有限元分析4二维单元

二维单元




矩形单元 平面四边形单元 线性三角形单元 平面三角形单元 等参单元 二维积分：高斯－勒让德多项式
一、矩形单元 一维的解是由线段近似的，而二维的解是由 平面片近似的。 仍以温度函数为例，研究二维空间问题，假 设温度在X和Y方向均会发生变化。温度沿单元的 分布是X坐标和Y坐标的函数：
三角形自然（面积）坐标与形函数 si , s j , sk 是完全相同的， 即：
si sj sk
例如：
1 X jYk X kYj X (Y j Yk ) Y ( X k X j ) A1 2 si 1 A X i Y j Yk X j Yk Yi X k Yi Y j 2
将以下条件应用到方程中得到b1，b2，b3，b4：
b1 Ti
1 b3 (Tn Ti ) w
与一维单元相同，可以得到对于典型单元由 形函数表示的温度分布：
T ( e ) si s j sm
Ti T j sn T m Tn
4.平面三角形单元
如果区域内有某个变量（如温度）随空间发生变化， 可以用二次函数来更精确的近似，例如：
T (e) a1 a2 X a3Y a4 X a5 XY a6Y
2
2
由自然坐标表示的形函数为：
si (2 1) s j (2 1) sk (2 1) 1 3( ) 2( ) sl 4 sm 4 4 (1 ) sn 4 4 (1 )
3.线性三角形单元
三角形单元由三个节点定义，可以用下式表示三角形区 域内独立变量的变化：
T ( e ) a1 a2 X a3Y
考虑三角形单元节点的温度，必须满足以下条件：
T Ti ( X X i , Y Yi ) T Tj ( X X j ,Y Yj ) T Tk ( X X k , Y Yk )
其中形函数为：
x y si (1 )(1 ) l w
x y s j (1 ) l w xy sm lm y x sn (1 ) w l
1. 自然坐标
自然坐标系是局部坐标系的无量纲形式。积分的上下限 分别为1和－1。局部坐标系x，y的原点取在自然坐标的 1 ， 1 处。
对于中间节点，作为例子，推导节点o的形函数。首先选择F1使 得它在ij侧 ( 1) 和in侧 ( 1) 以及jm侧 ( 1) 的值为0。有：
F1 ( , ) (1 )(1 )(1 )
由于方程F1三项的乘积将产生线性和非线性的项，所以第二个 函数F2必须是常数。
1 si (1 )(1 ) 4 1 s j (1 )(1 ) 4 1 sm (1 )(1 ) 4 1 sn (1 )(1 ) 4
二、平面四边形单元
八节点的平面四边形单元是一种高阶的平面四边形单 元。适用于带有曲线边界的问题。由自然坐标表示的八节 点的平面单元的形式为：
b1 b2 b3 b4 b5
(e)
2
b6 b7
2
2
b8
2
n
(1,1)
o
p

(1,1)
m
l

(1, 1)
i
k
(1, 1)
j
设和每个节点有关的形函数可以表示为两个函数F1和F2 的乘积：
s F1 ( , ) F2 ( , )
1
0
j

0

k
1
M
Q
p
A2

A1 A3
N
1
Y
i
0
X
对于三角形单元，自然（面积）坐标 , , 定义为：
A 1 A A2 A A3 A 其中只有两个自然坐标是线性独立的，因为：
A1 A2 A3 A 1 A A A A
4c1 4c2 4c3 1 2c1 2c2 0 2c1 2c3 0
得到
c1 c2 c3 1 4 1 4
1 4
1 1 1 sm (1 )(1 )( ) 4 4 4
可以用同样的方法确定其它几个角节点的形函数:
1 si (1 )(1 )(1 ) 4 1 s j (1 )(1 )(1 ) 4 1 sm (1 )(1 )(1 ) 4 1 sn (1 )(1 )(1 ) 4
对于给定节点，选取第一个函数F1，使得它在与给定节点无 关的单元上值为零。选择第二个函数F2时，要使它和F1的乘 积在给定的节点上为1，在其他相邻节点上为0。为了说明这 个方法，考虑角节点m，它的自然坐标为 1, 1 。首先 选择F1，使得它在ij侧 ( 1) 和in侧 ( 1) 的值为零。 设：
F1 ( , ) (1 )(1 )
再设：
F2 ( , ) c1 c2 c3
要使它与F1的乘积在节点m处值为1，在相邻节点l和o上值为 0。在节点m处计算Sm,对于 1 和 1 应该为Sm＝1。在 节点l处计算Sm,对于 1, 0 应为Sm＝0。在节点o处计算 Sm，对 0, 1应该为Sm＝0。对方程 s F1 ( , ) F2 ( , ) 应用 以上条件得到：
x 0, y w
w
y

( 1, 1) n
(0,0)
x l, y w
m ( 1, 1)

j
x 0, y 0
( 1, 1)
i
x
l
x l, y 0
( 1, 1)
令
2x 2y 1, 1 ，由自然坐标表示的形函数为： l w
其中A是三角形单元的面积，可以用以下方程计算：
2 A X i (Y j Yk ) X j (Yk Yi ) X k (Yi Y j )
将 a1 , a2 , a3 代入方程，并组合 Ti , T j , Tk 项，则有：
T ( e ) si
sj
Ti sk T j T k
其中：
1 si ( i i X iY ) 2A 1 sj ( j j X jY ) 2A 1 sk ( k k X k Y ) 2A
且
i X jYk X k Y j j X k Yi X iYk k X iY j X jYi
F2 ( , ) c1
应用边界条件：
得到：
so
2c1 1
( 0, 1)
1
1 so (1 )(1 )(1 ) 2
类似得到其它中间节点的形函数为：
1 2 sk (1 )(1 ) 2 1 2 sl (1 )(1 ) 2 1 2 so )(1 ) 2
T
(e)
b1 b2 x b3 y b4 xy

矩形单元

在局部坐标系中，节点的温度满足以下条件：
T T T T

Ti Tj Tm Tn
x 0, y 0 x l, y 0 x l, y w x 0, y w
1 b2 (T j Ti ) l 1 b4 (Ti T j Tm Tn ) lw
i Y j Yk j YK Yi k Yi Y j
i X k X j j Xi Xk k X j Xi
三角形形函数与其它形函数具有同样的基本性质。
3.1 三角形单元的自然坐标 考虑三角形区域内坐标为（x，y）的点p。将p点与节点i， j和k相连，将会把三角形的面积分为三个更小的面积A1， A2和A3。
2
平面三角形单元
k
m
n
i
l
j
5. 等参单元 若使用一组参数（一组形函数）定义u，v，T 等未知变量，并使用同样的参数（同样的形函数） 表示几何关系，则称为等参公式，用这种方法表 示的单元称为等参单元。
6. 二维积分：高斯－勒让德多项式 对于高斯－勒让德多项式进行扩展以求解二维问 题。
n n n I f ( , )d d wi f (i , ) d wi w j f (i ,i ) i 1 j 1 1 1 1 i 1 1 1 1
将节点的值带入关系式，得到：
Ti a1 a2 X i a3Yi T j a1 a2 X j a3Y j Tk a1 a2 X k a3Yk
求解以上方程得到：
1 X jYk X k Y j Ti X k Yi X iYk T j X iY j X jYi Tk a1 2A 1 Y j Yk Ti Yk Yi T j Yi Y j Tk a2 2A 1 X k X j Ti X i X k T j X j X i Tk a3 2A