对弧长的曲线积分

1 y2( x)dx.
L
a
若 L : x x ( y ) , c y d , ddss ?1 x 2 ( y )dy
f ( x, y)ds
d
f [ x( y), y]
1 x2( y)dy.
L
c
例2 计算 I L x y ds,
其中L是以 O (0 , 0 ), A (1, 0 ), B (1, 1) 为顶点的 三角形边界.
x (t),
:
y
(
t
),
(
t ).
z (t ),
f
(x,
y, z)ds
f [ (t ), (t ), (t )]
2(t) 2(t) 2(t)dt. ds
例3 若有不均匀的椭圆 2 x 2 8 y 2 1 形构件，
其上一点 x, y 的线密度
x,
a3 (sin2 t )
2
a3
.
20 2
(0 t )
2
（2）直角坐标情形 L : y y ( x ), a x b .
化成参数方程
x
y
x, y( x),
a
x b.
ds (dx)2 (dy)2 1 y2( x)dx
f ( x, y)ds
b
f [ x, y( x)]
解 L是分段光滑弧段, y
B(1,1)
y x
L OA OB AB.
I
L
OA
AB
BO O (0,0)
A(1,0) x
在OA上，y 0, 0 x 1
ds dx2 dy2 dx
故
x OA
y ds
1
0 xdx
1 2
y
y x
在AB上，
x 1,(0 y 1)
ds dy
y
x2
1 4y2
,
求此椭圆形构件的平均线密度.
解 平均线密度=质量M / 曲线长L
Ñ Ñ 质量M=
( x, y)ds
L
蜒 1 ds
L x2 4 y2
1
ds 2 ds
L1
L
2
Ñ 曲线长L=
ds
L
L :2x2 8y2 1 L : x2 4y2 1
平均线密度 ÑL ( x, y)ds 2ÑL ds 2 2
密度函数对曲线弧的长度求积分呢？
当G为平面或空间有限光滑(或分段光滑) 曲线(L或 )时，积分称为对弧长的曲线积分 或第一类曲线积分, 即
弧长元素
G f (P) dg f ( x, y)ds
L 有限光滑曲线段
或 G f (P) dg f ( x, y, z)ds
当L(或)为简单闭曲线时,对弧长的积分记为
O (0,0)
故
x AB
y ds
11 0
y dy
3 2
B (1, 1)
A(1, 0) x
在BO上，
y x,0 x 1
y
y x
B (1, 1)
ds 2dx
O(0, 0) A(1, 0) x
故
x OA
y ds
1
0 2 x
2dx
2
因此
L
x
y ds
1 2
3 2
2 2
2
设 是空间光滑曲线段（平面情形的推广）
3.4 对弧长的曲线积分
你要认识 对弧长的曲线积分
f ( x , y )ds f ( x, y, z)ds
L
学会计算对弧长的曲线积分
3.4.1 对弧长的曲线积分
问题：平面上有一曲线(L)形的非均匀构件， 设其线密度是 f (x,y)，如何求它的质量？
非均匀直棒的质量是密度函数对直棒的长度 求定积分
(t),
t
)，则
ds
2(t) 2(t)dt
对弧长的曲线积分的计算 计算思路： 化为定积分来计算
L f ( x, y)ds
点在L上变化 弧 微 分
参数方程情形
L f ( x, y)ds
设源自文库线
L
:
x y
x(t ), y(t ),
( t ),
其中 x(t ), y(t ) 有 连 续 的 导 数 ， 且
ÑL ds
ÑL ds
小结
对弧长的曲线积分的计算----化为定积分
L f ( x, y)ds
1.把积分路径L代入被积函数； 2.根据积分路径L的不同的表示形式，
求出弧长元素或弧微分. 3. 定出定积分的上下限，下限小于上限.
x t a sin t ,
y
t
a
cos
t,
ds
(
x
t
)
2
(
y
t
)
2
dt
y L
O
ax
( a sin t)2 (a cos t)2 dt adt.
ds ( x t )2 ( yt )2 dt adt
I xyds 2 a cos t a sin t adt
L
0
a 3 2 sin td (sin t ) 0
蜒 L f ( x, y)ds或 f ( x, y, z)ds
弧长元素 对x取 x ,有 s,
过点M作切线，
以直代曲 s d s ,
弧微分公式
ds (dx)2 (dy)2
y
y f(x)
N
s P
M
dy
dx ds
o a x x x b x
弧长元素为： ds 1 y2 dx
若
x
y
(t), (
因此 计算公式
f ( x , y )ds
f [x(t), y(t)]
x2(t) y2(t)dt
L
(化为对 t 的定积分)
其中 （. 定积分的下限一定要小于上限）
例1 计算 I L xyds, 其中L的方程是
x a cos t,
y
a
sin
t,
(0 t ).
2
解 先求参数形式的弧微分
x2 (t ) y2 (t ) 0; f ( x , y )在 L上 连 续 .
L : x x(t ), y x(t ) ( t )
L f ( x, y)ds
ds x2(t) y2(t)dt
( x , y )在 L上 变 化 ， f ( x, y) f [x(t), y(t)]