球体积、表面积公式推导过程
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球体积公式R V
3
3
4∏
=
推导过程
图一 图二
对于一个球体，直接求它的体积是相当困难的。我们可以利用转化的思想，在球体内
放一些大小不同，高度相同的圆柱。（如图一）当每个圆柱的高度越来越小时，所有圆柱的体积和就会越来越接近于球的体积。当圆柱的高无限趋于0时，所有圆柱的体积和就是球的体积。（如图二）
按照这个思路，我们来求球的体积。
设球的体积为V ，半径为R ，每个圆柱的高为a ，则半个球中有n ⎪⎭
⎫
⎝
⎛∈=Z n a R
n
,个圆柱。 图三中的圆为球的一个轴截面，其中的矩形是圆柱
的轴截面。圆的圆心为原点，所以这个圆的方程式为
R y
x
2
2
2
=
+
。
在y 轴左侧，从左到右圆柱的序号（用b 表示）分别为1，2，3，…n,则圆柱底面圆的半径
()[]R a b R
r
b
---
=
12
2
（注意：01
=r
）
图三
()
()
()
()()(
)()()()()()()()()[]()⎭
⎬
⎫⎩
⎨⎧
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+++--+++∏
=⎭
⎬
⎫⎩
⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡
-
-++-+-∏=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-+-
∏=⎭⎬
⎫⎩⎨⎧
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
+∏=+
+++
∏=∏++∏
+∏
+∏
=++++=-------12
111122
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
22
222
32
221
22
32
22
1321...
1..21212...44212...442...0 (2)
n a
n a a n a a R a n R
R a R
R a R r
r r r
r
r r r V
V V V a n R a R n a R a R aR n aR aR a a a
a
a
a
a V n n
n
()()()()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---∏
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----∏
=612161212122
2
n a R n n n n n a n n R a
a
把a
R n =代入上式，得
(
)
⎪
⎭⎫ ⎝⎛+∏-∏
=∏-∏
+
∏
-∏-∏
-
∏=⎪
⎭⎫ ⎝⎛
--∏-∏
=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-
∏
=62
3
26
26
2626122
3
2
2
2
2
3
3
2
2
22
a R
Ra R a a a
a R R aR a R a R a R V R
a
R
R
R
R
R
R a
R a
当a 无限趋于0时
R
R V V
3
3
3
4322
∏
=
∏=
球表面积公式R S
2
4∏
=推导过程
我们可以把球表面分成n 个面积相等的网格。当n 趋于无穷大时，每个网格与球心组
成的几何体便可看作一个锥体，且锥体的高为球的半径。
设球的体积为V ，表面积为S ，半径为R
R
R
S V R V S n
S R n V 2
3
434331∏
=∴∏
=
=
=