正四面体

<<正四面体>>课堂实录

成都航天中学 邓成兵

（一）情景引入:

师：正四面体是最为简约而又优美的多面体，它有4个顶点、4个面、6条相等的棱，它

是一种特殊的正三棱锥——底面边长等于侧棱长。在历年的高考数学试题中，多次出现正四面体的有关计算问题，主要有三种类型：（1）正四面体的计算；（2）正四面体与正方体的计算；（3）正四面体与球的计算。下面请同学们展示一下你们得到的正四面体有关性质.首先哪位同学上台展示你们小组的成果:

（二）、知识碰闯；

万天平(学生):我们组得到的性质如下：

①、它们6条棱均相等；

②、相邻棱的夹角为0

60；（①、②这两条性质比较简单就不用证明） ③、相对棱的两条异面直线垂直（对棱垂直）

④、对棱的中点是这两条棱的公垂线且长为a 22（以下把正四面体的边长设

为a ）。

⑤、相邻的两个面的二面角相等且余弦值为

1

⑥、侧棱与底面所成的角相等且余弦值为

3

3

容易知道侧棱与底面所成的角相等，∠PAO 为PA 与底面ABC 所成的角。可求AO=

3

a 3，PA=a ，PO ⊥面ABC 即PO ⊥AO ；在R t ΔPAO 中,cos ∠PAO=

3

3

PO AO = ⑦、相邻两个面中平行与交线的中位线与棱的交点所成的四边形为正方形。

（由于时间关系，同学们下来做）例1：已知S-ABC 为正四面体，且E 、F 、G 、H 分别为四 面体的四个面的中心； （1）、求证：四面体EFGH 为正四面体；

（2）、求

ABC

S FHG E S :--表表S （3）、求

ABC

S FHG E V :--V

廖红菊（学生）：我们组得到的性质是：

⑧、正四面体的外接球的半径与正四面体棱长的关系是：a 4

6

R =

分别取BC 、PA 的中点D 、E ，连结DE ，则DE 为PA 、BC 的公垂线段，且与高1PO 的交点O 是外接球的球心，连结AO 、AD 。

在

中，由于,a 23AD =

a 2

1

AE =可得a 22DE =，所以 a 42E O =

，于是外接球的半径a 4

6

E O AE AO R 22=+== 师：非常好！你在这个推导过成中，还可以得到什么样的结论？

廖红菊：（思考片刻）可以算出1PO 长度。1PO =

a 3

6

师：对也就得到顶点到底面的距离为

a 3

6

；请问正四面体内任意一点到四个面的距离为多少？（培养学生的空间想象能力及猜想能力） 学：为一个定值。 师：这个定值是多少？

（思考片刻后）几个学生：为

a 3

6

。 师：正四面体内任意一点到四个面的距离为一个定值且为

a 3

6 师：其实求正四面体的外接球的半径与正四面体棱长关系除了用刚才这位同学的证明方法外，还可以用补形的方法更简单：把正四面体补成一个正方体，正四面体的边长为正方体面对角线，而球的直径为正方体的体对角线。也就求出外接球的半径。

（学生恍然大悟后）老师：既然有外接球那么就有…… 学：内切球。

师：内切球的半径为多少？（环视班级，看没有同学上来讲） 师：设内切球的半径为r ，球心为1O ，)PAC PAB PBC ABC ABC P S S S r(S 3

1

V +++=

- S S S S PAC PAB PBC ABC ===

a 12

6r =⇒=∙⇒=

∴-ABC ABC ABC ABC P r4S 31aS 3631r4S 31V 在这个证明过程用了什么方法？ 学：等体积法；

既第九个性质：⑨、正四面体的内切球的半径与正四面体棱长的关系是：a 12

6

r =

谢朝培（学生）：我们组得到的性质是：

⑩、正四面体的表面积S=2

a 3；正四面体的体积V=

3

a 12

3；顶点到底面的距离为

a 3

6

； ⑾、正四面体的体积等于相应正方体体积的

3

1

；正四面体的高等于相应正方体体对角线的

3

2。

师：正四面体与正方体是立体几何中较特殊内涵较丰富的几何体且二者有着

密切不可分的联系。我们在解题时要运用二者的特殊关系，就会达到“山穷水复疑无路，柳岸花明又一村”的效果。下课了，请同学们对这11条正四面体的性质下来认真消化。

高考数学攻关：二项式的递推展开（2）

(2008-12-30 12:55:04)

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高考数学攻关：二项式的递推展开（2）

四、子集组合得展开式系数

为了弄清二项式(a+b)n = (a+b) (a+b)…(a+b)= A0an+ A1an-1b+…+ An-1 abn-1+ Anbn 展开时系数的形成过程，我们先回头看“和的平方”展开时，系数是怎样形成的.

(a+b)2 = (a+b) (a+b)

我们视a为主字母，视b为系数，其中的2个b分别记作b1和b2，于是有

(a+b)2 = (a+b1) (a+b2)

=a2+ (b1 +b2)a+ b1b2 =a2+2ab+b2

由此看到，最高项a2的系数为1. 次高项a的系数是b1 +b2，这是从集合{ b1，b2}中，每次取1个元素所成的组合. 其组合数为=2.

常数项b1b2，是从集合{ b1，b2}每次取出2个元素所成的组合，组合数为=1.

统一地看，最高项a2中不含b，因此可以看作，从集合{ b1，b2}每次取出0个元素所对应的组合.

组合数为=1.

这样一来，“和的平方”展开式可写成(a+b)2 =a2+ab+b2

有了这个基础，我们也可以用“组合数”表示二项式(a+b)n展开后各项的系数.

【例4】试探索用组合数表示二项式

(a+b)n=(a+b) (a+b)…(a+b) = A0an+ A1an-1b+…+ An-1 abn-1+ Anbn

展开式中各系数A0，A1，…，An-1，An.

【解答】对于an，它是从集合{ b1，b2，…，bn }中每次取出0个元素的组合. 组合数为A0=.

对于an-1b，它是从集合{ b1，b2，…，bn }中，每次取出1个元素的组合，组合数为A1=. ……

对于abn-1，它是从集合{ b1，b2，…，bn }中，每次取出n-1个元素的组合，组合数为.