固体物理学第一章 晶体的结构(2)
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n
作的整数倍后不变， 这个轴称物体的n重旋转反演轴,记 操作过程中保持不 变的点、线、面
* 2 代表线旋转π ，再作中心反演，如图 A' A 实际存在一个镜面，这个对称素一般称 O 镜面，用m表示，即 2 = m. 3.对称操作群（Group) 一个物体的全部对称操作的集合称对称操作群. A'' * 群的定义：它是一个数学“元素”集合，数学“元素”（群元）之
例如 绕z轴旋转θ 角变换的正交矩阵为： cos sin 0 sin cos 0 例如 中心反演的正交矩阵为： 0 0 1
1 0 0 0 -1 0 0 0 - 1
例如右图中对称性描述： * 旋转：对圆可以绕旋转任意角度. 正方形中心轴旋转π /2，π ，3π /2,2π .
（2）数学中的线性变换 在xyz坐标系中的点（x,y,z),经过一线性变换，在新坐标系 x’y’z’中坐标为（x’,y’,z’）.
x ' a1 1 a1 2 a1 3 x a 11 a 12 a13 ' y y a 21 a 22 a 23 A a 21 a 22 a 23 变换矩阵为： a a a a a a z ' z 31 32 33 31 32 33
§ 1.5 晶体的宏观对称性
晶体内部结构的规则性用 bravias格子概括。对整个单晶 来说，表现为外形的规则性或宏观对称性。 对晶体对称性的研究可以定性或半定量地确定与其结构相关的物 理性质。并能简化某些数学计算。 如原子结构具有中心反演对称性，则原子无固有偶极矩；若 一个体系具有镜面对称性，面对称操作可以变左旋矢量为右旋矢量， 故具有镜面对称性的材料是无旋光性。 从数学角度看，晶体对称性是对晶体进行几何变换而能保持晶 体性能的不变性。一个变换就是一种操作。定量研究对称操作集 合的性质要用群论。本节介绍对称性的一些问题，初步了解这方 面知识。
§1.4 倒格子
由于晶格具有周期性,描述晶格的物理量都应当具有周期性。
V(x) V(x l1a1 l 2a 2 l3a 3 )
对于周期函数，在数学上可以进行付里叶展开（变换）。对 于晶格周期函数进行展开，就可以引入倒格子的概念。 在固体物理中，倒格子是一个极其重要的概念，一个新概念， 也是一个比较抽象的概念。对应波矢空间,或状态空间。空间矢量 量纲 [长度]-1。 倒格子概念的用途：X-ray衍射分析 晶格振动：原子运动状态的描写
4.对称性与宏观物理性质的关系 例如：介电张量ε 一般条件下：D E ，ε 为二阶张量
Dx x x x y x z Ex Dy Ey yx yy yz Dz zx zy zz Ez
等腰梯形旋转π ，规则梯形和四边形除旋转2π 外，不能是其它角度. * 镜像：圆任意直径;正方形对边中点连线及对角线;规则梯形对边中点连线 可见：对称性的高低可以用操作数来描述，操作数越多，对称性越高。
例1.立方体的对称操作 a.不动 1个 b.绕三个<100>转 π /2，π ，3π /2 9个 c.绕6个<110>转π 6个 d.绕4个〈111〉转 2π /3，4π /3 8个 24个纯旋转操作，每个加中心反演，共48个(Oh) 例2.正四面体对称操作: (1) 12个纯转动：3个<100>转π ，4个<111〉 转2π /3，4π /3,不动 (2)立方体剩余12个转 动加中心反演复合操作(Td)
d h1h 2 h 3 OM oA
Gh1h 2 h 3 G h1h 2 h 3
O
C
a3
M B Gh
a1 h1 b1 h2 b1 h1 b1 2 h1 G h 1h 2 h 3 G h1h 2 h 3
a2
A
(3) 用这一关系写出晶面族的方程为： X G 2n X 代表从正格子原点到第n个晶面上任意一点的矢量. 从原 点到第n个晶面的距离为:
CA OA OC
CB OB OC
a1 / h1 , a2 / h2 , a3 / h3
M O A
Gh
B
a2
a1
CA G (
a a1 3 ) ( h1 b1 h2 b2 h3 b3 ) 2 (1 1) 0 h1 h3
a a2 3 ) ( h1 b1 h2 b2 h3 b3 ) 2 (1 1) 0 h2 h3
（3）正、倒格子体积的关系 正格子原胞的体积为： a1 (a2 a3 ) 倒格子原胞的体积为： ' 则： (2 )
' 3
b1 (b2 b3 )
*
的关系—倒格矢的几何意义
倒格子 G h1h2h3 与晶面指数为（h1h2h3）的晶面族之间
f ( x a) f ( x) Cn e
n in 2 x a
f ( x) Cn ei G n x 若一维晶格，周期为a, 则 2 为倒格矢，展开为：
(r ) (G)e
G
推广到三维：
a
n
i G r
h1h 2 h 3
h1h 2 h 3
e
i ( h1 b1 h2 b2 h3 b3 )r
(2). 倒格子的性质
倒格子基矢和正格子基矢的正交性 2, i=j a b 2 = i j ij 0, i j 倒格子矢量和正格子矢量之间的广义关系
R l Gh (l1 a1 l 2 a 2 l 3 a 3 )(h1 b1 h 2 b 2 h 3 b 3 ) 2(l1h1 l 2h 2 l 3h 3 ) 2
间定义一个“乘法”（运算）规则，并在此规则下满足：
(1)封闭性（闭合性），即： A∈G B ∈G C=AB 则： C ∈G (2)存在一单位元素E， A∈G AE =A (3)元素间的乘法运算满足结合律:A(BC)=(AB)C，但不满足交换律, 实际上矩阵运算就不满足交换率。 （4）逆元存在:对于任意的一个群元A，都有 A1 A E
能带理论：电子由运动状态的描写
(1) 倒格子： 由晶体点阵用的矢来定义,设有一正格子基矢为：
a 2 a3 b1 2 a1 (a 2 a 3 ) a 3 a1 b2 2 a1 (a 2 a 3 ) a1 a 2 b 3 2 a1 (a 2 a 3 )
群的例子：所有整数相对其加法运算构成一个群（整数群）。 封闭性：所有整数相加仍然为一整数。 单位元：整数 “0”。 结合律：整数相乘满足结合律 逆元存在：整数和其相对应的“负整数”。这里的群元为无穷多个，乘法呢？）
思考题：所有非零的实数是否相对于数的乘法运算构成一个群呢？
* 对称操作群的说明（回答为什么对称操作构成一个群？）： “乘法规则”为连续操作。并满足四个条件： 1.单位元素就是不动； 2.逆群元存在； 3.结合律为操作的先后次序。 4.对称操作存在封闭性。 所以对称操作可以组成群。 （应讨论晶体满足什么条件对称操作形成封闭的群）
则X’=AX. 变换中，任意两点之间距离不变，即:
x y' z x 2 y 2 z 2 ~ ~~ ~ ~ ~ 左边= XX A X ( AX ) X A AX 右边 XX ~ A 1 A A1
2
'2
'2
~ 则： A I A
变换矩阵行列式为±1。变换为正交变换。 如果一个物体在某一正交变换下不变，称这个变化为该物 体的一个对称操作，用一个正交矩阵表示。
定义一相应的倒格子基矢 b1 , b2 , b3 ：
引进一倒格矢: Gh1h2h3 h b h b h b 1 1 2 2 3 3
整数，由G构成一倒格子空间.即：
,其中h1,h2,h3为
由 b1 , b2 , b3 构成的点阵为原点阵（a1 , a2 , a3 ）的倒易点阵， G 称倒格矢，与格矢量 R 对应. G的量纲为[L]-1,与波矢的相同。 可见：知道 a1 , a2 , a3，就知道 b1 , b2 , b3
其中
G h1b1 h2 b2 h3 b3
1 Gr (G) (r )e dr
为倒格矢，h1 h2 h3为整数，则： dr 为小体积元，Ω为正格子原胞体积
可见， 一个具有正格子周期的物理量，在正格子表述和在 倒格子的表述之间遵从傅立叶变换的关系。
每个特定的晶格结构有两个点阵同它联系，一个是晶格点
CB G (
பைடு நூலகம்
一性质将晶面族与倒格子格矢量联系起来，是X-ray依据
G h1h2h3 垂直于ABC面. 即
G h1h2h3
垂直于(h1h2h3)晶面
这
(2)晶面系中相邻的面间距
2 d h1h2h3 G h1h2h3
由上图可知，晶面间距dh1h2h3 即为OM的长度,则：
（1）Gh1h2h3 h1 b1 h2 b2 h3 b3 垂直于（h1h2h3）晶面族
如图：o为某格点， , a , a 为原胞基矢，ABC为距o最近的晶面 a1 2 3 (h1h2h3),分别与三个基矢相交于： C a3
Gh1h2h3 h1 b1 h2 b2 h3 b3 与ABC面交于M.
(d)
x1x1
例3.正六角柱 * 不动 * 绕上下面心连线转2π /6,2π /3, π , 4π /3, 5π /3 * 绕对棱中点连线转π /2 （3个) * 绕对面中心连线转π /2 （3个) 12转动，再加中心反演，共24个对称操作 分析对称性一一列出对称操作很麻烦,为简 便，不列对称操作，而列出对称素。 一个物体的旋转轴或旋转-反演轴统称该物体的对称素。 *旋转轴：一个物体绕某一转轴旋转2π /n 及其整数倍后复原,该轴 称物体的n重旋转轴，记作n。 *旋转反演轴：物体旋转2π /n ，再作中心反演的联合操作及联合 操
阵，一个是倒易点阵。晶体的衍射斑点是晶体倒易点阵的映像， 通过傅立叶变换即可由之得出晶体的实点阵结构。倒格子所在
的空间，实际是波矢空间，也称傅立叶空间。由于常用波矢描
述运动状态（如电子的运动或晶格振动状态）。故倒空间可理 解为状态空间，而正格子空间为位置空间或坐标空间。倒空间 的每一点都有一定的意义，而格点Gn有着特殊的重要性。
1. 对称操作 晶体对称性可以从外形上看出来，例如：
外形愈规则，对称性愈高。具体： 若对晶体进行一定的几何变换而能复原，这种操作叫对称操作。
显然 晶体对称操作愈多，对称性愈高。 2.点对称操作及数学表述 （1）概念：相对于晶体的某一点、线、面作某种变换而能复原， 则这种变换叫晶体的点对称操作。其中点、线、面分别叫对称中 心、对称轴、对称面。
但满足一定对称性，则ε 可以简化对角矩阵。 如立方对称： 六角对称：（双折射） Dx x x 0 0 Ex Dx // 0 0 Ex Dy 0 0 Ey Dy 0 0 Ey yy Ez 0 0 Ez Dz Dz 0 0 zz
nd X G G 2n G
a1
(2)
函数 v(x) v(x R l )
的展开(以晶格周期为周期的函数的傅立叶展开)
任何一物理量，在晶格中具有：Г(r) = Г (r+R)，R为格矢量，则 周期函数可以作傅立叶展开. 同样，f (x+a) = f(x), 则以a为周期的函数可以展开为：
作的整数倍后不变， 这个轴称物体的n重旋转反演轴,记 操作过程中保持不 变的点、线、面
* 2 代表线旋转π ，再作中心反演，如图 A' A 实际存在一个镜面，这个对称素一般称 O 镜面，用m表示，即 2 = m. 3.对称操作群（Group) 一个物体的全部对称操作的集合称对称操作群. A'' * 群的定义：它是一个数学“元素”集合，数学“元素”（群元）之
例如 绕z轴旋转θ 角变换的正交矩阵为： cos sin 0 sin cos 0 例如 中心反演的正交矩阵为： 0 0 1
1 0 0 0 -1 0 0 0 - 1
例如右图中对称性描述： * 旋转：对圆可以绕旋转任意角度. 正方形中心轴旋转π /2，π ，3π /2,2π .
（2）数学中的线性变换 在xyz坐标系中的点（x,y,z),经过一线性变换，在新坐标系 x’y’z’中坐标为（x’,y’,z’）.
x ' a1 1 a1 2 a1 3 x a 11 a 12 a13 ' y y a 21 a 22 a 23 A a 21 a 22 a 23 变换矩阵为： a a a a a a z ' z 31 32 33 31 32 33
§ 1.5 晶体的宏观对称性
晶体内部结构的规则性用 bravias格子概括。对整个单晶 来说，表现为外形的规则性或宏观对称性。 对晶体对称性的研究可以定性或半定量地确定与其结构相关的物 理性质。并能简化某些数学计算。 如原子结构具有中心反演对称性，则原子无固有偶极矩；若 一个体系具有镜面对称性，面对称操作可以变左旋矢量为右旋矢量， 故具有镜面对称性的材料是无旋光性。 从数学角度看，晶体对称性是对晶体进行几何变换而能保持晶 体性能的不变性。一个变换就是一种操作。定量研究对称操作集 合的性质要用群论。本节介绍对称性的一些问题，初步了解这方 面知识。
§1.4 倒格子
由于晶格具有周期性,描述晶格的物理量都应当具有周期性。
V(x) V(x l1a1 l 2a 2 l3a 3 )
对于周期函数，在数学上可以进行付里叶展开（变换）。对 于晶格周期函数进行展开，就可以引入倒格子的概念。 在固体物理中，倒格子是一个极其重要的概念，一个新概念， 也是一个比较抽象的概念。对应波矢空间,或状态空间。空间矢量 量纲 [长度]-1。 倒格子概念的用途：X-ray衍射分析 晶格振动：原子运动状态的描写
4.对称性与宏观物理性质的关系 例如：介电张量ε 一般条件下：D E ，ε 为二阶张量
Dx x x x y x z Ex Dy Ey yx yy yz Dz zx zy zz Ez
等腰梯形旋转π ，规则梯形和四边形除旋转2π 外，不能是其它角度. * 镜像：圆任意直径;正方形对边中点连线及对角线;规则梯形对边中点连线 可见：对称性的高低可以用操作数来描述，操作数越多，对称性越高。
例1.立方体的对称操作 a.不动 1个 b.绕三个<100>转 π /2，π ，3π /2 9个 c.绕6个<110>转π 6个 d.绕4个〈111〉转 2π /3，4π /3 8个 24个纯旋转操作，每个加中心反演，共48个(Oh) 例2.正四面体对称操作: (1) 12个纯转动：3个<100>转π ，4个<111〉 转2π /3，4π /3,不动 (2)立方体剩余12个转 动加中心反演复合操作(Td)
d h1h 2 h 3 OM oA
Gh1h 2 h 3 G h1h 2 h 3
O
C
a3
M B Gh
a1 h1 b1 h2 b1 h1 b1 2 h1 G h 1h 2 h 3 G h1h 2 h 3
a2
A
(3) 用这一关系写出晶面族的方程为： X G 2n X 代表从正格子原点到第n个晶面上任意一点的矢量. 从原 点到第n个晶面的距离为:
CA OA OC
CB OB OC
a1 / h1 , a2 / h2 , a3 / h3
M O A
Gh
B
a2
a1
CA G (
a a1 3 ) ( h1 b1 h2 b2 h3 b3 ) 2 (1 1) 0 h1 h3
a a2 3 ) ( h1 b1 h2 b2 h3 b3 ) 2 (1 1) 0 h2 h3
（3）正、倒格子体积的关系 正格子原胞的体积为： a1 (a2 a3 ) 倒格子原胞的体积为： ' 则： (2 )
' 3
b1 (b2 b3 )
*
的关系—倒格矢的几何意义
倒格子 G h1h2h3 与晶面指数为（h1h2h3）的晶面族之间
f ( x a) f ( x) Cn e
n in 2 x a
f ( x) Cn ei G n x 若一维晶格，周期为a, 则 2 为倒格矢，展开为：
(r ) (G)e
G
推广到三维：
a
n
i G r
h1h 2 h 3
h1h 2 h 3
e
i ( h1 b1 h2 b2 h3 b3 )r
(2). 倒格子的性质
倒格子基矢和正格子基矢的正交性 2, i=j a b 2 = i j ij 0, i j 倒格子矢量和正格子矢量之间的广义关系
R l Gh (l1 a1 l 2 a 2 l 3 a 3 )(h1 b1 h 2 b 2 h 3 b 3 ) 2(l1h1 l 2h 2 l 3h 3 ) 2
间定义一个“乘法”（运算）规则，并在此规则下满足：
(1)封闭性（闭合性），即： A∈G B ∈G C=AB 则： C ∈G (2)存在一单位元素E， A∈G AE =A (3)元素间的乘法运算满足结合律:A(BC)=(AB)C，但不满足交换律, 实际上矩阵运算就不满足交换率。 （4）逆元存在:对于任意的一个群元A，都有 A1 A E
能带理论：电子由运动状态的描写
(1) 倒格子： 由晶体点阵用的矢来定义,设有一正格子基矢为：
a 2 a3 b1 2 a1 (a 2 a 3 ) a 3 a1 b2 2 a1 (a 2 a 3 ) a1 a 2 b 3 2 a1 (a 2 a 3 )
群的例子：所有整数相对其加法运算构成一个群（整数群）。 封闭性：所有整数相加仍然为一整数。 单位元：整数 “0”。 结合律：整数相乘满足结合律 逆元存在：整数和其相对应的“负整数”。这里的群元为无穷多个，乘法呢？）
思考题：所有非零的实数是否相对于数的乘法运算构成一个群呢？
* 对称操作群的说明（回答为什么对称操作构成一个群？）： “乘法规则”为连续操作。并满足四个条件： 1.单位元素就是不动； 2.逆群元存在； 3.结合律为操作的先后次序。 4.对称操作存在封闭性。 所以对称操作可以组成群。 （应讨论晶体满足什么条件对称操作形成封闭的群）
则X’=AX. 变换中，任意两点之间距离不变，即:
x y' z x 2 y 2 z 2 ~ ~~ ~ ~ ~ 左边= XX A X ( AX ) X A AX 右边 XX ~ A 1 A A1
2
'2
'2
~ 则： A I A
变换矩阵行列式为±1。变换为正交变换。 如果一个物体在某一正交变换下不变，称这个变化为该物 体的一个对称操作，用一个正交矩阵表示。
定义一相应的倒格子基矢 b1 , b2 , b3 ：
引进一倒格矢: Gh1h2h3 h b h b h b 1 1 2 2 3 3
整数，由G构成一倒格子空间.即：
,其中h1,h2,h3为
由 b1 , b2 , b3 构成的点阵为原点阵（a1 , a2 , a3 ）的倒易点阵， G 称倒格矢，与格矢量 R 对应. G的量纲为[L]-1,与波矢的相同。 可见：知道 a1 , a2 , a3，就知道 b1 , b2 , b3
其中
G h1b1 h2 b2 h3 b3
1 Gr (G) (r )e dr
为倒格矢，h1 h2 h3为整数，则： dr 为小体积元，Ω为正格子原胞体积
可见， 一个具有正格子周期的物理量，在正格子表述和在 倒格子的表述之间遵从傅立叶变换的关系。
每个特定的晶格结构有两个点阵同它联系，一个是晶格点
CB G (
பைடு நூலகம்
一性质将晶面族与倒格子格矢量联系起来，是X-ray依据
G h1h2h3 垂直于ABC面. 即
G h1h2h3
垂直于(h1h2h3)晶面
这
(2)晶面系中相邻的面间距
2 d h1h2h3 G h1h2h3
由上图可知，晶面间距dh1h2h3 即为OM的长度,则：
（1）Gh1h2h3 h1 b1 h2 b2 h3 b3 垂直于（h1h2h3）晶面族
如图：o为某格点， , a , a 为原胞基矢，ABC为距o最近的晶面 a1 2 3 (h1h2h3),分别与三个基矢相交于： C a3
Gh1h2h3 h1 b1 h2 b2 h3 b3 与ABC面交于M.
(d)
x1x1
例3.正六角柱 * 不动 * 绕上下面心连线转2π /6,2π /3, π , 4π /3, 5π /3 * 绕对棱中点连线转π /2 （3个) * 绕对面中心连线转π /2 （3个) 12转动，再加中心反演，共24个对称操作 分析对称性一一列出对称操作很麻烦,为简 便，不列对称操作，而列出对称素。 一个物体的旋转轴或旋转-反演轴统称该物体的对称素。 *旋转轴：一个物体绕某一转轴旋转2π /n 及其整数倍后复原,该轴 称物体的n重旋转轴，记作n。 *旋转反演轴：物体旋转2π /n ，再作中心反演的联合操作及联合 操
阵，一个是倒易点阵。晶体的衍射斑点是晶体倒易点阵的映像， 通过傅立叶变换即可由之得出晶体的实点阵结构。倒格子所在
的空间，实际是波矢空间，也称傅立叶空间。由于常用波矢描
述运动状态（如电子的运动或晶格振动状态）。故倒空间可理 解为状态空间，而正格子空间为位置空间或坐标空间。倒空间 的每一点都有一定的意义，而格点Gn有着特殊的重要性。
1. 对称操作 晶体对称性可以从外形上看出来，例如：
外形愈规则，对称性愈高。具体： 若对晶体进行一定的几何变换而能复原，这种操作叫对称操作。
显然 晶体对称操作愈多，对称性愈高。 2.点对称操作及数学表述 （1）概念：相对于晶体的某一点、线、面作某种变换而能复原， 则这种变换叫晶体的点对称操作。其中点、线、面分别叫对称中 心、对称轴、对称面。
但满足一定对称性，则ε 可以简化对角矩阵。 如立方对称： 六角对称：（双折射） Dx x x 0 0 Ex Dx // 0 0 Ex Dy 0 0 Ey Dy 0 0 Ey yy Ez 0 0 Ez Dz Dz 0 0 zz
nd X G G 2n G
a1
(2)
函数 v(x) v(x R l )
的展开(以晶格周期为周期的函数的傅立叶展开)
任何一物理量，在晶格中具有：Г(r) = Г (r+R)，R为格矢量，则 周期函数可以作傅立叶展开. 同样，f (x+a) = f(x), 则以a为周期的函数可以展开为：