第八章(第一节矩估计法)
矩法估计PPT课件
点 估 计 问 题 就 是 要 构 造 一 个 适 当 的 统 计 量
ˆ(1,2,L,n),用 它 的 观 察 值 ˆ(x1,x2,L,xn) 来 估 计 未 知 参 数 .
ˆ(1 ,2 ,L ,n )称 为 的 估 计 量 . 通 称 估 计 ,
ˆ ( x 1 ,x 2 ,L ,x n ) 称 为 的 估 计 值 . 简 记 为 ˆ.
.
5
二、估计量的求法
由于估计量是样本的函数, 是随机变量, 故 对不同的样本值, 得到的参数值往往不同, 求估 计量的问题是关键问题.
点估计的求法: (两种) 矩估计法和极大似然估计法.
.
6
一、 矩估计法 它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 . 是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 . 其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
.
19
例 6 .设 X 在 [ 0 ， ] 上 均 匀 分 布 ， 求 的 矩 法 估 计 量 并 确 定
是 否 为 无 偏 估 计 量 ？
1
解 ： f(x,)
0x, 0
（ 列 1） 方矩 程法 ：２ 估 ＝0计 X ： E X 0 x 1 其 dx 它 2 解 方 程 ： ˆ ＝ ２ X 即 为 的 矩 法 估 计 量 。
112X312X7
2 13X232X5
都是EX的无偏估计，并问哪一个比较有效？
解 E 1 E （ 1 2 X 3 1 2 X 7 ） 1 2 E X 3 1 2 E X 7 E X
E 2 E （ 1 3 X 2 2 3 X 5 ） 1 3 E X 3 2 3 E X 5 E X
参数的矩估计及评价标准PPT课件
2.有效性（不作要求）
设 ˆ1 ˆ1( X1, X与2,, X n ) ˆ2 都ˆ2是( X1, X 2,, X n ) 参数 的无偏估计量,如果
D(ˆ1) D(ˆ2), 则称 ˆ1 比 ˆ2 有效.
如果对于给定的样本容量 , 的方差 n 最小ˆ , 称 是ˆ 的有效估计量.
D(ˆ)
则
第15页/共25页
3.一致性（不作要求）
如果 n 时, 按概率收ˆn敛于 , 的正数 ,有
即对于任意给定
lim
n
P(
ˆn
) 1,
则称 是ˆn 的一致估计量.
n 第16页/共25页
小结
未知参数的估计量的三个评选标准:无偏性,有效性
和一致性. 评价估计量,不能从一个估计量的某次具体表现上
去衡量好坏,而应看其整体性质.
i
X )2
,
则
（A）
S 是 的无偏估计量.
（B） （C） （D）
S 是 的最大似然估计. S 是 的相合估计量（即一致估计量）. S 与 相X互独立.
[1992 数学四]
第18页/共25页
分析:
对于任何总体，
虽然有 E(S 2 ) 2 , 即 S是2 2
的无偏估计量，
但是未必有 E(S) , 即 S未必是
Xi)
1 n
n i1
E(
X
i
)
1 n
n
.
X 是 的无偏估计量:
ˆ X .
第12页/共25页
（2）
S2
1 n 1
n i1
(Xi
X
)2
1
n
(
n 1 i1
X
2 i
矩估计法的公式
矩估计法的公式摘要：一、矩估计法简介1.矩估计法的概念2.矩估计法在统计学中的应用二、矩估计法公式1.矩的定义2.矩估计法的推导过程3.常见矩估计量及其公式三、矩估计法的性质与特点1.矩估计量的性质2.矩估计法的优点与局限性四、矩估计法在实际问题中的应用1.参数估计问题2.假设检验问题正文：一、矩估计法简介矩估计法是一种常用的参数估计方法，它基于样本数据对未知参数进行估计。
矩估计法的核心思想是通过样本数据的矩（如均值、方差等）来估计总体的矩，从而得到参数的估计值。
矩估计法在统计学中有着广泛的应用，例如在区间估计、假设检验等问题中都有涉及。
二、矩估计法公式1.矩的定义矩是描述数据分布特征的一个量，它反映了数据围绕均值分布的情况。
对于连续型随机变量，其矩的定义如下：μk = E(X^k) = ∫x^kf(x)dx，k∈N其中，E(X^k) 表示随机变量X 的k 阶矩，f(x) 表示X 的概率密度函数，∫表示积分。
2.矩估计法的推导过程设总体分布为F(x)，参数为θ，根据矩的定义，我们有：E(X) = ∫xf(x;θ)dx = μθ其中，μθ表示总体均值，μ表示样本均值，θ表示参数。
根据样本数据，我们可以得到n 个样本观测值x1, x2, ..., xn，对应的样本矩为：S_n = (x1^2 + x2^2 + ...+ xn^2) / n对S_n 求导，可得：dS_n/dθ = 2(x1 + x2 + ...+ xn) / n令dS_n/dθ = 0，解得：θ= μ = (x1 + x2 + ...+ xn) / n因此，我们可以用样本均值μ作为参数θ的估计值。
3.常见矩估计量及其公式除了均值，还有其他一些常见的矩估计量，如方差、协方差等。
这里列举一些常见的矩估计量及其公式：- 样本均值：μ = (x1 + x2 + ...+ xn) / n- 样本方差：s^2 = (Σ(xi - μ)^2) / (n - 1)- 样本标准差：s = √s^2- 样本相关系数：r = Σ(xi - μ)(yi - μ) / (s * s")三、矩估计法的性质与特点1.矩估计量的性质矩估计量具有良好的性质，如无偏性、有效性、一致性等。
矩估计原理及方法介绍精品PPT课件
1
矩估计法(The Method of Moments)， 是基于一种简单的“替换”思想建立起 来的一种估计方法 . 是英国统计学家K.Pearson最早提出的 .
其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
矩法估计的理论基础是：辛钦大数定律 .
2
记总体 k 阶原点矩为 k E( X k )
样本 k 阶原点矩为
比较：
的最大似然估计量为
ˆ
max
1 i n
X
i
.
在本例中,如果 X 表示乘客的候车时间,随机抽样
得到的5位乘客的候车时间为 0.5, 1, 2, 3.5, 8, 则其矩
估计值为 6, 而其最大似然估计值为 8.
5
例2 设总体 X 服从正态分布 N (, 2 ) ，( X1,, X n ) 是 取自 X 的样本，则 , 2 的矩法估计量分别为
解 (1) 矩估计法：
X 服从几何分布， E( X ) 1 p
所以 p 的矩估计量为
pˆ 1 X
Байду номын сангаас
7
P{ X x} p(1 p)x1 , x 1,2
解 (2) 最大似然估计法：
n
L( p)
n
p(1
p
)
xi
1
pn (1
xi n p) i1
,
i 1
n
ln L n ln p ( xi n) ln(1 p) ,
i 1
n
d ln L n n i1 xi
令
0，
dp p 1 p
解得 p 的最大似然估计量为
pˆ
n1
n
Xi
. X
i 1
8
第一节 矩估计(概率论与数理统计)
设待估计的参数为 θ1,θ2 ,L,θk 设总体的 r 阶矩存在，记为
E( X r ) = r (θ1,θ2 ,L,θk )
1 n r 样本 X1, X2,…, Xn 的 r 阶矩为 Ar = ∑Xi n i=1 令 1n r r (θ1,θ2 ,L,θk ) = ∑Xi r =1,2,L, k n i=1 —— 含未知参数 θ1,θ2, …,θk 的方程组
= X + 3( A X 2 ) b矩 2
3 2 = X + ∑(Xi X ) . n i=1
n
设某产品的寿命服从指数分布， 例6 设某产品的寿命服从指数分布，其概率密度为
λe f (x, λ) = 0,
λx
,
x > 0; x ≤ 0.
λ 为未知参数，现抽得 n 个这种产品，测得其寿命数据 为未知参数， 个这种产品，
什么是参数估计？ 什么是参数估计？
参数是刻画总体某方面概率特性的数量. 参数是刻画总体某方面概率特性的数量. 当此数量未知时,从总体抽出一个样本， 当此数量未知时,从总体抽出一个样本，用某种 方法对这个未知参数进行估计就是参数估计. 方法对这个未知参数进行估计就是参数估计. 例如，X ~N ( ,σ 2), 例如， 未知, 通过构造样本的函数, 若, σ 2未知 通过构造样本的函数 给出它们 的估计值或取值范围就是参数估计的内容. 的估计值或取值范围就是参数估计的内容
(b a) a + b E( X ) = D( X ) + E ( X ) = + 12 2 a +b 令 =X 2 2 n a)2 a + b (b 1 = A2 = ∑Xi2 + 12 2 n i=1
2 2
矩估计法解题步骤
矩估计法是一种常用的参数估计方法，其基本思想是利用样本矩来估计总体矩，进而求得总体参数的估计值。
以下是矩估计法的解题步骤：
1. 确定样本矩和总体矩：样本矩是指样本数据的各种统计量，如样本均值、样本方差等；总体矩是指总体数据的各种统计量，如总体均值、总体方差等。
2. 建立方程：利用样本矩和总体矩之间的关系，建立关于总体参数的方程。
通常情况下，样本矩和总体矩之间存在一定的数学关系，如样本均值等于总体均值，样本方差等于总体方差等。
3. 解方程：解建立的方程，求得总体参数的估计值。
4. 验证估计值：将求得的估计值与已知的样本数据进行比较，验证估计值的准确性和可靠性。
下面是一个具体的例子，说明如何使用矩估计法求解总体均值的估计值：
假设我们有一个总体，其均值为μ，方差为σ^2。
我们从总体中随机抽取一个样本容量为n的样本，得到样本数据x1, x2, ..., xn。
1. 计算样本均值：样本均值为x=(x1+x2+...+xn)/n。
2. 建立方程：根据样本均值和总体均值的数学关系，我们有x=μ。
3. 解方程：将x的值代入方程中，解得μ的估计值为μ=x。
4. 验证估计值：将μ的估计值与已知的样本数据进行比较，验证估计值的准确性和可靠性。
需要注意的是，矩估计法是一种无偏估计方法，即样本矩和总体矩之间存在一定的数学关系，使得估计值与真实值之间的偏差较小。
但是，矩估计法也存在一定的局限性，如当样本数据不具有代表性时，估计值的准确性可能会受到影响。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的参数估计方法。
08.1参数的矩估计方法
令
1(1,2 ,L ,k ) B1
2 (1,2 ,L ,k ) B2
LLLLLL
k (1,2 ,L ,k ) Bk
解得µl $l (B1, B2,L , Bk ),l 1, 2,L , k,并以$l作为参数l的
估计量，这种估计量称为矩估计量，矩估 计量的观察值就是矩估计值。
或者
Cl
矩估计法的理论依据: 大数定律
∵ X1, X2 , , Xn 是独立同分布的,
∴ X1k, X2k, , Xnk 也是独立同分布的.
于是有 E(X1k)=E(X2k)==E(Xnk)= E(Xk)=μk .
根据辛钦大数定律, 样本k阶矩Ak依概率收敛于总体k
阶矩μk ,即
Ak
1 n
n i 1
知参数1,2,…,k,即F=F(x;1,2,…,k)， 总体X的前k 阶矩l =E(Xl )(l=1,2,…,k)存在, 它们是1,2,…,k的函数
l(1,2,…,k)(l =1,2,…,k)
假设X1,X2,…,Xn是总体X的一个样本，建 立统计量--样本l 阶原点矩Al (l=1,2,…,k)，
试对参数给出估计。
1 n
E( X ) n i1 X i
一阶样本原 点矩
E(X 2)
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
Xi2
2
2
1 n
n i 1
Xi2
二阶样本原 点矩
解之得:
解之得:
)
1 n
n i 1
Xi
ˆ
2
1 n
n i 1
Xi2
(ˆ )2
从而得, 2
为： ) 1
ni
第八章(第一节矩估计法)
用
1
n
n i1
Xi
替换 E
X
，
即得 的另一矩估计量为
. ^
1 n
n i 1
Xi
此外还需比较估计的优劣性，
这一点将在下一节将会介绍，这里
不再多说。
为了对参数 和 2 进行估计，
我们从总体中抽取样本 X , X ,, X
1
2
n
（对于一次具体的抽取，他就是具
体的数值 x , x ,, x ,在不致引起混淆
1
2
n
的情况下，今后也用 x , x ,, x 表示随
1
2
n
机变量），根据样本矩在一定程度上
反映了总体矩的特征，自然想到用
样本矩作为总体矩的估计。
解由
x 1 (12.6 13.4 12.8 13.2) 13 ,
4
s 2 1 [(12.6 13)2 (13.4 13)2 (12.8 13)2 (13.2 13)2 ] 0.133 4 1
得 和 2的估计值分别为 13(mm)和
0.133(mm)2 。
例3 设总体 X 的概率密度为
就完全确定了。例如，总体
X ~ N(, 2)，但不知道其中参数
和 2的具体数值，我们要想法确定 参数 , 2 。
为了寻求总体的这些参数的值，
我们可对总体进行调查，很自然的
会想到用从总体 X 中抽取得的样本
值 x , x ,, x ，对总体中的未知参数作
1
2
n
出来估计，这类问题就是参数估计。
参数估计主要有参数的点估计 和参数的区间估计。
例 1 某灯泡厂生产一批灯泡，
由于随机因素的影响，每个灯泡的
矩估计法的公式
矩估计法的公式摘要：1.矩估计法的概念与基本思想2.矩估计法的公式推导3.矩估计法的应用与实例4.矩估计法的优缺点分析正文：一、矩估计法的概念与基本思想矩估计法是一种用于求解统计量估计的数学方法，其基本思想是通过样本矩与总体矩之间的关系，构造出样本统计量的矩估计值，从而得到总体参数的估计值。
矩估计法既适用于离散型随机变量，也适用于连续型随机变量。
二、矩估计法的公式推导设随机变量X 具有离散型分布，其概率质量函数为p(x)，n 为样本容量，样本均值和样本方差分别为μ_n 和σ_n^2，总体均值和总体方差分别为μ和σ^2。
根据矩的定义，有：E(X) = Σx * P(X=x) = ∑_{i=1}^{n} x_i * p(x_i)Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = Σx^2 * P(X=x) = ∑_{i=1}^{n} x_i^2 * p(x_i)根据矩估计法的思想，样本均值μ_n 可以作为总体均值μ的矩估计值，样本方差σ_n^2 可以作为总体方差σ^2 的矩估计值。
即：μ_n = Σx * P(X=x) / nσ_n^2 = [Σx^2 * P(X=x)] / (n-1)对于连续型随机变量，样本矩可以表示为：μ_n = ∫xf(x)dxσ_n^2 = ∫[x^2f(x)]dx - [∫xf(x)dx]^2 / (n-1)其中，f(x) 为随机变量X 的概率密度函数。
三、矩估计法的应用与实例矩估计法在实际应用中具有广泛的应用，例如在统计推断、参数估计、假设检验等领域。
下面举一个简单的例子来说明矩估计法的应用：假设有一个箱子中装有若干个红球和白球，现在从箱子中抽取n 个球，记抽取到的红球个数为X，求箱子中红球和白球的比例。
根据矩估计法的公式，可以得到样本红球和白球比例的矩估计值，从而估计出总体红球和白球的比例。
四、矩估计法的优缺点分析1.优点：矩估计法具有较强的理论依据，可以得到较好的估计效果。
《矩估计的基本步骤》PPT课件
x1 , x2 ,, xn 是来自X 的一个样本值, 求 和 2 的最大似然估计量 .
解
X的概率密度为
1 f ( x; , ) e 2π
2
( x )2 2 2
,
X 的似然函数为
L( , )
2 i 1
n
1 e 2π
( xi )2 2 2
最大似然估计法
得到样本值x1 , x2 ,, xn时, 选取使似然函数 L( )
ˆ 作为未知参数 的估计值, 取得最大值的 ˆ ) max L( x1 , x2 ,, xn ; ). 即 L( x1 , x2 ,, xn ;
( 其中 是 可能的取值范围 ) ˆ 与样本值 x1 , x2 ,, xn有关, 记为 这样得到的
f ( xi ; )dxi ,
i 1
n
L( ) L( x1 , x2 ,, xn ; ) f ( xi ; ),
i 1
n
L( )称为样本的似然函数 .
若 L( x1 , x2 ,
ˆ ) max L( x , x , , xn ; 1 2
n
, x n ; )
则样本 X1 , X 2 ,, X n 取到观察值x1 , x2 ,, xn 的概率,
即事件 X1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn 发生的概率为
L( ) L( x1 , x2 ,, xn ; ) p( xi ; ), ,
i 1
n
L( )称为样本似然函数.
只发一枪便打中, 猎人命中的概率一般大于这位同学 命中的概率. 看来这一枪是猎人射中的可能性很大. 思想：一次试验就出现的事件有较大的概率.
第八章 可靠性试验
解： ①求F(t) 累积失效概率
查表8-1得： F ( t ) = 28%
②求投入试验的样品数
可靠性设计
>20
应投入试验的样品数为71个。
3、产品寿命试验的截止时间 • 截止时间与样品数及希望达到的失效数有关：
试验时间： ln n
n 1
• 截止时间与产品累积失效概率有关
ti
ln 1
1F(ti)
可靠性设计
可靠性设计
4、寿命试验和加速寿命试验 寿命实验是评价分析产品寿命特征的试验。通过寿
命试验可以获得失效率、平均寿命等可靠性特征量。
模仿正常工作应力进行的寿命试验，需要较长的时间，代价很高。
加速寿命试验就是在不改变产品失效机理、不引 入新的失效因子的前提下，提高试验应力，加速产品 失效进程，再根据加速试验结果，预计正常应力下的 产品寿命。
可靠性设计
（2）产品研制定型中，进行可靠性鉴定 判断产品的设计和生产工艺是否符合可靠性要求，
确定能否进行批量生产。 （3）产品的生产过程中控制产品的质量
可靠性设计
8.1 可靠性试验分类及方法
一、可靠性试验的分类
按试验项目
筛选试验
环境试验
可靠性提高试验
可靠性增长试验
寿命试验（可靠性的评价试验）
1、可靠性筛选试验
通过实验结果对故障特征机理进行分析，找出改 进措施，进一步提高产品可靠性。使产品可靠性接近 设计规定固有可靠性水平。
（1）环境条件 气候环境条件 温 湿 气 风 雨 雪 水 露 霜 沙 盐 油游离等
度度压
雪 尘 雾 雾气体
机械环境条件
可靠性设计
振 冲 离 碰 跌 摇 静 失 声 爆 冲等
动击心撞落摆力重振炸击 辐射条件
概率论与数理统计第八章资料
设(x1,..., xn )为总体的一组样本观察值。 要选取总体分布中未知参数的估计值, 使得 作为参数时，上述样本出现的可能性最大。 这种方法称为最大似然法。 若是离散型随机变量
P( xi ) p(xi, )
则样本x1,
...,
2
令 1＝X 2
解得 ＝ 2X 1 1 X
矩估计的优点：直接、简便
缺点：未充分利用分布信息
(二)最大似然法 两人射击，一人打中，一人没打中，认为打中者 技术较好。
某事件发生的概率为0.01或0.1，若一次试验中该 事件发生了，认为其概率为0.1 例5 在一个袋中有许多黑球与白球，其数量比为1：3 或3：1，通过抽样判断黑球多还是白球多。
解：有放回地抽取3个球， 若取到0个或1个白球，认为袋中黑球多。 若取到2个或3个白球，认为袋中白球多。
用表示取到的白球个数 若白球占1 4，则的分布为
0 1 2 3 P 27 27 9 1
64 64 64 64 若白球占3 4，则的分布为
0 1 2 3 P 1 9 27 27
64 64 64 64 可见，当＝0或1时，认为白球占1 4
利用
ai2
a
2 j
2aia
有
j
3
ai
2
a1
a2
a3
2
i1
a12
a
2 2
a
2 3
2a1a 2
2a1a 3
2a 2a3
a12
a
2 2
a32
a12
a
2 2
a12 a32
a
2 2
a32
3
矩估计法的公式
矩估计法的公式矩估计法的公式矩估计法是一种常用的参数估计方法，通过使用样本的矩来估计总体的矩，得到参数的估计值。
在统计学中，矩估计法是一种无偏估计方法，可以应用于各种分布类型的参数估计。
什么是矩估计法矩估计法是通过样本统计量的样本矩与总体矩进行匹配，以得到参数的估计值。
总体的矩是一个描述总体分布特征的统计量，而样本的矩是从样本中得到的相应统计量。
矩估计法的公式以下是矩估计法的公式：1.第一矩估计：第一矩估计即平均值的估计，公式为：μ̂=1n ∑X i ni=1其中，μ̂是平均值的估计，n是样本数量，X i是第i个观测值。
例如，假设我们有一组样本数据X=[1,2,3,4,5]，我们可以使用第一矩估计来估计样本的平均值：μ̂=15(1+2+3+4+5)=32.第二矩估计：第二矩估计即方差的估计，公式为：σ̂2=1n ∑(X i−μ̂)2 ni=1其中，σ̂2是方差的估计，μ̂是平均值的估计，n是样本数量，X i是第i个观测值。
继续以上面的样本数据X=[1,2,3,4,5]为例，我们可以使用第二矩估计来估计样本的方差：σ̂2=15((1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+ (5−3)2)=23.更高阶矩估计：矩估计法也可以用于估计其他高阶矩，例如偏度和峰度。
对于偏度的矩估计，公式为：γ1̂=1n∑(X i−μ̂)3ni=1σ̂3其中，γ1̂是偏度的估计，μ̂是平均值的估计，σ̂2是方差的估计，n是样本数量，X i是第i个观测值。
同样地，对于峰度（峰态系数）的矩估计，公式为：γ2̂=1n∑(X i−μ̂)4ni=1σ̂4−3其中，γ2̂是峰度的估计，μ̂是平均值的估计，σ̂2是方差的估计，n 是样本数量，X i 是第i 个观测值。
总结矩估计法是一种常用的参数估计方法，通过使用样本的矩来估计总体的矩，从而得到参数的估计值。
本文介绍了矩估计法的公式，并举例说明了如何使用矩估计法来估计平均值、方差、偏度和峰度。
矩估计课件
2 2 ( b a ) ( a b ) 2 E ( X 2 ) D( X ) [ E ( X )]2 12 4
计算得到
a b 21
b a 12( 2 - 12 )
2 3( 2 1 )
2 3( 2 1 )
1 n k 其中 Ak X i 为样本的k 阶矩，k 1, 2, , m n i 1
例1
X 1 ,, X n 是来自Poisson分布P ( )的样本.
EX , Var( X )
2 X 和S n
1 2 ( X i X ) 都可以作为的矩估计. n
一、 矩估计
矩估计法的具体做法：
设总体X的分布函数为F ( x; θ1 , θ2 ,..., θm ) ,
X 1 , X 2 , ... , X n为来自总体X的一组样本.
(1)求出总体X的前m阶矩
1 1 ( 1 ,..., m ) ( ,..., ) 2 2 1 m m m ( 1 ,..., m )
ˆ ( X , X , ... , X ) , θ m 1 2 n
分别作为未知参数 θ1 , θ2 ,..., θm 的估计量
ˆHale Waihona Puke ( x , x , ... , x ) , 用 θ 1 1 2 n
ˆ ( x , x , ... , x ) , θ m 1 2 n
分别作为未知参数 θ1 , θ2 ,..., θm 的估计值
涉及到矩的阶数尽量小.
矩估计的两个特点
1、矩估计基于经验分布函数，因此该估计是以大
样本为应用对象的. 2、矩估计没有用到总体分布的任何信息，本质上
第一节矩估计
1502, 1453, 1367, 1650 （小时）
求：
, 2 的矩估计值
概率统计
解: (1).
总体 X 的数学期望是 X 的一阶原点矩；
总体 X 的方差是 X 的二阶原点矩。
现令
即
E( X ) E( X 2 ) D ( X ) [ E( X )] 2 2 2 1 n 一阶样本原 E( X ) X i 点矩 n i 1 1 n E( X 2 ) X i 2 二阶样本原 n i 1 点矩 n 1 Xi n i 1 解之得: n
P( x ;1 ,2 ,,k ) 则：
E ( X i ) xl i P (1 , 2 ,, k ),
l 1 n
i 1, 2, , k
概率统计
若总体 X 是连续型随机变量，其密度函数为：
f ( x ;1 ,2 ,,k )
则：
E( X i )
x i f ( x ;1 , 2 , , k ) dx i 1, 2, , k
中的
i , 则得 i
ˆ 的矩估计量 i :
ˆ ˆ i i ( M1 , M2 ,, Mk ),
概率统计
i 1,2,, k
注: ▲ 上述计算步骤对 k 阶中心矩也是成立的。 因为 k 阶中心矩总可以通过展开的方法展开 为不超过总体 k 阶原点矩的函数。 ▲ 矩估计法的优缺点： 优点： 矩估计法并不要求知道总体分布的具 体形式就能对总体的数字特征作出估计 缺点： 矩估计法要求总体的矩存在，若总体的 矩不存在则矩估计法失效； 对某些总体的参数矩估计量不唯一，这 在应用时会带来不利； 矩估计法只是利用了矩的信息而没有充 分利用总体分布函数的信息 对某些总体的参数矩估计量有时不合理;
概率论与数理统计参数估计矩估计法
概率论与数理统计参数估计矩估计法概率论与数理统计是数学的一个重要分支，它研究了随机现象的规律以及如何利用数据对未知参数进行估计。
参数估计是统计学中的一项基本任务，其目的是通过样本数据来推断出总体的未知参数。
矩估计法是一种常见的参数估计方法，本文将详细介绍矩估计法的原理、步骤和一些重要应用。
矩估计法的基本思想是将总体的矩与样本矩相等化，从而得到参数的估计值。
矩估计法的具体步骤如下：1.确定总体的概率分布函数或密度函数，假设其形式和假设的参数个数。
2.确定估计的参数个数，即确定需要估计的参数的个数。
3.设定样本容量和抽样分布，根据样本的特点选择适当的样本容量和抽样分布。
4.根据总体的矩和样本的矩相等的条件，设置矩方程组。
5.解矩方程组，求得参数的估计值。
矩估计法的原理基于矩的性质，总结起来有两个重要定理：(1)若总体的前n个矩存在，则总体的前n个矩是参数的连续函数；(2)任何阶数的矩都可以用前两阶的矩表示。
这两个定理是矩估计法的理论基础。
矩估计法的优点在于其思路简单直观，计算相对容易，而且在大样本下具有渐近无偏性和一致性。
但是矩估计法也存在一定的局限性，它要求总体的前n个矩存在，并且需要根据总体的矩给出矩方程组。
在一些情况下，总体的矩很难求出，或者求解矩方程组的解不存在，这时候矩估计法就不适用了。
矩估计法在实际应用中有广泛的应用，下面以两个常见的例子进行说明。
例子1：假设企业员工的月薪服从正态分布，现在随机抽取了一部分员工，得到了他们的月薪数据。
现在要估计该企业的平均月薪和方差。
根据矩估计法的步骤，首先可以设定总体的平均月薪和方差为参数，然后选择适当的样本容量和抽样分布，比如选择样本容量为100，假设样本服从正态分布。
接下来，根据总体的矩和样本的矩相等的条件，可以设置矩方程组，如平均月薪的矩方程为：总体平均月薪=样本平均月薪。
方差的矩方程为：总体方差=样本方差。
最后，解矩方程组可以得到平均月薪和方差的估计值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第八章 参数估计第一节 参数的点估计在研究总体X 的性质时，如果知道总体X 的概率分布，那是再好不过了。
然而，在许多情况下，对总体的情况知道甚少或只知道部分信息。
在实际问题中遇到的许多总体，根据以往的经验和理论分析可以知道总体X 的分布函数的形式，但分布中的一个或几个参数未知，一旦这些参数确定以后，总体X 的概率分布就完全确定了。
例如，总体),(~2σμN X ，但不知道其中参数μ和2σ的具体数值，我们要想法确定参数2,μσ 。
设总体X 的分布函数(;)F x θ形式已知，其中θ是未知参数（也可以是未知向量12(,,,)mθθθθ=⋅⋅⋅）。
试问怎样由样本n X X X ,,,21⋅⋅⋅提供的 信息，建立样本的函数即统计量来 对未知参数作出估计？这类问题，称为参数的估计问题。
参数估计主要有参数的点估计和参数的区间估计。
现从总体X 中抽得一个样本 n X X X ,,,21⋅⋅⋅,相应的一个样本值观察值为 n x x x ,,,21⋅⋅⋅；点估计的问题就是要构造一个适当的统计量12ˆ(,,,)n X X X θ⋅⋅⋅，用它的观察值12ˆ(,,,)nx x x θ⋅⋅⋅来估计未知参数θ。
统计量12ˆ(,,,)n X X X θ⋅⋅⋅称为θ的估计量，12ˆ(,,,)n x x x θ⋅⋅⋅称为θ的估计值。
在不致混淆的情况下，估计量与估计值统称为估计，并都简记为ˆθ。
下面介绍参数点估计的两种方法： 矩估计法和极大似然估计。
一、 矩估计法矩估计是由英国统计学家Pearson,K.于1900年提出的一种参数估计方法，在统计学中有广泛的应用。
例1 若要考察成人的身高分布情况。
（人类学、遗传变异学、社会学要用。
）每一个人的身高是一个体，全体人的身高构成一个总体。
由于随机因素的影响，不同人的身高一般是不一样的。
由中心极限定理和实际经验知道，人体身高),(~2σμN X 。
但不知道其中参数μ和2σ的具体数值。
（知道之后，有实践和检验理论的多种用途。
）为了确定一个国家或一个地区内人体的身高总的情况,自然需要估计一个地区人的平均身高以及身高的差异程度,即要求估计μ和2σ的值.为了对参数μ和2σ进行估计，我们从一个地区中随机的抽取一批人，进行身高测量。
我们从总体中抽取样本n X X X ,,,21⋅⋅⋅（对于一次具体的抽取，它就是具体的数值n x x x ,,,21⋅⋅⋅,在不致引起混淆的情况下，今后也用nx x x ,,,21⋅⋅⋅表示随机变量），根据样本矩在一定程度上反映了总体矩的特征，自然想到用样本矩作为总体矩的估计。
于是，我们分别用样本均值和样本方差作为总体均值μ和总体方差2σ的估计，记为μˆ和2ˆσ，即有 X X nni i ==∑=11ˆμ , (8.1)∑==--=ni i S X X n 1222)(11ˆσ ,(8.2) 显然，μˆ和2ˆσ都是样本n X X X ,,,21⋅⋅⋅的函数，是统计量，分别称为μ和2σ的矩估计量。
若nx x x ,,,21⋅⋅⋅为样本值（一批次的测量值）,则把 x x n ni i==∑=11ˆμ, ∑==--=ni is x x n 1222)(11ˆσ, 分别作为μ和2σ的估计值.对于不同的样本值，估计值也是不同的。
实际中，需要进行多批次、分组次、多年代的测量。
通过观测记录，对不同年代、不同地区，人身高的分布和差别都记录下来，得出客观结果，分析其原因，构成科学记载资料数据，积累人类智慧，可被当代人或后代人借鉴引用。
这种用样本矩来估计相应的总体矩的方法，称为矩估计法。
矩估计的一般问题、理论根据和方法：设总体X 的分布函数为),,,;(21m x F θθθ⋅⋅⋅,未知参数m θθθ,,,21⋅⋅⋅; 问题：试给出参数mθθθ,,,21⋅⋅⋅的估计值。
解决办法如下首先求出总体矩: 12(,,,)kk k m EX μμθθθ==⋅⋅⋅, m k ,,2,1⋅⋅⋅=；或 12()(,,,)k kk m E X EX ββθθθ=-=⋅⋅⋅, m k ,,2,1⋅⋅⋅=;其次，对总体进行随机抽样，设n X X X ,,,21⋅⋅⋅为来自于总体X 的样本,nx x x ,,,21⋅⋅⋅为样本值(观察值,抽样结果,具体记录下来的一组数).构造样本矩: ∑==ni kik X n A 11, kini k X X n B )(11-=∑=, 212)(11X X n S ini --=∑= 。
理论上已知，在一定条件下 成立11n P k k k i k i A X EX n μ==−−→=∑, (∞→n )或11()()n P k k k i k i B X X E X EX n β==-−−→-=∑，(∞→n )于是，可把 ∑==ni kik X n A 11 作为 k k EX μ=的近似值,k k A μ≈ ；即令(人为作出方程组)12(,,,)k m k A μθθθ⋅⋅⋅=,m k ,,2,1⋅⋅⋅=,或令12(,,,)k m kB βθθθ⋅⋅⋅=,m k ,,2,1⋅⋅⋅=,得到含m 个未知数的m 个方程式;解这m 个联列方程组可得到m θθθ,,,21⋅⋅⋅的一组解(记为):12ˆ(,,,)i i mA A A θϕ=⋅⋅⋅,m i ,,2,1⋅⋅⋅=则把这组解m θθθˆ,,ˆ,ˆ21⋅⋅⋅就称作为m θθθ,,,21⋅⋅⋅的矩估计量,其观察值称为矩估计值.矩估计的另一种观点:首先在方程组12(,,,)k m k μθθθμ⋅⋅⋅=,m k ,,2,1⋅⋅⋅=, 中,求解出解12(,,,)i i m θϕμμμ=L ,m i ,,2,1⋅⋅⋅=; 然后将其中的k μ用kA 替换,得到12ˆ(,,,)i i mA A A θϕ=⋅⋅⋅, (m i ,,2,1⋅⋅⋅=)称12ˆ(,,,)i i mA A A θϕ=⋅⋅⋅ (m i ,,2,1⋅⋅⋅=)为i θ(m i ,,2,1⋅⋅⋅=)的矩估计量;将样本值代入得矩估计值.根据依概率收敛的随机变量的性质，可知1212ˆ(,,,)(,,,)P i i mi m i A A A θϕϕμμμθ=⋅⋅⋅−−→=L ，(∞→n )。
(m i ,,2,1⋅⋅⋅=)。
(或从方程组12(,,,)k m k βθθθβ⋅⋅⋅=,m k ,,2,1⋅⋅⋅=,中,求解出解12(,,,)i i m θψβββ=⋅⋅⋅,m i ,,2,1⋅⋅⋅=; 将其中的k β用k B 替换,得到12ˆ(,,,)i i mB B B θψ=⋅⋅⋅, (m i ,,2,1⋅⋅⋅=)称12ˆ(,,,)i i m B B B θψ=⋅⋅⋅(m i ,,2,1⋅⋅⋅=)为i θ(m i ,,2,1⋅⋅⋅=)的矩估计量;将样本值代入得矩估计值.)例2设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其它,010,);(1x x x f θθθ ,nX X X ,,,21⋅⋅⋅为来自于总体X 的样本,nx x x ,,,21⋅⋅⋅为样本值,求θ的矩估计。
解 先求总体矩1110(;)EX x f x dx x x dx θμθθ+∞--∞==⋅=⋅⎰⎰111011x dx xθθθθθθθ+===++⎰，然后令 1111ni i A X X n μ====∑,即得X =+1θθ,即有 X )1(+=θθ,解之得 XX -=1ˆθ，把XX -=1ˆθ作为θ的矩估计量,xx -=1ˆθ作为θ的矩估计值. 例3有一批零件，其长度),(~2σμN X ， 现从中任取4件，测得长度（单位：mm ）分别为12.6,13.4,12.8,13.2 。
试估计μ和2σ的值。
解 由于),(~2σμN X ，总体矩1,EX μμ== 222()E X EX DX βσ=-==，令 1111ni i A X X n μ====∑，22S β=，则得 X μ=，22S σ=，于是11ˆn i i X X n μ===∑，22211ˆ()1n ii S X X n σ===--∑ 分别为μ和2σ的矩估计量；将样本值代入1ˆ(12.613.412.813.2)134x μ==+++= , 22ˆs σ= 22221[(12.613)(13.413)(12.813)(13.213)]0.13341=-+-+-+-=- 得μ和2σ的估计值分别为13(mm)和0.133(mm)2。
对于由总体矩和样本矩作等式的原则，总体矩和样本矩都有多种，要用同样种类的矩列出等式。
多个参数时，列等式的方式不唯一，因此，矩估计的方式不是唯一的.例如 两个参数21,θθ情形的矩估计,可有如下几种方式:⎪⎩⎪⎨⎧===221A EX X A EX , 或⎪⎩⎪⎨⎧=-==221)(B EX X E X A EX ,或⎪⎩⎪⎨⎧=-==221)(S EX X E X A EX .例4 设总体X 的概率密度为θθθxe xf -=21),( ,（+∞<<∞-x ），0>θ， 求θ的矩估计量θˆ .解法一 虽然),(θx f 中仅含有一个参数θ，但因1(;)EX x f x dx μθ+∞-∞==⋅⎰102xx e dx θθ-+∞-∞==⎰， 不含θ，不能由此解出θ， 需继续求总体的二阶原点矩22221(;)2xEX x f x dx x e dx θμθθ-+∞+∞-∞-∞==⋅=⎰⎰21xx e dx θθ-+∞=⎰220tt e dt θ+∞-=⎰22(3)2θθ=Γ= ,令22A μ=，222112n i i A X n θ===∑,解之得θ的矩估计量为ˆθ==0>θ解法二1||(;)||2xE X x f x dx x e dxθθθ-+∞+∞-∞-∞=⋅=⎰⎰1xxe dx θθ-+∞=⎰tte dt θ+∞-=⎰ (2)θθ=Γ=，即 ||X E =θ, 用∑=ni i X n 11替换X E ，即得θ的另一矩估计量为∑==ni i X n 1^1θ .此外还需比较估计的优劣性，这一点将在下一节将会介绍，这里不再多说。