专题：导数运算中构造函数解决抽象函数问题策略

导数运算中构造函数解决抽象函数问题

在导数习题中经常会遇到一些只给出函数的性质，而并不提供具体解析式的问题，我们称之为抽象函数问题。解决这类问题的策略是构造合适的函数，利用函数的性质解决问题。下面着重介绍常见函数的构造模型。

模型一：关系式为“加”型 ()()()()()''()'f x g x f x g x f x g x =+⎡⎤⎣⎦

()()1,[()]'['()()]x x x e g x e f x e f x f x =+用 替代则

()()[]112,[()]'()'()'()()n n n n n x g x x f x nx f x x f x x xf x nf x --=+=+用 替代则

()()[]

11

3,()(),[()]'()()'()

()'()()x n x n x n x n x n e g x f x f x e f x e f x e nf x f x e f x nf x f x --=+⋅=+用 替代替代则 模型二：关系式为“减”型 ()()()()()

2

'()'()[

'=]f x g x f x g x x g x g x f - ()()2()'()()'()()

1,[]'x x x

x x x

f x f x e f x e f x f x e

g x e e e --=

=用 替代则 ()()121

()'()()'()()

2,[]'n n n

n n n f x f x x f x nx xf x nf x x g x x x x

-+⋅-⋅-==用 替代则 ()()[]121

()()'()()

3,()(),[]'()'()()n x n x n x

n

x x

n x

f x e nf x f x e f x e

g x f x f x e e f x nf x f x e --⋅-=

-=

用 替代替代则 模型三：当条件是导数与多项式时，构造函数可以采用求原函数的思想。

()101211

2

0121

[()]'

'()1n n n n n n n a f x a x a x a x a a f x a nx

a n x

a -----+++++=+⋅+-+

+

小结：1.加减形式积商定 2.系数不同幂来补 3.符号讨论不能忘

数学应用

()()()()()()()()'()'0, .

30,

f x

g x R f x g x f x g x g f x g x +<-=<例1.设、是上的可导函数，且求不等式0的解集()()()()()()()()()()()()()()()()()()()''()'0,30,3300333,3,.

f x

g x f x g x f x g x f x g x R g f g f x g x f x g x f g f x g x R x =+<∴⎡⎤⎣⎦-=∴--=∴<<--∴>-∴-+∞解析.在上单调递减，，可化为，在上单调递减，不等式的解集是

()()()()()()()()()()()()()()''()''()'.

f x

g x f x g x f x g x f x g x f x g x

h x f x g x h x f x g x =+∴+⎡⎤⎣⎦==注释：，当条件中出现 时，令，此题令()*

()

()'()()()'()()(1)(1)5()31().(1)(1)2()32x f x f x g x R a f x g x f x g x g x f f f n n N n n g g g n =<⎧⎫-+=∈⎨⎬-⎩⎭

例2.设、是上的可导函数，满足，且，

，若有穷数列 的前 项和等于，求()()()()()()

2

2*

'()'()()'()()()'()[

]'=(1)(1)51511

01,

2520,2,(1)(1)2222

()31()()32.

=11120,21x

n

f x f x f x f x

g x f x g x a R g x g x f f a a a a g x f a a a g g a f n n N n g n x g x g x <∴-∴<<+=∴+=∴-+=∴==∴=-⎧⎫∈⎨⎬

⎩⎭⎡⎤⎛⎫

-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴

∴--<，在上为减函数，或有穷数列 的前 析项和等，解于131111,, 5.

1232232

2

n n n ⎛⎫⎛⎫=-=∴=∴= ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭()()()()()()()()()()()()

2

'()'()[

]''()'()(=

=.=)

f x f x f x

g x f x f g x f x g x g x f x g x

h x h x g x g x g x x -∴-，当条件中出注现时，令 释：，此题令

()()()()2

1

()'(),01,21 .

f x R f x f x f f e f ≥-==例3.设是上的可导函数，且求

()()()[]022221()'()'()()0[()]'['()()]0()1101,(0)1,2,(2)1,1

0,2()=1(1)=1(1).

x x x x f x R f x f x f x f x e f x e f x f x e f x R f e f f e f e e e

x e f x e f f e

≥-+≥∴=+≥∴=∴==∴=⋅=∴∈∴∴=解析.

是上的可导函数，且，即，

，在上是非单调递减函数,

当时，，，

()()[()]'['()()]'()()()().

x x x x e f x e f x f x f x f x h x e f x h x e f x =++==注释：因为 ，所以当条件中出现时，一般构造函数，此题令

()()()

3

()()',

3, 1.

x f x R f x f x x R f x f e e

<∈=<例4.已知为定义在上的可导函数，且对任意 恒成立且解不等式

()()()()()()

()23()()',

()'()()'()()()[]'0,3331133

()

3,,3.

x x x x x x

x x x x x f x R f x f x x R f x f x e f x e f x f x f x R e e e e

f f x f x f f e e e f x R x e

<∈--∴==>∴=∴=∴<<∴<∴-∞解析

为定义在上的可导函数，且对任意 恒成立在上单调递增，不等式可化为，

在上单调递增，不等式的解集是

()()2()'()()'()()

[]''()()()()

,.

x x x x x

x x f x f x e f x e f x f x f x f x e e e f x f x h x h x e e

--==-==注释：因为，所以当条件中出现时，

一般构造函数此题令