必存在实n 维向量00≠x ，使0'
<AX X .
可以看出原象系统是代数结构系统，可用代数变换作为映射，那么，我们取适当
的非退化线性变换（它是一一对应的）x c Y 1
-=，使
BY Y y y y Ax x n '2
2221'=-++= ，成规范型（n ,0,0所以秩为≠<A A ，且Ax x '不
正定，故规范型中必含有带负号的平方项。

）对于这个规范型，亦见，只要取
)1011100(0 =Y 就有：0)(111000'<--=---++=p n BY Y ，又有0≠i c ，所以可通过逆变换cY
X =，求得非零向0X ，使得
0)()(0'
00'00'
0<==ΛBY Y cY A cY X X ，便找到了能使00'
0<AX X 的0X .为了建立一一对应关系，要抓住主要矛盾，必须选择原象关系结构系统中具有关键性作用的变量或量的关系进行观察。

也就是说要抓住主要因素。

因为对应关系应该是主要因素间关系结构的反应。

再根据（1）与（2）确定映射时，尽可能使用现成的映射（或变换）。

如果遇到无现成映射可依时，就需要大胆的创造，根据具体情况提出新的映射（或变换)。

总结
从RMI原则里映射应具有的特点来看，一个人寻求映射的能力，至少包括五个方面：一是理解原象关系结构系统（现实原型）的能力；二是抽象分析的能力；三是运用数学手续的能力；四是掌握常用的方法与变换的能力。

比如解析法、复数法、母函数法、特征函数法以及代数变换、几何变换、解析变换等；五是寻求反演公式的能力，因此，为了培养寻求映射的能力，首先必须学习数学各分支学科以及自然科学，工程科学的某些分支领域的知识。

除了精通本行专业之外，还要有较宽广的科技知识修养，要掌握好这些领域中的定律、法则和规律，这样才能有助于提高理解原象系统（或现实原型）的努力。

其次在学习数学各学科时，要注意多做些应用题，这对提高自己的抽象分析能力。

运用数学符号丧达式的能力和运用数学手段的能力，都是必不可少的基木训练，最后，要掌握各种变换（尤其是解析变换）的特征与实质，并对寻找它们的逆变换进行反复练习，才能培养自己寻求合适的反演公式的能力。

因为，一般说，仅就对应观点看，“反演”就是逆变换，寻找它不会有多大困难。

但是，如果要寻求的是解析变换的逆变换，比如拉氏变换、幂级数变换等的逆变换，就颇为困难了，所以，我们要经常联系，才能够熟练地掌握。

参考文献
1 徐利治。

数学方法论选讲。

武汉：华中工学院出版社，1998。

2 复旦大学。

概率论（第一册）。

北京：人民教育出版社，1980
3 吴文俊主编《九章算术》与刘徽，北京师范大学出版社，1982:58.117,197,298.
4 徐立治，数学方法论选讲，华中工学院出版社，武汉，1983:29,40,46,49.。