计数原理中的几个原则

计数原理中的几个原则

安陆二中卓鹏

现在理科班正在学的计数原理，很多同学学得稀里糊涂的，拿着题目不知道从何下手。学生普遍认为这部分内容很难。其实，只要大家注意一下几个原则，你的解题将变得简便。

原则一、任务完成原则

关键是看怎样这件事才算完成。所以大家在做题之前必须明确这一点，否则就容易出错。现在我们以两个大家经常容易弄混淆的题目来辅以说明。

问题1、4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同的报法的种数是多少？

问题2、3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法的种类是多少？

解：在问题1中，只有4名同学每个人都选了一个运动队这个任务才算完成，而每个同学都有三种选择，由分步乘法计数原理有：不同的报法的种数是43；在问题2中只有3个班每个班从5个风景点中各选了一处游览这件事才算做完了，而每个班都有5种选择，由分步乘法计数原理有：不同的报法的种数是35。

所以只要你弄清楚了任务完成的标准，解决这类问题就不成问题了。

原则二、正难则反原则

我们经常会看到这样一种情形：同样一个题目，有的同学做得累死也不一定能做出来，即使做出来也要花费很大的精力，而另外的同学却能很轻松地做出来，纵观他们的解题方法就会发现，后一类同学采用了考虑问题的反面的方法，使问题得到了简化，而前一类同学就是按照题目意思一丝不苟地按部就班地用公式定理来求解。其实有时候在解决问题时，如果从正面考虑很复杂，我们不妨从它的方面来进行突破。

问题3、5只不同的球，放入2只不同的箱子中，每箱不空，共有多少种不同的放法？

析：由原则一我们知道，只有5只球都放到箱子里了，这件事才算完成。而每个球都有两种选择，由分步乘法计数原理有：不同的放法有32种。如果按题目要求从正面一种一种地进行讨论，那我们要讨论32次，工作量较大，也容易出错。可是我们看看这个问题的反面：有一个箱子是空的。有一个箱子是空的只有两种情况，也只有这两种不符合要求，其他的都是符合要求的，所以符合要求的放法有32-2=30种，显然比从正面考虑要简单得多。

原则三、特殊位置（部位）优先处理原则

在排数问题中，最高位一般不能为0，有时还会出现别的特殊情况，比如说能被5整除的数、能被3整除的数，他们有的对个位有要求，有的对构成数的每一个数字有要求。那么我们在考虑问题是就要优先考虑这些要求。

问题4、用0,1,2,3,4,5，这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数字？（1）求多少个被5整除的五位数？（2）求多少个被3整除的五位数？（3）求多少个个位数字不是5的六位数？

析：（1）被5整除的数的特征是个位数字是0或5，所以这类五位数就有个位和万位这两个特殊位置，于是就分个位为0或5进行讨论，当个位为0时，有

45A 个数符合要求，

；当个位为5时，万位有14A 种选择，其他位置有34A 种选择，由由分步乘法计数原理有：共有14A 34

A 个数符合要求，所以得到结果45A +14

A 34A =216个；（2）被3整除的数的特征是这个数的各位数字之和能被3整除。而在这6个数之中，只有1+2+3+4+5=15和1+2+0+4+5=12能被3整除，所以问题转化为求由数字1,2,3,4,5和数字0,1,2,4,5分别能组成多少个五位数，共有

55

A +4414A A =216个；（3）5不能在个位上，所以个位较特殊，0这个数字也较特殊，不妨以0在个位和0不在个位进行讨论。当0在个位时，有55A 种情况符合要求，

当0不在个位时，十万位有14A 种可能，个位也有14A 种可能，其他各位有44A 种

可能，由分步乘法计数原理有，共有14A 14A 44A 种可能，合计14A 14A 44

A +55A =504种可能符合要求。

当然排队问题、排节目问题等有特殊要求的问题也都可以用这个原则来解题。

原则四、不相邻部位进行讨论

这个原则主要应用于染色问题中，对于需要染色的部位，我们需要对不相邻的部位时候同色进行讨论，这样可以避免重复现象。

问题5、如图，用四种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂 不同颜色，则不同的涂色方法共有多少种？

析：由于有六个点，而只有四种颜色，所以肯定 有的点涂色是相同的，这些点一定是不相邻的，这就

需要进行讨论。

解：想将A 、D 、E 三个点染色，则A 有4种选择，D 有

3种选择，E 有2种选择。接下来对B 、C 、F 三个点染色， 由于B 与D 不相邻，可能同色，也可能不同色。它们同

色与否影响C 、F 的染色，所以必须予以讨论。 1、当B 与D 同色时，B 与E 一定不同色，所以B

只有1种选择，F 有2种选择，C 有2种选择；

2、当B 与E 同色时，B 与D 一定不同色，所以B 只有1种选择，

F 有2种选择，C 有2种选择；

3、当B 与E ，B 与D 均不同色时，B 只有1种选择

（1）若F 与D 同色，F 有1种选择，C 有2种选择

（2）若F 与D 不同色，F 有1种选择，C 有1种选择

综上有，不同的染色方法有

264111211221221234=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯）（（种）

我相信，只要大家在解题中注意一下这些基本的原则，你的解题一定会如鱼得水，水到渠成的。 C D A B E F