第四章 三角函数与三角形4-1角的概念的推广与任意角的三角函数

x 2 解析：∵OP＝ x ＋5，∴cosα＝ 2 ＝ x x ＋5 4
2
又因为 α 是第二象限角，∴x<0，得 x＝－ 3 5 10 ∴sinα＝ 2 ＝ ，故选 A. 4 x ＋5

答案：A
7π 7π 已知角 α 的终边经过点 P(sin ，cos )，则 sinα 4 4 ＋cosα 的值为________． 2 2 解析：已知 P(－ ， )，∴r＝1， 2 2 2 2 ∴sinα＝ ，cosα＝－ ，∴sinα＋cosα＝0. 2 2
习，要立足于教材，弄清公式的来龙去脉及
适用条件，掌握基本的三角变换，要注意对
公式的正用、逆用、变形应用的训练，以增 强变换的意识；同时，要归纳解题思路及解 题规律，如在三角函数求值问题中，一般是 用基本公式，把未知角变换为已知角来解； 在求最值、周期问题中，其思路是合理运用 公式把已知表达式化为一个角的一种三角函
解析：依题意可知 α 角的终边在第三象限，点 3 P(－4， a)在其终边上且 sinα· cosα＝ ， 易得 tanα＝ 3 4 3 或 ， 3 4 3 则 a＝－4 3或－ . 3

答案：C
(理)α 是第二象限角，P(x， 5)为其终边上一点，且 2 cosα＝ x，则 sinα 的值为( 4 10 A. 4 2 C. 4 6 B. 4 10 D．－ 4 )



2．解三角形的复习应弄清应用正弦定理和 余弦定理解决三角形问题的基本题型与思路， 会应用面积公式，注意解的讨论． 体会如何用代数方法解决几何问题，学习将 实际问题中的长度、角度看成三角形中的边 和角，将实际问题转化为解斜三角形的问题， 并注意边角关系与解析几何、立体几何的联 系问题． 注意加强化简、求值或判断三角形的形状等 问题的训练，及与立体几何中的计算结合、 与向量的结合等方面的练习．
π [例 1] 已知 α 角的终边与 的终边相同， 在[0,2π) 3 α 内哪些角的终边与 角的终边相同？ 3
π 解析：∵α 角的终边与 的终边相同， 3 π α 2kπ π ∴α＝2kπ＋ (k∈Z)．∴ ＝ ＋ (k∈Z)． 3 3 3 9 α 2kπ π 又 0≤ <2π，∴0≤ ＋ <2π(k∈Z)． 3 3 9 α π 7π 13π 当 k＝0、1、2 时，有 ＝ 、 、 ，它们满足条 3 9 9 9 件． π 7π 13π ∴ 、 、 为所求． 9 9 9

3．本章试题多以选择题、填空题的形式出 现，因此复习中要重视选择题、填空题的一 些特殊解题方法训练，如：数形结合法、代 入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法 等．另外，在求有关三角函数的最值问题时， 有时可用换元法将问题转化为一元二次函数 的最值来解决，这也是常用的方法


4．三角函数是以实数为自变量的函数，复 习时要注意函数思想的应用，新教材突出了 应用问题的地位，今后的高考会继续体现， 而对三角的综合考查将继续向三角形问题中 伸展及与平面向量综合，或与不等式、复数、 解析几何、立体几何相联系，故应注意这方 面的训练． 5．注意单位圆在三角函数复习中梳理知识， 探寻解法等应用．


二、三角恒等变换 1．能从两角差的余弦公式导出两角和与差 的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、 余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 2．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包 括导出积化和差、和差化积、半角公式，但 不要求记忆)．


三、解三角形 1．通过对任意三角形边长和角度关系的探 索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一 些简单的三角形度量问题． 2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和 方法解决一些与测量和几何计算有关的实际 问题．
一、构造思想 [例 1]

π 已知：α∈0，2，求证：sinα<α<tanα.
分析：构造单位圆，利用单位圆中的三角函 数线及三角形和扇形的面积来证明．
证明：设角 α 与单位圆交于 P，则 MP＝sinα，AT ＝tanα，如图所示， PA 的长 l＝α.连结 AP. 1 1 △POA 的面积＝ OA· MP＝ sinα. 2 2 1 1 扇形 OAP 的面积＝ l· OA＝ α. 2 2
π 4．正切函数 y＝tanx 的定义域是{x∈R|x≠kπ＋ ，k 2 ∈Z}，不是 R. 5．判断三角函数值的符号时，应特别注意角所在象 限的确定，不要忽略角的终边落在坐标轴上的情况． 6．下列概念应注意区分 小于 90° 的角；锐角；第一象限的角；0° ～90° 的角． 7．三角函数定义中，角 α 的三角函数值仅仅与角 α 的终边位置有关，而与终边上点 P 的位置无关．
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角的概念的考查多结合三角函数的基础知识 进行．对求角的集合的交、并等计算技能的 考查，有一定综合性，涉及的知识点较多， 不过多比较浅显．三角函数的意义与三角函 数的符号一般在最基本的层面上用选择、填 空题的形式考查．


三角函数的图象和性质主要考查三角函数的 概念、周期性、单调性、有界性、对称性及 图象的平移和伸缩变换等，多以小而活的选 择题和填空题的形式出现，有时也会出现以 函数性质为主、结合图象的综合题．尤其是 y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质考查较多． 三角函数的化简、求值及最值问题，主要考 查同角三角函数的基本关系式，三角函数的 诱导公式，和、差、倍、半、和积互化公式 在求三角函数值时的应用，考查利用三角公 式进行恒等变形的技能，以及基本运算的能 力，特别突出算理方法的考查．




重点难点 重点：①终边相同的角、轴线角和象限角的 表示方法； ②角度数与弧度数的换算； ③三角函数的定义； ④各三角函数值在每个象限的符号； ⑤特殊角的三角函数值． 难点：①“弧度”的理解； ②三角函数的定义及符号．

知识归纳 1．角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个 位置旋转到另一个位置所成的图形．按 时 逆 针方向旋转所形成的角叫做正角，按 时 顺 针方向旋转所形成的角叫做负角．若一条射 线没作任何旋转，称它形成了一个零角．
解析：如图：把单位圆在各象限的圆弧都 α 2 等分(2 是 的分母)，从∠AOB 开始逆时针依 2 次标上 1、2、3、4，再循环一遍，直到填满为 α 止，则有标号 n 的就是 所在象限数． 2 α 如 n＝4， 是第二或第四象限的角．用同 2 α α 样的方法也可求 ， 所在象限． 3 4
θ 一般地，要确定 所在的象限，可以把各个象限 n 都 n 等分， x 轴的非负半轴起， 从 按逆时针方向把这 4n 个区域依次循环标上号码 1、2、3、4，则标号是 θ 几的区域，就是 θ 为第几象限的角时， 终边落在的 n θ 区域， 所在的象限就可直观地看出． n

●命题趋势 从近几年的全国高考试卷看，试题内容主要 有两个方面：一是重点考查三角函数的图象 和性质，尤其是图象变换、周期、最值，题 型多为选择题、填空题，但也出现中档的解 答题；二是考查三角函数式的恒等变形，利 用公式求值，及简单综合问题，难度为中等； 三是简单的应用正、余弦定理判断三角形的 形状的选择、填空题，一般为容易题；四是 将三角函数的图象与性质，三角恒等变换， 平面向量及不等式等融合在一起，有一定的 综合性的大题．


●课程标准 一、任意角的三角函数 1．任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与 角度的互化． 2．三角函数 ①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、 余弦、正切)的定义．
π ②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式( 2 ±α，π±α的正弦、余弦、正切)，能画出y＝sinx，y＝ cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性． ③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，
(2)角的集合的表示形式不是惟一的，如：终边在 y π 轴的负半轴上的角的集合可以表示为{x|x＝2kπ－ ，k∈ 2 3π Z}，也可以表示为{x|x＝2kπ＋ ，k∈Z}等． 2 3．在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多 对一，即给定一个角，它的各个三角函数值是惟一确定 的(不存在的情况除外)；反过来，给定一个三角函数值， 有无穷多个角和它对应．


2．象限角 使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴正 半轴重合．角的 落在第几象限，就说 终边 这个角是第几象限角． 3．象限界角(即轴线角) 终边落在坐标轴上 的角．

4．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可 构成一个集合{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或 {β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，前者α用角度制表示， 后者α用弧度制表示．
π π 正切函数在 －2，2 上的性质(如单调性、最大和最小
值、图象与x轴交点等)．
④理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x sinx ＝1， ＝tanx. cosx ⑤结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意 义；能借助计算器或计算机画出y＝Asin(ωx＋φ)的图 象，观察参数A，ω，φ对函数图象变化的影响． ⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三 角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．

若sinθ<cosθ，且sinθ·cosθ<0，则θ在(
)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：由条件可知：cosθ>0>sinθ，则θ为第 四象限角，故选D. 答案：D
[例 2]
(文)若一个角 α 的终边上有一点 P(－4， )
3 a)，且 sinα· cosα＝ ，则 a 的值可能为( 4 A．4 3 C．－4 3 B．± 3 4 D. 3


解三角形主要考查应用正、余弦定理对已知 式进行变形、求值或判定三角形的形状． 近年高考命题强调以能力立意，加强对知识 综合性和应用性的考查，跨学科应用是三角 函数的一个鲜明特点、与不等式、平面向量、 数列、解析几何、立体几何等都可能结合起 来，重点仍是与平面向量的结合．

●备考指南
1．任意角的三角函数和三角恒等变换的复

5．弧度制 把长度等于 半径 长的弧所对的圆心角叫1 弧度的角．以 作为单位来度量角的单 弧度 位制叫做弧度制，它的单位符号是rad，通 常略去不写．
8．任意角的三角函数的定义 设角 α 是直角坐标系中任意大小的角，在角 α 终边 上任取一点 P(x，y)，它到原点的距离是 r(r＞0)，那么 y x y sinα＝ ，cosα＝ ，tanα＝ r r x x r r cotα＝ ，secα＝ ，cscα＝ y x y 分别叫做角 α 的正弦、余弦、正切、余切、正割、 余割，我们主要研究正弦、余弦、正切函数．

9．正弦、余弦、正切函数的定义域

10.三角函数在各象限内的符号如下图所示：

三角函数正值口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ两 切，Ⅳ余弦，正割同余弦，余割同正弦．


误区警示 1．引入弧度制后，角的表示要么采用弧度 制，要么采用角度制，两者不可混用． 2．(1)相等的角终边一定相同，但终边相同 的角却不一定相等，终边相同的角有无数个， 它们之间相差360°的整数倍．
1 1 △OAT 的面积＝ OA· AT＝ tanα. 2 2 1 1 1 ∵S△POA<S 扇形 OAP<S△OAT，即 sinα< α< tanα. 2 2 2 ∴sinα<α<tanα.
二、解题技巧 α α 利用单位圆判断 2α、3α、 、 所在象限问题． 2 3 [例 2] 已知角 α 是第 n(n＝1、2、3、4)象限的 α 角，问 是第几象限的角？ 2

总结评述：迅速进行角度和弧度的互化，准 确判明角所在的象限，熟练掌握终边相同的 角的表示是学习三角函数知识必备的基本 功．

涉及到角度和弧度互化关系和终边相同角的 问题，基本公式180°＝πrad在解题中起关 键作用，若要确定一个绝对值较大的角所在 的象限，一般是先将角化成2kπ＋α(0＜α＜ 2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限 予以判断，这里要特别注意是π的偶数倍， 而不是π的整数倍，若要求出在某一指定范 围内的某种特殊的角，通常是化为不等式去 求出对应的k值．另外，还要注意理解区间 角的概念，并能掌握好α角的取值范围与2α、 角的取值范围间的相互关系．