2018年4月浙江省高中学业水平考试数学试题

2018年4月浙江省学业水平考试数学试题一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选，多选，错选均不给分.）1. 已知集合{}10<≤=x x P ，{}32≤≤=x x Q .记Q P M =，则 A .{}M ⊆2,1,0 B .{}M ⊆3,1,0C .{}M ⊆3,2,0D .{}M ⊆3,2,1 2. 函数xx x f 1)(+=的定义域是 A .{}0>x x B .{}0≥x x C .{}0≠x x D .R 3. 将不等式组⎩⎨⎧≥-+≥+-01,01y x y x 表示的平面区域记为Ω，则属于Ω的点是A .)1,3(-B .)3,1(-C .)3,1(D .)1,3( 4. 已知函数)3(log )3(log )(22x x x f -++=，则=)1(fA .1B .6log 2C .3D .9log 25. 双曲线1322=-y x 的渐近线方程为 A .x y 31±= B .x y 33±= C .x y 3±= D .x y 3±= 6. 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，直线C A 1与平面ABCD 所成角的余弦值是A .31B .33C .32D .367. 若锐角α满足53)2πsin(=+α，则=αsinA .52 B .53 C .43 D .548．在三棱锥ABC O -中，若D 为BC 的中点，则=AD A .OB OC OA -+2121 B . OC OB OA ++2121 C .OA OC OB -+2121 D . OA OC OB ++21219. 设{}n a ，{}n b )N (*∈n 是公差均不为零的等差数列.下列数列中，不构成等差数列的是 A .{}n n b a ⋅ B .{}n n b a + C .{}1++n n b a D .{}1+-n n b aABCD 1A1D 1C 1B（第6题图）10.不等式1112<+--x x 的解集是 A . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-313x x B . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-331x x C . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<31,3x x x 或 D . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<3,31x x x 或11．用列表法将函数)(x f 表示为 ，则A .)2(+x f 为奇函数B . )2(+x f 为偶函数C .)2(-x f 为奇函数D . )2(-x f 为偶函数12．如图，在直角坐标系xOy 中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD 分割成四个小正方形.若大圆为正方形ABCD 的外接圆，四个小圆分 别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是 A .01222=++-+y x y x B .012222=+-++y x y x C .01222=-+-+y x y x D .012222=-+-+y x y x13. 设a 为实数，则“21aa >”是“a a 12>”的A .充分不必要条件B . 必要不充分条件C .充分必要条件D . 既不充分也不必要条件14. 在直角坐标系xOy 中，已知点)1,0(-A ，)0,2(B ，过A 的直线交x 轴于点)0,(a C ，若直线AC 的倾斜角是直线AB 倾斜角的2倍，则=a A .41 B .43 C .1 D .3415. 甲、乙两个几何体的三视图分别如图①、图②所示，分别记它们的表面积为乙甲，S S ，体积为乙甲，V V ，则A .乙甲乙甲，V V S S >>B . 乙甲乙甲，V V S S <>C .乙甲乙甲，V V S S ><D . 乙甲乙甲，V V S S <<ABCDxyo(第12题图)a a a aa a 15题图①）a aa aaa 侧视图15题图②）16．如图，F 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点，过F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，点B A ,分别为椭圆的右顶点和上顶点，O 为坐标原点.若△OAB的面积是△OPF 面积的25倍，则该椭圆的离心率是 A .52或53 B .51或54C .510或515 D .55或552 17．设a 为实数，若函数a x x x f +-=22)(有零点，则函数)]([x f f y =零点的个数是A .1或3B . 2或3C . 2或4D .3或4 18．如图，设矩形ABCD 所在平面与梯形ACEF 所在平面相交于AC .若3,1==BC AB ，1===EC FE AF ，则下列二面角的平面角的大小为定值的是A . C AB F -- B . D EF B --C . C BF A --D . D AF B --二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.） 19. 已知函数1)3π2sin(2)(++=x x f ，则)(x f 的最小正周期是 ▲ ，)(x f 的最大值是 ▲ .20. 若平面向量b a ,满足)6,1(2=+b a ，)9,4(2-=+b a ，则=⋅b a ▲ . 21. 在△ABC 中，已知2=AB ，3=AC ，则C cos 的取值范围是 ▲ . 22．若不等式02)(22≥----a x a x x 对于任意R ∈x 恒成立，则实数a 的最小值是▲ .三、解答题（本大题共3小题，共31分.）23. (本题满分10分)在等差数列{})N (*∈n a n 中，已知21=a ，65=a .(Ⅰ)求{}n a 的公差d 及通项n a ；（Ⅱ）记)N (2*∈=n b n an ，求数列{}n b 的前n 项和.24. (本题满分10分) 如图，已知抛物线12-=x y 与x 轴相交于点A ，B 两点，P 是该抛物ABCDEF（第18题图）（第16题图）线上位于第一象限内的点.(Ⅰ) 记直线PB PA ，的斜率分别为21,k k ，求证12k k -为定值；（Ⅱ）过点A 作PB AD ⊥，垂足为D .若D 关于x 轴的对称点恰好在直线PA 上，求△PAD 的面积.25. (本题满分11分) 如图，在直角坐标系xOy 中，已知点)0,2(A ，)3,1(B ，直线t x =)20(<<t 将△OAB 分成两部分，记左侧部分的多边形为Ω.设Ω各边长的平方和为)(t f ，Ω各边长的倒数和为)(t g .(Ⅰ) 分别求函数)(t f 和)(t g 的解析式；（Ⅱ）是否存在区间),(b a ，使得函数)(t f 和)(t g 在该区间上均单调递减？若存在，求a b - 的最大值；若不存在，说明理由.ABxoyt x =(第25题图)xyO ABPD（第24题图）2018年4月浙江省学业水平考试数学试题答案一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.）二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.） 19． π，3 20. 2- 21.)1,35[ 22. 3 三、解答题（本大题共3小题，共31分.）23．解：（Ⅰ）因为d a a 415+=，将21=a ，65=a 代入，解得数列{}n a 的公差1=d ； 通项1)1(1+=-+=n d n a a n . （Ⅱ）将（Ⅰ）中的通项n a 代入 122+==n a n nb .由此可知{}n b 是等比数列，其中首项41=b ，公比2=q .所以数列{}n b 的前n 项和421)1(21-=--=+n n n qq b S 24. 解：（Ⅰ）由题意得点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ，)0,1(B .设点P 的坐标为)1,(2-t t P ，且1>t ，则11121-=+-=t t t k ，11122+=--=t t t k ， 所以212=-k k 为定值.（Ⅱ）由直线AD PA ,的位置关系知 t k k AD -=-=11.因为PB AD ⊥，所以 1)1)(1(2-=+-=⋅t t k k AD ， 解得 2±=t .因为P 是第一象限内的点，所以2=t .得点P 的坐标为)1,2(P . 联立直线PB 与AD 的方程 ⎩⎨⎧+-=-+=),1)(21(,)1)(21(x y x y 解得点D 的坐标为)22,22(-D . 所以△PAD 的面积22121+=-⋅⋅=D P y y AB S .25.解：（Ⅰ）当10≤<t 时，多边形Ω是三角形（如图①），边长依次为 t t t 2,3,；当21<<t 时，多边形Ω是四边形（如图②），边长依次为 2),1(2),2(3,--t t t .所以，⎩⎨⎧<<+-≤<=,21,20208,10,8)(22t t t t t t f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<+-+-+≤<+=.21,21)1(21)2(311,10,1)3323()(t t t tt tt g（Ⅱ）由（Ⅰ）中)(t f 的解析式可知，函数)(t f 的单调递减区间是)45,1(，所以 )45,1(),(⊆b a .另一方面，任取)45,1(,21∈t t ，且21t t <，则)()(21t g t g -])2)(2(31)1)(1(211)[(21212112t t t t t t t t -----+-=. 由 45121<<<t t 知，1625121<<t t , 81)1)(1(2021<--<t t ,1639)2)(2(321>--t t .从而<--<)1)(1(2021t t )2)(2(321t t --,即0)2)(2(31)1)(1(212121>-----t t t t 所以 0)()(21>-t g t g ，得)(t g 在区间)45,1(上也单调递减.证得 )45,1(),(=b a .所以，存在区间)45,1(，使得函数)(t f 和)(t g 在该区间上均单调递减，且a b -的最大值为41.(第25题图②)。